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9.［2026镇江丹徒区月考］如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面积分别记为$S_1,S_2,S_3$.若$S_3 + S_2 - S_1 = 18$，则图中阴影部分的面积为（
A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{7}{2}$
第9题图 第10题图
B
）A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{7}{2}$
第9题图 第10题图
答案
在 $Rt △ ABC$ 中, $\because ∠ BAC = 90°$, $\therefore AC^2 + AB^2 = BC^2$, $\therefore S_1 + S_2 = S_3$. 又 $\because S_3 + S_2 - S_1 = 18$, $\therefore S_2 = 9$, $\therefore$ 阴影部分的面积 $= \frac{1}{2}S_2 = \frac{1}{2}×9 = \frac{9}{2}$.
解析
【分析】
解题时先结合勾股定理与正方形面积公式，建立三个正方形面积$S_1$、$S_2$、$S_3$的等量关系：首先直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此可得$S_1+S_2=S_3$。再将该关系代入已知条件$S_3+S_2-S_1=18$，化简即可求出$S_2$的值。最后观察阴影部分的特征，通过等积变形可知阴影部分总面积为$S_2$的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∵ 正方形面积等于边长的平方，$S_1$、$S_2$、$S_3$分别是以AC、AB、BC为边的正方形面积
∴ $S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，代入勾股定理得：$S_1 + S_2 = S_3$
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 18$，得：
$S_1 + S_2 + S_2 - S_1 = 18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
观察图形可得，阴影部分两个三角形的面积和为$\frac{1}{2}S_2$，因此：
阴影部分面积$=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的面积，三角形的面积
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算相结合，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件求出对应正方形的面积，最后分析阴影面积和正方形面积的关系即可求解，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合勾股定理与正方形面积公式，建立三个正方形面积$S_1$、$S_2$、$S_3$的等量关系：首先直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此可得$S_1+S_2=S_3$。再将该关系代入已知条件$S_3+S_2-S_1=18$，化简即可求出$S_2$的值。最后观察阴影部分的特征，通过等积变形可知阴影部分总面积为$S_2$的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，根据勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∵ 正方形面积等于边长的平方，$S_1$、$S_2$、$S_3$分别是以AC、AB、BC为边的正方形面积
∴ $S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，代入勾股定理得：$S_1 + S_2 = S_3$
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3 + S_2 - S_1 = 18$，得：
$S_1 + S_2 + S_2 - S_1 = 18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
观察图形可得，阴影部分两个三角形的面积和为$\frac{1}{2}S_2$，因此：
阴影部分面积$=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的面积，三角形的面积
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算相结合，解题的核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件求出对应正方形的面积，最后分析阴影面积和正方形面积的关系即可求解，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. [2025无锡宜兴月考]如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=9$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$M$为$AD$上任意一点,则$MC^2 - MB^2$等于 (
A.29
B.32
C.36
D.45
D
)A.29
B.32
C.36
D.45
答案
$\because AD ⊥ BC$, $\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$. 在 $Rt △ BDM$ 和 $Rt △ CDM$ 中, $MB^2 = BD^2 + MD^2$, $MC^2 = CD^2 + MD^2$, $\therefore MC^2 - MB^2 = (CD^2 + MD^2) - (BD^2 + MD^2) = CD^2 - BD^2$. 在 $Rt △ ADB$ 和 $Rt △ ADC$ 中, $BD^2 = AB^2 - AD^2$, $CD^2 = AC^2 - AD^2$, $\therefore CD^2 - BD^2 = (AC^2 - AD^2) - (AB^2 - AD^2) = AC^2 - AB^2$, $\therefore MC^2 - MB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$.
