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四、按要求完成下面各题。（共24分）
1. 化简比并求比值。（9分）
1千克：25克$ \quad \frac{4}{3}$千米：250米$ \quad 9$分：0.6时
1. 化简比并求比值。（9分）
1千克：25克$ \quad \frac{4}{3}$千米：250米$ \quad 9$分：0.6时
答案
1. 1千克：25克 化简比为$40:1$，比值为40
$\frac{4}{3}$千米：250米 化简比为$16:3$，比值为$\frac{16}{3}$
9分：0.6时 化简比为$1:4$，比值为$\frac{1}{4}$
$\frac{4}{3}$千米：250米 化简比为$16:3$，比值为$\frac{16}{3}$
9分：0.6时 化简比为$1:4$，比值为$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解决带单位的比的化简与求比值问题，思路分三步：①统一单位：先根据单位进率把比的前项和后项换算成相同单位，去掉单位后再计算；②化简比：根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），把比化成最简整数比（前项和后项互质）；③求比值：用最简比的前项除以后项，得到的商就是比值。需要用到的单位进率：1千克=1000克，1千米=1000米，1时=60分。
【解析】
1. 计算1千克：25克
①统一单位：1千克=1000克，原式变为1000克:25克=1000:25
②化简比：前项后项同时除以25，$(1000÷25):(25÷25)=40:1$
③求比值：$40÷1=40$
2. 计算$\frac{4}{3}$千米：250米
①统一单位：$\frac{4}{3}$千米=$\frac{4}{3}×1000=\frac{4000}{3}$米，原式变为$\frac{4000}{3}$米:250米=$\frac{4000}{3}:250$
②化简比：前项后项同时乘3得$4000:750$，再同时除以250，$(4000÷250):(750÷250)=16:3$
③求比值：$16÷3=\frac{16}{3}$
3. 计算9分：0.6时
①统一单位：$0.6$时=$0.6×60=36$分，原式变为9分:36分=$9:36$
②化简比：前项后项同时除以9，$(9÷9):(36÷9)=1:4$
③求比值：$1÷4=\frac{1}{4}$
【答案】
1. 1千克：25克 化简比为$40:1$，比值为40
$\frac{4}{3}$千米：250米 化简比为$16:3$，比值为$\frac{16}{3}$
9分：0.6时 化简比为$1:4$，比值为$\frac{1}{4}$
【知识点】
单位换算、比的化简、求比值
【点评】
本题核心是考察带单位的比的相关计算，易错点是忘记先统一单位直接计算，或单位换算的进率记错，只要熟练掌握单位进率和比的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解决带单位的比的化简与求比值问题，思路分三步：①统一单位：先根据单位进率把比的前项和后项换算成相同单位，去掉单位后再计算；②化简比：根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），把比化成最简整数比（前项和后项互质）；③求比值：用最简比的前项除以后项，得到的商就是比值。需要用到的单位进率：1千克=1000克，1千米=1000米，1时=60分。
【解析】
1. 计算1千克：25克
①统一单位：1千克=1000克，原式变为1000克:25克=1000:25
②化简比：前项后项同时除以25，$(1000÷25):(25÷25)=40:1$
③求比值：$40÷1=40$
2. 计算$\frac{4}{3}$千米：250米
①统一单位：$\frac{4}{3}$千米=$\frac{4}{3}×1000=\frac{4000}{3}$米，原式变为$\frac{4000}{3}$米:250米=$\frac{4000}{3}:250$
②化简比：前项后项同时乘3得$4000:750$，再同时除以250，$(4000÷250):(750÷250)=16:3$
③求比值：$16÷3=\frac{16}{3}$
3. 计算9分：0.6时
①统一单位：$0.6$时=$0.6×60=36$分，原式变为9分:36分=$9:36$
②化简比：前项后项同时除以9，$(9÷9):(36÷9)=1:4$
③求比值：$1÷4=\frac{1}{4}$
【答案】
1. 1千克：25克 化简比为$40:1$，比值为40
$\frac{4}{3}$千米：250米 化简比为$16:3$，比值为$\frac{16}{3}$
9分：0.6时 化简比为$1:4$，比值为$\frac{1}{4}$
【知识点】
单位换算、比的化简、求比值
【点评】
本题核心是考察带单位的比的相关计算，易错点是忘记先统一单位直接计算，或单位换算的进率记错，只要熟练掌握单位进率和比的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(2) $\frac{(\quad)}{5}=0.4=\frac{(\quad)}{20}=20:(\quad)=(\quad)÷15$
答案
2、8、50、6
解析
【分析】
