14.（2025春·昆明期中）如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'.
（1）分别写出点A，A'的坐标：A，A'.
（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的.
（3）若点$M(m,n+1)$是三角形ABC内部的一点，平移后的对应点$M'$的坐标为$(-1,m-2)$，求$m$和$n$的值.

14. (1)(1,0),(-4,4); (2)
∵点A坐标为(1,0),且平移后的对应点A'的坐标为(-4,4),
∴1+(-5)=-4,0+4=4,即△A'B'C'由△ABC向左平移5个单位长度,再向上平移4个单位长度得到;
(3)
∵点$M(m,n+1)$是三角形ABC内部的一点,平移后的对应点$M'$的坐标为$(-1,m-2)$,
∴$m+(-5)=-1$,$n+1+4=m-2$,解得$m=4$,$n=-3$,故$m$的值为4,$n$的值为-3。

15. (2025春·厦门期中)对于平面直角坐标系$xOy$中的任意一点$P(x,y)$,给出如下定义:记$a=x+y$,$b=-x+y$,将点$M(a,b)$与点$N(b,a)$称为点$P$的一对伴随点.例如,点$M(1,-5)$与点$N(-5,1)$为点$P(3,-2)$的一对伴随点.
(1) 点$A(4,1)$的一对伴随点坐标为;
(2) 将点$C(3m-1,m+1)(m＞0)$向左平移$m$个单位长度,得到点$C'$,若点$C'$的一对伴随点重合,求点$C$的坐标;
(3) 已知点$E(-3,n)$,$F(-3,n+1)$,点$D$为线段$EF$上的动点,点$G$,$H$为点$D$的一对伴随点.当点$D$在线段$EF$上运动时,线段$GH$与$x$轴总有公共点,请直接写出$n$的取值范围.

15. (1)由题意得,$a=x+y=4+1=5$,$b=-x+y=-4+1=-3$,
∴点A的一对伴随点坐标为:(5,-3),(-3,5); (2)由题意得,$C'(2m-1,m+1)$,此时,$a=2m-1+m+1=3m$,$b=-2m+1+m+1=-m+2$,则$C'$点的伴随点为$(-m+2,3m)$和$(3m,-m+2)$,
∴这两个伴随点重合,(即两点的横、纵坐标分别相等),
∴$-m+2=3m$,解得,$m=\frac{1}{2}$,
∴$3m-1=\frac{1}{2}$,$m+1=\frac{3}{2}$,
∴C点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$; (3)
∵D为线段EF上的动点,设D点坐标为$(-3,t)(n≤t≤n+1)$,
∴D点的伴随点为:$a=-3+t$,$b=3+t$,即$(-3+t,3+t)$,$(3+t,-3+t)$,
∴$G(-3+t,3+t)$,$H(3+t,-3+t)$,
∵线段GH与x轴总有公共点,$t+3＞t-3$,
∴$\begin{cases} t+3≥0, \\ t-3≤0, \end{cases}$ 解得:$-3≤t≤3$,由$n≤t≤n+1$,可得,$\begin{cases} n≥-3, \\ n+1≤3, \end{cases}$ 解得,$-3≤n≤2$,
∴n的取值范围为:$-3≤n≤2$。