解析
【分析】
题目给出了多处垂直关系，要求线段平方的差，优先考虑用勾股定理表示各相关线段的平方。首先在Rt△BDM和Rt△CDM中分别写出MB²和MC²的表达式，作差后可消去公共项MD²，得到CD²与BD²的差；再在Rt△ABD和Rt△ACD中分别写出BD²和CD²的表达式，再次作差消去公共项AD²，即可将所求式子转化为已知的AB、AC的平方差，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△BDM和Rt△CDM中，由勾股定理可得：
$MB^2 = BD^2 + MD^2$，$MC^2 = CD^2 + MD^2$，
∴$MC^2 - MB^2 = (CD^2 + MD^2) - (BD^2 + MD^2) = CD^2 - BD^2$。
在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理可得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2$，$CD^2 = AC^2 - AD^2$，
∴$CD^2 - BD^2 = (AC^2 - AD^2) - (AB^2 - AD^2) = AC^2 - AB^2$。
将$AB=6$，$AC=9$代入得：
$MC^2 - MB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式的加减运算
【点评】
本题解题的核心是利用勾股定理表示出相关线段的平方，通过作差消去未知的公共线段，将所求问题转化为已知边长的运算，不需要求解未知线段的长度，体现了几何计算中的转化思想，解题时要注意观察式子特点，找准消元的方向。
【难度系数】
0.7
题目给出了多处垂直关系，要求线段平方的差，优先考虑用勾股定理表示各相关线段的平方。首先在Rt△BDM和Rt△CDM中分别写出MB²和MC²的表达式，作差后可消去公共项MD²，得到CD²与BD²的差；再在Rt△ABD和Rt△ACD中分别写出BD²和CD²的表达式，再次作差消去公共项AD²，即可将所求式子转化为已知的AB、AC的平方差，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△BDM和Rt△CDM中，由勾股定理可得：
$MB^2 = BD^2 + MD^2$，$MC^2 = CD^2 + MD^2$，
∴$MC^2 - MB^2 = (CD^2 + MD^2) - (BD^2 + MD^2) = CD^2 - BD^2$。
在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理可得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2$，$CD^2 = AC^2 - AD^2$，
∴$CD^2 - BD^2 = (AC^2 - AD^2) - (AB^2 - AD^2) = AC^2 - AB^2$。
将$AB=6$，$AC=9$代入得：
$MC^2 - MB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式的加减运算
【点评】
本题解题的核心是利用勾股定理表示出相关线段的平方，通过作差消去未知的公共线段，将所求问题转化为已知边长的运算，不需要求解未知线段的长度，体现了几何计算中的转化思想，解题时要注意观察式子特点，找准消元的方向。
【难度系数】
0.7
11. ▶一题多解 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$AB=10$,$AC=6$,则$CD=$
3
. 答案
如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于点 E. 在Rt$△ ABC$中,由勾股定理,得 $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$, $AC ⊥ DC$, $DE ⊥ AB$, $\therefore CD = DE$.
$\because S_{△ABC} = S_{△ACD} + S_{△ABD}$, $\therefore \frac{1}{2}AC · CD + \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2}AC · BC$, $\therefore \frac{1}{2}×6CD + \frac{1}{2}×10CD = \frac{1}{2}×6×8$,
解得 $CD = 3$.
另解 如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于点 E,则 $∠ AED = ∠ DEB = ∠ C = 90°$. 在 $Rt △ ABC$ 中,由勾股定理,得 $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$, $AC ⊥ DC$, $DE ⊥ AB$, $\therefore CD = DE$. 在 $Rt △ ADC$ 和 $Rt △ ADE$ 中, $\begin{cases} AD = AD, \\ CD = ED, \end{cases}$ $\therefore Rt △ ADC ≌ Rt △ ADE(\mathrm{HL})$, $\therefore AE = AC = 6$, $\therefore BE = AB - AE = 10 - 6 = 4$.
