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1 某校九年级(2)班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下(单位:元)：10、8、12、15、10、12、11、9、10、13。那么这组数据的(
A.众数是10.5
B.中位数是10
C.平均数是11
D.方差是3.9
C
)。A.众数是10.5
B.中位数是10
C.平均数是11
D.方差是3.9
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查常见统计量的判断，解题思路是先把数据从小到大排序，再根据定义分别计算众数、中位数、平均数、方差，最后逐个核对选项就能选出正确答案。
【解析】
先将10个数据从小到大排序：8、9、10、10、10、11、12、12、13、15。
1. 验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，10共出现3次，出现次数最多，因此众数为10，A错误。
2. 验证B选项：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，即第5、第6个数的平均值，$\frac{10+11}{2}=10.5$，因此中位数为10.5，B错误。
3. 验证C选项：平均数为数据总和除以数据个数，总和为$8+9+10+10+10+11+12+12+13+15=110$，平均数$\frac{110}{10}=11$，C正确。
4. 验证D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，代入计算得：
$s^2=\frac{1}{10}[(8-11)^2+(9-11)^2+3×(10-11)^2+(11-11)^2+2×(12-11)^2+(13-11)^2+(15-11)^2]=\frac{38}{10}=3.8$，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于基础题型，熟练掌握各统计量的定义和计算步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查常见统计量的判断，解题思路是先把数据从小到大排序，再根据定义分别计算众数、中位数、平均数、方差，最后逐个核对选项就能选出正确答案。
【解析】
先将10个数据从小到大排序：8、9、10、10、10、11、12、12、13、15。
1. 验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，10共出现3次，出现次数最多，因此众数为10，A错误。
2. 验证B选项：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，即第5、第6个数的平均值，$\frac{10+11}{2}=10.5$，因此中位数为10.5，B错误。
3. 验证C选项：平均数为数据总和除以数据个数，总和为$8+9+10+10+10+11+12+12+13+15=110$，平均数$\frac{110}{10}=11$，C正确。
4. 验证D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，代入计算得：
$s^2=\frac{1}{10}[(8-11)^2+(9-11)^2+3×(10-11)^2+(11-11)^2+2×(12-11)^2+(13-11)^2+(15-11)^2]=\frac{38}{10}=3.8$，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，方差计算
【点评】
本题属于基础题型，熟练掌握各统计量的定义和计算步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是(
A.方差
B.平均数
C.中位数
D.众数
A
)。A.方差
B.平均数
C.中位数
D.众数
答案
2.A
解析
【分析】
要判断数据每个数加1后哪个统计量不变，需结合各统计量的定义，逐一分析数据整体加常数后各统计量的变化规律，最终确定不变的统计量。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，依次分析各选项：
1. 分析平均数：
原平均数$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，新数据为$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$，新平均数$\overline{x}'=\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=\overline{x}+1$，平均数增大1，B不符合要求。
2. 分析中位数：
中位数是原数据排序后中间位置的数，所有数加1后数据排序不变，中间位置的数也增大1，中位数发生变化，C不符合要求。
3. 分析众数：
众数是原数据中出现次数最多的数，所有数加1后，出现次数最多的数对应增大1，众数发生变化，D不符合要求。
4. 分析方差：
原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，新方差$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+1-(\overline{x}+1))^2+(x_2+1-(\overline{x}+1))^2+\dots+(x_n+1-(\overline{x}+1))^2]=s^2$，方差保持不变，A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；平均数；统计量的含义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是理解各统计量的定义，可直接记忆结论：一组数据整体加上或减去同一个非零常数时，方差不变，平均数、中位数、众数均对应加减这个常数。
【难度系数】
0.8
要判断数据每个数加1后哪个统计量不变，需结合各统计量的定义，逐一分析数据整体加常数后各统计量的变化规律，最终确定不变的统计量。
【解析】
设原数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，依次分析各选项：
1. 分析平均数：