这道题的解题突破口是已知的固定值0.4，我们可以先把0.4转化为最简分数，再结合分数的基本性质、分数与比、分数与除法的对应关系，依次求出每个括号的数值。思考时要注意：分数的分子对应比的前项、除法的被除数，分数的分母对应比的后项、除法的除数，相关数值变化时要同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
【解析】
第一步：求第一个括号的数
先把0.4转化为分数：$0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，所以第一个括号填2。
第二步：求第二个括号的数
根据分数的基本性质，分母从5变为20，是乘了$20÷5=4$，分子也要乘4：$2×4=8$，所以$\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$，第二个括号填8。
第三步：求第三个括号的数
根据分数和比的关系，$\frac{2}{5}=2:5$，比的前项从2变为20，是乘了$20÷2=10$，比的后项也要乘10：$5×10=50$，所以$2:5=20:50$，第三个括号填50。
第四步：求第四个括号的数
根据分数和除法的关系，$\frac{2}{5}=2÷5$，除数从5变为15，是乘了$15÷5=3$，被除数也要乘3：$2×3=6$，所以$2÷5=6÷15$，第四个括号填6。
【答案】
2、8、50、6
【知识点】
分数基本性质、数的互化、比与除法的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察小数、分数、比、除法之间的内在联系，只要抓住已知的固定值，结合对应性质计算就能顺利解答，是数与代数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题的解题突破口是已知的固定值0.4，我们可以先把0.4转化为最简分数，再结合分数的基本性质、分数与比、分数与除法的对应关系，依次求出每个括号的数值。思考时要注意：分数的分子对应比的前项、除法的被除数，分数的分母对应比的后项、除法的除数，相关数值变化时要同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
【解析】
第一步：求第一个括号的数
先把0.4转化为分数：$0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，所以第一个括号填2。
第二步：求第二个括号的数
根据分数的基本性质，分母从5变为20，是乘了$20÷5=4$，分子也要乘4：$2×4=8$，所以$\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$，第二个括号填8。
第三步：求第三个括号的数
根据分数和比的关系，$\frac{2}{5}=2:5$，比的前项从2变为20，是乘了$20÷2=10$，比的后项也要乘10：$5×10=50$，所以$2:5=20:50$，第三个括号填50。
第四步：求第四个括号的数
根据分数和除法的关系，$\frac{2}{5}=2÷5$，除数从5变为15，是乘了$15÷5=3$，被除数也要乘3：$2×3=6$，所以$2÷5=6÷15$，第四个括号填6。
【答案】
2、8、50、6
【知识点】
分数基本性质、数的互化、比与除法的关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察小数、分数、比、除法之间的内在联系，只要抓住已知的固定值，结合对应性质计算就能顺利解答，是数与代数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
（3）写出比值是1.25的三个比：（
5:4
），（10:8
），（15:12
）。答案
5:4、10:8、15:12（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先明确比值的定义：比的前项除以后项所得的商就是比值。已知要求比值为1.25，我们可以先把1.25转化为最简分数，得到对应的最简整数比，再根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），将最简整数比的前项和后项同时扩大相同的非0倍数，就能得到多个符合要求的比。
【解析】
1. 先将小数1.25转化为最简分数：$1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}$，分数形式的比值对应最简整数比为$5:4$，验证：$5÷4=1.25$，符合要求。
2. 根据比的基本性质，把$5:4$的前项和后项同时乘2，得到$(5×2):(4×2)=10:8$，验证：$10÷8=1.25$，符合要求。
3. 把$5:4$的前项和后项同时乘3，得到$(5×3):(4×3)=15:12$，验证：$15÷12=1.25$，符合要求。
也可将前项后项同时乘其他非0数得到更多符合要求的比，因此答案不唯一。
【答案】
5:4、10:8、15:12（答案不唯一）
【知识点】
比值的含义；比的基本性质；小数与分数的互化
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对比的相关性质的灵活运用，只要掌握比值的计算方法和比的基本性质，就能轻松写出符合要求的比，答案不唯一，只要满足前项除以后项的商为1.25均正确。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确比值的定义：比的前项除以后项所得的商就是比值。已知要求比值为1.25，我们可以先把1.25转化为最简分数，得到对应的最简整数比，再根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变），将最简整数比的前项和后项同时扩大相同的非0倍数，就能得到多个符合要求的比。