设 $CD = DE = x$, 则 $BD = BC - CD = 8 - x$. $\because ∠ DEB = 90°$, $\therefore DE^2 + BE^2 = BD^2$, $\therefore x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$, 解得 $x = 3$, 即 $CD = 3$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的直角三角形，先利用勾股定理求出BC的长度；再根据角平分线的性质，过点D作DE⊥AB，得到CD=DE，此时有两种解题路径：一是利用面积法，根据大三角形面积等于两个小三角形面积之和，代入边长列方程求解CD；二是先通过HL证明Rt△ADC和Rt△ADE全等，得到AE=AC，进而求出BE的长度，再设CD为x，在Rt△BDE中利用勾股定理列方程求解。
【解析】
方法一：
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵AD平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$CD=DE$，
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，
∴$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AC× CD+\frac{1}{2}× AB× DE$，
将$DE=CD$、各边长度代入得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6× CD+\frac{1}{2}×10× CD$，
化简得$8CD=24$，解得$CD=3$。
方法二：
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，则$∠ AED=∠ DEB=∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵AD平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴$CD=DE$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AD=AD \\CD=ED\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AC=6$，则$BE=AB-AE=10-6=4$，
设$CD=DE=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开整理得$16x=48$，解得$x=3$，即$CD=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题为角平分线与勾股定理结合的常规计算题型，给出了面积法和全等结合勾股定理两种解题思路，既可以快速简化计算，也能锻炼方程思想在几何问题中的应用，便于学生掌握不同的解题技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的直角三角形，先利用勾股定理求出BC的长度；再根据角平分线的性质，过点D作DE⊥AB，得到CD=DE，此时有两种解题路径：一是利用面积法，根据大三角形面积等于两个小三角形面积之和，代入边长列方程求解CD；二是先通过HL证明Rt△ADC和Rt△ADE全等，得到AE=AC，进而求出BE的长度，再设CD为x，在Rt△BDE中利用勾股定理列方程求解。
【解析】
方法一：
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵AD平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$CD=DE$，
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，
∴$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AC× CD+\frac{1}{2}× AB× DE$，
将$DE=CD$、各边长度代入得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×6× CD+\frac{1}{2}×10× CD$，
化简得$8CD=24$，解得$CD=3$。
方法二：
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，则$∠ AED=∠ DEB=∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∵AD平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴$CD=DE$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AD=AD \\CD=ED\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
∴$AE=AC=6$，则$BE=AB-AE=10-6=4$，
设$CD=DE=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2+BE^2=BD^2$，
代入得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开整理得$16x=48$，解得$x=3$，即$CD=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题为角平分线与勾股定理结合的常规计算题型，给出了面积法和全等结合勾股定理两种解题思路，既可以快速简化计算，也能锻炼方程思想在几何问题中的应用，便于学生掌握不同的解题技巧。
【难度系数】
0.7
12. [2025广西中考]如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=√2,则AD=
$\sqrt{3} - 1$
.答案
如图, 延长 AD 交 BC 于点 H.
$\because AB = CA$, $BD = CD$, $\therefore$ 点 A, D 在 BC 的垂直平分线上, 即 AH 垂直平分 BC, $\therefore ∠ AHC = 90°$, $CH = \frac{1}{2}BC = 1$. 在 $Rt △ ACH$ 中, $AH = \sqrt{CA^2 - CH^2} = \sqrt{3}$, 在 $Rt △ DCH$ 中, $DH = \sqrt{CD^2 - CH^2} = 1$,
$\therefore AD = AH - DH = \sqrt{3} - 1$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB=AC、BD=CD，根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知点A、D均在BC的垂直平分线上，因此直线AD就是BC的垂直平分线。我们延长AD交BC于点H，即可得到直角三角形，后续利用勾股定理分别计算AH、DH的长度，两者作差即可求出AD的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于点H。
∵AB=AC，BD=CD，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上，即AH垂直平分BC，
∴∠AHC=90°，$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{CA^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
在$Rt△ DCH$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2-1}=1$；
∴$AD=AH-DH=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定 2. 勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的判定构造直角三角形，将未知线段的求解转化为直角三角形边长计算，能够有效考察学生对基础几何定理的应用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AB=AC、BD=CD，根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知点A、D均在BC的垂直平分线上，因此直线AD就是BC的垂直平分线。我们延长AD交BC于点H，即可得到直角三角形，后续利用勾股定理分别计算AH、DH的长度，两者作差即可求出AD的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于点H。
∵AB=AC，BD=CD，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上，即AH垂直平分BC，
∴∠AHC=90°，$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{CA^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
在$Rt△ DCH$中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2-1}=1$；
∴$AD=AH-DH=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定 2. 勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用线段垂直平分线的判定构造直角三角形，将未知线段的求解转化为直角三角形边长计算，能够有效考察学生对基础几何定理的应用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7
13. [2026佛山禅城区月考] 如图,有一个面积为1的正方形,经过1次“生长”,它上边的两个顶点生出了两个小正方形,且三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”,变成了如图所示的图形.若“生长”2026次,则图中所有正方形的面积和为
2027
.答案
如图,由题意,得正方形 A 的面积为 1. 由勾股定理,得正方形 B 的面积 + 正方形 C 的面积 = 1, $\therefore$“生长”1 次时图中所有正方形的面积和为 2, 同理可得,“生长”2 次时图中所有正方形的面积和为 3……$\therefore$“生长”2 026 次时图中所有正方形的面积和为 2 027.