原平均数$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，新数据为$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$，新平均数$\overline{x}'=\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=\overline{x}+1$，平均数增大1，B不符合要求。
2. 分析中位数：
中位数是原数据排序后中间位置的数，所有数加1后数据排序不变，中间位置的数也增大1，中位数发生变化，C不符合要求。
3. 分析众数：
众数是原数据中出现次数最多的数，所有数加1后，出现次数最多的数对应增大1，众数发生变化，D不符合要求。
4. 分析方差：
原方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，新方差$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1+1-(\overline{x}+1))^2+(x_2+1-(\overline{x}+1))^2+\dots+(x_n+1-(\overline{x}+1))^2]=s^2$，方差保持不变，A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
方差的性质；平均数；统计量的含义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是理解各统计量的定义，可直接记忆结论：一组数据整体加上或减去同一个非零常数时，方差不变，平均数、中位数、众数均对应加减这个常数。
【难度系数】
0.8
3 若一组数据2、1、x、5、4的平均数是3，那么这组数据的方差是(
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.5
D.$\sqrt{5}$
A
)。A.2
B.$\sqrt{2}$
C.5
D.$\sqrt{5}$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步进行：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，因为求方差需要先明确所有数据；第二步，将所有数据代入方差公式，计算得到最终方差。其中平均数的核心关系是“数据总和=平均数×数据个数”，是求x的关键依据。
【解析】
1. 求未知数据$x$的值
已知这组数据共5个，平均数为3，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得：
$2+1+x+5+4=3×5$
计算左侧已知数之和：$2+1+5+4=12$，因此$12+x=15$，解得$x=3$。
2. 计算方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(2-3)^2+(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[1+4+0+4+1]\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考察对平均数、方差基本公式的掌握，只要牢记公式，按步骤计算就能得到正确结果，计算过程注意不要出错即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步进行：第一步，利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，因为求方差需要先明确所有数据；第二步，将所有数据代入方差公式，计算得到最终方差。其中平均数的核心关系是“数据总和=平均数×数据个数”，是求x的关键依据。
【解析】
1. 求未知数据$x$的值
已知这组数据共5个，平均数为3，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得：
$2+1+x+5+4=3×5$
计算左侧已知数之和：$2+1+5+4=12$，因此$12+x=15$，解得$x=3$。
2. 计算方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(2-3)^2+(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2]\\&=\frac{1}{5}[1+4+0+4+1]\\&=\frac{1}{5}×10\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考察对平均数、方差基本公式的掌握，只要牢记公式，按步骤计算就能得到正确结果，计算过程注意不要出错即可。
【难度系数】
0.8
4 甲、乙两名学生在参加今年体育中考前作了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成绩如下：2.20 m、2.30 m、2.30 m、2.40 m、2.30 m，那么关于甲、乙成绩的说法中正确的是(
A.甲的成绩更稳定
B.乙的成绩更稳定
C.甲、乙的成绩一样稳定
D.不能确定谁的成绩更稳定
B
)。A.甲的成绩更稳定
B.乙的成绩更稳定
C.甲、乙的成绩一样稳定
D.不能确定谁的成绩更稳定
答案
4.B
解析
【分析】
要判断甲、乙谁的成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。已知甲的方差，因此解题步骤为：①先计算乙的平均成绩；②根据方差公式计算乙的方差；③比较甲、乙方差的大小，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算乙的平均成绩
乙5次成绩的和为：$2.20 + 2.30×3 + 2.40 = 11.50\ \mathrm{m}$
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙 = 11.50 ÷ 5 = 2.30\ \mathrm{m}$
第二步：计算乙的成绩方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(2.20-2.30)^2 + 3×(2.30-2.30)^2 + (2.40-2.30)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.01 + 0 + 0.01]$
$=\frac{0.02}{5}=0.004$
第三步：比较方差大小