解析
【分析】
解题时首先结合勾股定理的几何意义思考：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到本题中，以直角三角形三边为边长作正方形时，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。接着我们从初始状态、生长1次、生长2次的情况逐步计算所有正方形的面积和，找到“生长次数”和“总面积和”之间的规律，最后代入生长次数2026即可得到结果。
【解析】
设最下方的正方形为A，第一次生长得到的两个正方形分别为B、C。
由题意得正方形A的面积为1。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$S_B+S_C=S_A=1$。
则“生长”1次时，所有正方形的面积和$=S_A+S_B+S_C=1+1=2$；
同理，“生长”2次时，新长出的4个小正方形的面积和$=S_B+S_C=1$，此时所有正方形的面积和$=2+1=3$；
以此类推，每“生长”1次，所有正方形的总面积和就增加1，即“生长”n次时，所有正方形的面积和为$n+1$。
当$n=2026$时，总面积和为$2026+1=2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1.勾股定理 2.图形规律探究
【点评】
本题将勾股定理的几何意义与图形变化规律结合考查，解题核心是抓住每次生长新增的正方形面积和等于初始正方形的面积，找到面积和随生长次数变化的规律即可快速求解，能有效考查对勾股定理的理解和规律探究能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合勾股定理的几何意义思考：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应到本题中，以直角三角形三边为边长作正方形时，两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。接着我们从初始状态、生长1次、生长2次的情况逐步计算所有正方形的面积和，找到“生长次数”和“总面积和”之间的规律，最后代入生长次数2026即可得到结果。
【解析】
设最下方的正方形为A，第一次生长得到的两个正方形分别为B、C。
由题意得正方形A的面积为1。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$S_B+S_C=S_A=1$。
则“生长”1次时，所有正方形的面积和$=S_A+S_B+S_C=1+1=2$；
同理，“生长”2次时，新长出的4个小正方形的面积和$=S_B+S_C=1$，此时所有正方形的面积和$=2+1=3$；
以此类推，每“生长”1次，所有正方形的总面积和就增加1，即“生长”n次时，所有正方形的面积和为$n+1$。
当$n=2026$时，总面积和为$2026+1=2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1.勾股定理 2.图形规律探究
【点评】
本题将勾股定理的几何意义与图形变化规律结合考查，解题核心是抓住每次生长新增的正方形面积和等于初始正方形的面积，找到面积和随生长次数变化的规律即可快速求解，能有效考查对勾股定理的理解和规律探究能力。
【难度系数】
0.65
14. [2025苏州景城学校月考]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点,F是对角线BD上的动点,连接EF.若AC=8,BD=6,则EF的最小值为
$\sqrt{7}$
.答案
如图,连接 EB,ED,过点 E 作 $EF ⊥ BD$ 于点 F,此时 EF 的值最小. $\because$ 在四边形 ABCD 中, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$, E 是对角线 AC 的中点, $\therefore EB$, ED 分别是 $Rt △ ABC$ 和 $Rt △ ADC$ 的斜边上的中线, $\therefore EB = ED = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$. 又 $\because EF ⊥ BD$, $\therefore DF = BF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}×6 = 3$, $∠ DFE = 90°$, $\therefore EF = \sqrt{DE^2 - DF^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$.
解析
【分析】
遇到直角三角形斜边中点的条件，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此先连接BE、DE，可得到BE=DE，即△BED为等腰三角形。要求EF的最小值，根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当EF⊥BD时EF长度最小。再结合等腰三角形三线合一的性质得到F为BD中点，最后用勾股定理即可求出EF的最小值。
【解析】
连接EB、ED，过点E作$EF ⊥ BD$于点F，此时EF的值最小。
∵在四边形ABCD中，$∠ABC=∠ADC=90°$，E是对角线AC的中点，
∴EB、ED分别是$Rt△ABC$和$Rt△ADC$斜边上的中线，
∴$EB=ED=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵$EF⊥BD$，△BED为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$DF=BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$，$∠DFE=90°$。
在$Rt△DFE$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\boxed{\sqrt{7}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，综合考查了多个几何基础性质的应用，解题的关键是先利用斜边中线性质得到等腰三角形，再结合垂线段最短确定EF的最小位置，最后通过勾股定理计算结果，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到直角三角形斜边中点的条件，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因此先连接BE、DE，可得到BE=DE，即△BED为等腰三角形。要求EF的最小值，根据点到直线的距离中垂线段最短的性质，可知当EF⊥BD时EF长度最小。再结合等腰三角形三线合一的性质得到F为BD中点，最后用勾股定理即可求出EF的最小值。
【解析】
连接EB、ED，过点E作$EF ⊥ BD$于点F，此时EF的值最小。
∵在四边形ABCD中，$∠ABC=∠ADC=90°$，E是对角线AC的中点，
∴EB、ED分别是$Rt△ABC$和$Rt△ADC$斜边上的中线，
∴$EB=ED=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
又
∵$EF⊥BD$，△BED为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴$DF=BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$，$∠DFE=90°$。
在$Rt△DFE$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2-DF^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
【答案】
$\boxed{\sqrt{7}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，综合考查了多个几何基础性质的应用，解题的关键是先利用斜边中线性质得到等腰三角形，再结合垂线段最短确定EF的最小位置，最后通过勾股定理计算结果，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
15. 推理能力 [2025无锡江阴月考] 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AB=13$，$AD=12$，$CD=9$，点$P$从点$C$出发，以每秒2个单位长度的速度沿着$CD—DA$运动，设点$P$运动的时间为$t$秒.
(1)当$t$的值为________时，$AP$平分$△ ABC$的面积；
(2)求当$t$为何值时，$△ PAB$为轴对称图形；
(3)若点$E,F$分别为$AD,AB$上的动点，则$BE + EF$的最小值为________.
备用图
(1)当$t$的值为________时，$AP$平分$△ ABC$的面积；
(2)求当$t$为何值时，$△ PAB$为轴对称图形；
(3)若点$E,F$分别为$AD,AB$上的动点，则$BE + EF$的最小值为________.
备用图
答案
(1) $\frac{7}{2}$
$\because AD ⊥ BC$, $\therefore ∠ ADB = 90°$. $\because AD = 12$, $AB = 13$, $\therefore BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25$, $\therefore BD = 5$, $\therefore BC = DC + BD = 14$. $\because AP$ 平分 $△ ABC$ 的面积, $\therefore$ 点 P 为 BC 的中点, $\therefore CP = \frac{1}{2}BC = 7$,
$\therefore t = \frac{7}{2}$.
(2)由 $△ PAB$ 为轴对称图形, 得 $△ PAB$ 是等腰三角形.
如图 1, 当 $BP = AB = 13$ 时, 点 P 只能在线段 CD 上,
$PC = BC - BP = 14 - 13 = 1$, $\therefore t = \frac{1}{2}$.
如图 2, 当 $AP = AB = 13$ 时, 点 P 只能在线段 CD 上.
$\because AD ⊥ BC$, $\therefore PD = BD = 5$,
$\therefore BP = 10$,
$\therefore PC = BC - BP = 4$, $\therefore t = 2$.
如图 3, 当 $BP = AP$, 且点 P 在线段 CD 上时,
设 $DP = a$, 则 $AP = BP = 5 + a$.