已知甲的方差$s^2_甲=0.005$，因为$0.004 ＜ 0.005$，即乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题考查方差在数据稳定性判断中的应用，解题核心是理解“方差越小，数据的波动越小，对应成绩越稳定”的性质，正确代入方差公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要判断甲、乙谁的成绩更稳定，需比较两人成绩的方差，方差越小成绩越稳定。已知甲的方差，因此解题步骤为：①先计算乙的平均成绩；②根据方差公式计算乙的方差；③比较甲、乙方差的大小，即可得出结论。
【解析】
第一步：计算乙的平均成绩
乙5次成绩的和为：$2.20 + 2.30×3 + 2.40 = 11.50\ \mathrm{m}$
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙 = 11.50 ÷ 5 = 2.30\ \mathrm{m}$
第二步：计算乙的成绩方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(2.20-2.30)^2 + 3×(2.30-2.30)^2 + (2.40-2.30)^2]$
$=\frac{1}{5}[0.01 + 0 + 0.01]$
$=\frac{0.02}{5}=0.004$
第三步：比较方差大小
已知甲的方差$s^2_甲=0.005$，因为$0.004 ＜ 0.005$，即乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题考查方差在数据稳定性判断中的应用，解题核心是理解“方差越小，数据的波动越小，对应成绩越稳定”的性质，正确代入方差公式计算即可。
【难度系数】
0.8
5 某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的人数占总抽查人数的百分比是（
A.10％
B.20％
C.30％
D.40％
注:每组可含最小值,不含最大值
A
）。A.10％
B.20％
C.30％
D.40％
注:每组可含最小值,不含最大值
答案
5.A
解析
【分析】
要计算仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的人数占总抽查人数的百分比，可分三步思考：首先从频数分布直方图中提取目标区间（15~20次）的频数，再计算所有区间的频数之和得到总抽查人数，最后用目标区间频数除以总人数乘100%即可得到所求百分比。
【解析】
首先从频数分布直方图中读取各区间的对应人数：
1. 次数在15~20次的人数为3人；
2. 次数在20~25次的人数为10人；
3. 次数在25~30次的人数为12人；
4. 次数在30~35次的人数为5人。
第一步：计算总抽查人数：$3+10+12+5=30$（人）
第二步：计算目标区间人数占比：$\frac{3}{30} × 100\% = 10\%$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频数分布直方图，频率计算，百分比计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查从频数分布直方图中提取有效信息的能力，计算过程简单，只要细心读取数据、准确运算即可得分。
【难度系数】
0.9
要计算仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的人数占总抽查人数的百分比，可分三步思考：首先从频数分布直方图中提取目标区间（15~20次）的频数，再计算所有区间的频数之和得到总抽查人数，最后用目标区间频数除以总人数乘100%即可得到所求百分比。
【解析】
首先从频数分布直方图中读取各区间的对应人数：
1. 次数在15~20次的人数为3人；
2. 次数在20~25次的人数为10人；
3. 次数在25~30次的人数为12人；
4. 次数在30~35次的人数为5人。
第一步：计算总抽查人数：$3+10+12+5=30$（人）
第二步：计算目标区间人数占比：$\frac{3}{30} × 100\% = 10\%$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频数分布直方图，频率计算，百分比计算
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查从频数分布直方图中提取有效信息的能力，计算过程简单，只要细心读取数据、准确运算即可得分。
【难度系数】
0.9
⑥ 如果一组数据$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的平均数是12，那么另一组数据$x_1+1$、$x_2+3$、$x_3+5$、$x_4+7$的平均数是
16
。答案
6.16
解析
【分析】
解题时从平均数的定义出发思考：平均数等于一组数据的总和除以数据的个数。已知原4个数据的平均数，可先求出原数据的总和；再计算出新数据的总和（原总和加上每个数据新增的数的和），最后用新总和除以数据个数4即可得到新的平均数。也可以利用平均数的性质简化计算：新数据的平均数等于原数据的平均数加上新增部分的平均数。
【解析】
方法一：利用平均数定义计算
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，已知$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的平均数是12，可得：
$x_1+x_2+x_3+x_4=12×4=48$
新数据的总和为：
$\begin{split}&(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+(x_4+7)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4)+(1+3+5+7)\\=&48+16=64\end{split}$
新数据的平均数为：$64÷4=16$
方法二：利用平均数性质计算
原数据平均数为12，新增的4个数1、3、5、7的平均数为：
$\frac{1+3+5+7}{4}=4$
因此新数据的平均数=原平均数+新增数的平均数=$12+4=16$
【答案】
16
【知识点】
1.平均数的计算
2.平均数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平均数概念的理解与应用，两种解题方法中利用平均数性质的方法更高效，平时解题可以灵活选择方法减少计算量。