在 $Rt △ ADP$ 中, 由勾股定理, 得 $AP^2 = AD^2 + DP^2$,
$\therefore (5 + a)^2 = 12^2 + a^2$, 解得 $a = \frac{119}{10} ＞ 9$,
即 $DP ＞ DC$, 故此情况不成立.
如图 4, 当 $BP = AP$, 且点 P 在线段 AD 上时,
设 $PD = m$, 则 $BP = AP = 12 - m$.
在 $Rt △ BDP$ 中, 由勾股定理, 得 $BP^2 = BD^2 + DP^2$,
$\therefore (12 - m)^2 = 5^2 + m^2$, 解得 $m = \frac{119}{24}$,
$\therefore PD + CD = \frac{119}{24} + 9 = \frac{335}{24}$, $\therefore t = \frac{335}{48}$.
综上所述, 当 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 2 或 $\frac{335}{48}$ 时, $△ PAB$ 为轴对称图形.
(3) $\frac{120}{13}$
如图 5, 在 DC 上取点 G, 使 $DG = BD = 5$, 则 $BG = 10$. 连接 AG, 过点 G 作 $GF ⊥ AB$ 于点 F, 交 AD 于点 E, 此时 $BE + EF = GE + EF = GF$, 为最小值. $\because S_{△ABG} = \frac{1}{2}BG · AD = \frac{1}{2}AB · GF$,
$\therefore GF = \frac{BG · AD}{AB} = \frac{10×12}{13} = \frac{120}{13}$, $\therefore BE + EF$ 的最小值为 $\frac{120}{13}$.
解析
【分析】
(1) 先在直角△ADB中用勾股定理求出BD的长度，得到BC的总长度；三角形的中线平分三角形面积，因此AP平分△ABC面积时P为BC中点，算出CP长度后结合点P的运动速度即可求出t。
(2) 轴对称图形沿对称轴折叠后两边完全重合，因此△PAB为轴对称图形即△PAB是等腰三角形，分三种情况讨论：AB=BP、AB=AP、AP=BP，每种情况结合点P的运动路径（先在CD上，后在AD上），用勾股定理列方程求解，排除不符合点P位置的解即可。
(3) 求两条线段和的最小值可利用轴对称性质，作B关于AD的对称点G，将BE转化为GE，根据垂线段最短，过G作AB的垂线，垂线段长度就是BE+EF的最小值，用三角形面积法即可求出该长度。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°。在Rt△ADB中，AB=13，AD=12，由勾股定理得$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-12^2=25$，
∴BD=5，
∴BC=BD+CD=5+9=14。
若AP平分△ABC的面积，则P为BC的中点，
∴$CP=\frac{1}{2}BC=7$。
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴$t=\frac{7}{2}$。
(2) 若△PAB为轴对称图形，则△PAB是等腰三角形，分情况讨论：
① 当$BP=AB=13$时，点P在线段CD上，$PC=BC-BP=14-13=1$，
∴$t=\frac{1}{2}$。
② 当$AP=AB=13$时，点P在线段CD上，
∵AD⊥BC，
∴PD=BD=5，
∴BP=BD+PD=10，$PC=BC-BP=14-10=4$，
∴$t=\frac{4}{2}=2$。
③ 当$BP=AP$时，分两种子情况：
若P在线段CD上：设DP=a，则$AP=BP=5+a$，在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2$，即$(5+a)^2=12^2+a^2$，解得$a=\frac{119}{10}＞9$，超出CD长度，该情况不成立。
若P在线段AD上：设PD=m，则$AP=12-m$，$BP=AP=12-m$，在Rt△BDP中，由勾股定理得$BP^2=BD^2+DP^2$，即$(12-m)^2=5^2+m^2$，解得$m=\frac{119}{24}$，此时点P运动的总路程为$CD+PD=9+\frac{119}{24}=\frac{335}{24}$，
∴$t=\frac{335}{24}÷2=\frac{335}{48}$。
综上，当t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{335}{48}$时，△PAB为轴对称图形。
(3) 作点B关于AD的对称点G，则DG=BD=5，BG=10，BE=GE，
∴$BE+EF=GE+EF$。当G、E、F三点共线且GF⊥AB时，GE+EF最小，即为GF的长度。
由$S_{△ABG}=\frac{1}{2}BG·AD=\frac{1}{2}AB·GF$，代入数据得$GF=\frac{BG·AD}{AB}=\frac{10×12}{13}=\frac{120}{13}$，即BE+EF的最小值为$\frac{120}{13}$。
【答案】
(1) $\frac{7}{2}$
(2) t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{335}{48}$
(3) $\frac{120}{13}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了勾股定理的应用、等腰三角形的判定与性质及最短路径问题，解题时要注意分类讨论点P的不同位置，避免漏解，同时熟练运用轴对称转化线段是解决最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.5
(1) 先在直角△ADB中用勾股定理求出BD的长度，得到BC的总长度；三角形的中线平分三角形面积，因此AP平分△ABC面积时P为BC中点，算出CP长度后结合点P的运动速度即可求出t。
(2) 轴对称图形沿对称轴折叠后两边完全重合，因此△PAB为轴对称图形即△PAB是等腰三角形，分三种情况讨论：AB=BP、AB=AP、AP=BP，每种情况结合点P的运动路径（先在CD上，后在AD上），用勾股定理列方程求解，排除不符合点P位置的解即可。
(3) 求两条线段和的最小值可利用轴对称性质，作B关于AD的对称点G，将BE转化为GE，根据垂线段最短，过G作AB的垂线，垂线段长度就是BE+EF的最小值，用三角形面积法即可求出该长度。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°。在Rt△ADB中，AB=13，AD=12，由勾股定理得$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-12^2=25$，
∴BD=5，
∴BC=BD+CD=5+9=14。
若AP平分△ABC的面积，则P为BC的中点，
∴$CP=\frac{1}{2}BC=7$。
∵点P的运动速度为每秒2个单位长度，
∴$t=\frac{7}{2}$。
(2) 若△PAB为轴对称图形，则△PAB是等腰三角形，分情况讨论：
① 当$BP=AB=13$时，点P在线段CD上，$PC=BC-BP=14-13=1$，
∴$t=\frac{1}{2}$
。② 当$AP=AB=13$时，点P在线段CD上，
∵AD⊥BC，
∴PD=BD=5，
∴BP=BD+PD=10，$PC=BC-BP=14-10=4$，
∴$t=\frac{4}{2}=2$
。③ 当$BP=AP$时，分两种子情况：
若P在线段CD上：设DP=a，则$AP=BP=5+a$，在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2$，即$(5+a)^2=12^2+a^2$，解得$a=\frac{119}{10}＞9$，超出CD长度，该情况不成立
。若P在线段AD上：设PD=m，则$AP=12-m$，$BP=AP=12-m$，在Rt△BDP中，由勾股定理得$BP^2=BD^2+DP^2$，即$(12-m)^2=5^2+m^2$，解得$m=\frac{119}{24}$，此时点P运动的总路程为$CD+PD=9+\frac{119}{24}=\frac{335}{24}$，
∴$t=\frac{335}{24}÷2=\frac{335}{48}$
。综上，当t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{335}{48}$时，△PAB为轴对称图形。
(3) 作点B关于AD的对称点G，则DG=BD=5，BG=10，BE=GE，
∴$BE+EF=GE+EF$。当G、E、F三点共线且GF⊥AB时，GE+EF最小，即为GF的长度。
由$S_{△ABG}=\frac{1}{2}BG·AD=\frac{1}{2}AB·GF$，代入数据得$GF=\frac{BG·AD}{AB}=\frac{10×12}{13}=\frac{120}{13}$，即BE+EF的最小值为$\frac{120}{13}$
。【答案】
(1) $\frac{7}{2}$
(2) t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{335}{48}$
(3) $\frac{120}{13}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了勾股定理的应用、等腰三角形的判定与性质及最短路径问题，解题时要注意分类讨论点P的不同位置，避免漏解，同时熟练运用轴对称转化线段是解决最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.5