【难度系数】
0.9
解题时从平均数的定义出发思考：平均数等于一组数据的总和除以数据的个数。已知原4个数据的平均数，可先求出原数据的总和；再计算出新数据的总和（原总和加上每个数据新增的数的和），最后用新总和除以数据个数4即可得到新的平均数。也可以利用平均数的性质简化计算：新数据的平均数等于原数据的平均数加上新增部分的平均数。
【解析】
方法一：利用平均数定义计算
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，已知$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的平均数是12，可得：
$x_1+x_2+x_3+x_4=12×4=48$
新数据的总和为：
$\begin{split}&(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+(x_4+7)\\=&(x_1+x_2+x_3+x_4)+(1+3+5+7)\\=&48+16=64\end{split}$
新数据的平均数为：$64÷4=16$
方法二：利用平均数性质计算
原数据平均数为12，新增的4个数1、3、5、7的平均数为：
$\frac{1+3+5+7}{4}=4$
因此新数据的平均数=原平均数+新增数的平均数=$12+4=16$
【答案】
16
【知识点】
1.平均数的计算
2.平均数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平均数概念的理解与应用，两种解题方法中利用平均数性质的方法更高效，平时解题可以灵活选择方法减少计算量。
【难度系数】
0.9
7 一个样本的各个数据的和是1020，平均数是51，那么这个样本的样本容量是
20
。答案
7.20
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数的计算公式：样本平均数等于样本中所有数据的和除以样本容量。题目已经给出了样本数据总和和平均数，要求样本容量，只需要将平均数公式变形，用数据总和除以平均数即可求出样本容量。
【解析】
设该样本的样本容量为$n$，根据平均数的计算公式可得：
$\bar{x}=\frac{\mathrm{样本数据总和}}{n}$
对公式变形得：$n=\frac{\mathrm{样本数据总和}}{\bar{x}}$
将样本数据总和1020，平均数51代入上式：
$n=1020÷51=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 平均数的计算公式
2. 样本容量的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查平均数公式的逆用，只要熟练掌握平均数与数据总和、样本容量三者的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平均数的计算公式：样本平均数等于样本中所有数据的和除以样本容量。题目已经给出了样本数据总和和平均数，要求样本容量，只需要将平均数公式变形，用数据总和除以平均数即可求出样本容量。
【解析】
设该样本的样本容量为$n$，根据平均数的计算公式可得：
$\bar{x}=\frac{\mathrm{样本数据总和}}{n}$
对公式变形得：$n=\frac{\mathrm{样本数据总和}}{\bar{x}}$
将样本数据总和1020，平均数51代入上式：
$n=1020÷51=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 平均数的计算公式
2. 样本容量的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查平均数公式的逆用，只要熟练掌握平均数与数据总和、样本容量三者的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
8 将7个数由小到大依次排列，其平均数是38，如果这组数的前4个数的平均数是33，后4个数的平均数是42，则这7个数的中位数是
34
。答案
8.34
解析
【分析】
首先明确7个按从小到大排列的数，中位数是第4个数。根据平均数公式“总和=平均数×个数”，我们可以分别算出7个数的总总和、前4个数的总和、后4个数的总和。观察数量关系可知：前4个数的和包含第4个数，后4个数的和也包含第4个数，因此前4个总和加后4个总和，等于7个数的总总和加上重复计算的第4个数（即中位数），用前4个和加后4个和减去7个数的总总和，即可求出中位数。
【解析】
解：7个数从小到大排列后，中位数为第4个数。
1. 计算7个数的总总和：$38×7=266$
2. 计算前4个数的总和：$33×4=132$
3. 计算后4个数的总和：$42×4=168$
由于前4个数的和与后4个数的和相加时，中位数（第4个数）被重复计算1次，因此：
中位数 = 前4个和 + 后4个和 - 7个数总总和
代入得：$132+168-266=34$
【答案】
34
【知识点】
1. 平均数计算
2. 中位数定义
【点评】
本题是统计概念的基础应用题，解题核心是抓住“前4个数和加后4个数和时中位数被重复计算1次”的隐含关系，计算量小，掌握平均数和中位数的基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
首先明确7个按从小到大排列的数，中位数是第4个数。根据平均数公式“总和=平均数×个数”，我们可以分别算出7个数的总总和、前4个数的总和、后4个数的总和。观察数量关系可知：前4个数的和包含第4个数，后4个数的和也包含第4个数，因此前4个总和加后4个总和，等于7个数的总总和加上重复计算的第4个数（即中位数），用前4个和加后4个和减去7个数的总总和，即可求出中位数。
【解析】
解：7个数从小到大排列后，中位数为第4个数。
1. 计算7个数的总总和：$38×7=266$
2. 计算前4个数的总和：$33×4=132$
3. 计算后4个数的总和：$42×4=168$
由于前4个数的和与后4个数的和相加时，中位数（第4个数）被重复计算1次，因此：
中位数 = 前4个和 + 后4个和 - 7个数总总和
代入得：$132+168-266=34$
【答案】
34
【知识点】
1. 平均数计算
2. 中位数定义
【点评】
本题是统计概念的基础应用题，解题核心是抓住“前4个数和加后4个数和时中位数被重复计算1次”的隐含关系，计算量小，掌握平均数和中位数的基础概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