【解析】
1. 先将小数1.25转化为最简分数：$1.25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}$，分数形式的比值对应最简整数比为$5:4$，验证：$5÷4=1.25$，符合要求。
2. 根据比的基本性质，把$5:4$的前项和后项同时乘2，得到$(5×2):(4×2)=10:8$，验证：$10÷8=1.25$，符合要求。
3. 把$5:4$的前项和后项同时乘3，得到$(5×3):(4×3)=15:12$，验证：$15÷12=1.25$，符合要求。
也可将前项后项同时乘其他非0数得到更多符合要求的比，因此答案不唯一。
【答案】
5:4、10:8、15:12（答案不唯一）
【知识点】
比值的含义；比的基本性质；小数与分数的互化
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对比的相关性质的灵活运用，只要掌握比值的计算方法和比的基本性质，就能轻松写出符合要求的比，答案不唯一，只要满足前项除以后项的商为1.25均正确。
【难度系数】
0.9
(4) $A:B=3:7$,若$A+B=40$,则$A=(\quad)$;若$B-A=40$,则$B=(\quad)$;若$A=40$,则$B=(\quad)$;若$A$、$B$的平均数是$40$,则$A=(\quad)$。
答案
12、70、$\frac{280}{3}$、24
解析
【分析】
本题属于比的应用类题目，解题时可先将A看作3份、B看作7份，先根据已知条件求出1份对应的数值，再结合所求量的份数计算结果：①已知两数和，先求总份数，用和除以总份数得每份的量；②已知两数差，用差除以份数差得每份的量；③已知其中一个数，用这个数除以它对应的份数得每份的量；④已知两数的平均数，先乘2求出两数的和，再按和的情况计算。
【解析】
已知$A:B=3:7$，我们把A看作3份，B看作7份：
1. 当$A+B=40$时，总份数是$3+7=10$份，对应数值40，所以1份的量是$40÷10=4$，A占3份，即$A=3×4=12$；
2. 当$B-A=40$时，份数差是$7-3=4$份，对应数值40，所以1份的量是$40÷4=10$，B占7份，即$B=7×10=70$；
3. 当$A=40$时，A的3份对应数值40，所以1份的量是$40÷3=\frac{40}{3}$，B占7份，即$B=7×\frac{40}{3}=\frac{280}{3}$；
4. 当A、B的平均数是40时，两数的和是$40×2=80$，总份数是10份，1份的量是$80÷10=8$，A占3份，即$A=3×8=24$。
【答案】
12、70、$\frac{280}{3}$、24
【知识点】
比的应用、按比例分配、平均数计算
【点评】
本题是比的应用的典型基础题，核心解题思路是将比转化为份数关系，通过每份的量衔接已知条件和未知量，掌握该方法可以快速解决各类按比例分配的相关问题。
【难度系数】
0.7
本题属于比的应用类题目，解题时可先将A看作3份、B看作7份，先根据已知条件求出1份对应的数值，再结合所求量的份数计算结果：①已知两数和，先求总份数，用和除以总份数得每份的量；②已知两数差，用差除以份数差得每份的量；③已知其中一个数，用这个数除以它对应的份数得每份的量；④已知两数的平均数，先乘2求出两数的和，再按和的情况计算。
【解析】
已知$A:B=3:7$，我们把A看作3份，B看作7份：
1. 当$A+B=40$时，总份数是$3+7=10$份，对应数值40，所以1份的量是$40÷10=4$，A占3份，即$A=3×4=12$；
2. 当$B-A=40$时，份数差是$7-3=4$份，对应数值40，所以1份的量是$40÷4=10$，B占7份，即$B=7×10=70$；
3. 当$A=40$时，A的3份对应数值40，所以1份的量是$40÷3=\frac{40}{3}$，B占7份，即$B=7×\frac{40}{3}=\frac{280}{3}$；
4. 当A、B的平均数是40时，两数的和是$40×2=80$，总份数是10份，1份的量是$80÷10=8$，A占3份，即$A=3×8=24$。
【答案】
12、70、$\frac{280}{3}$、24
【知识点】
比的应用、按比例分配、平均数计算
【点评】
本题是比的应用的典型基础题，核心解题思路是将比转化为份数关系，通过每份的量衔接已知条件和未知量，掌握该方法可以快速解决各类按比例分配的相关问题。
【难度系数】
0.7
(5)将3：5的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上(
15
)。答案
15
解析
【分析】
要解这道题，首先用到比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。解题时先计算前项加上9之后的数值，再算出前项扩大到原来的几倍，让后项也扩大相同的倍数，最后用扩大后的后项减去原来的后项，就能得到后项应加上的数。
【解析】
1. 先计算变化后的前项：$3+9=12$
2. 计算前项扩大的倍数：$12÷3=4$，即前项乘了4
3. 根据比的基本性质，要使比值不变，后项也需要乘4，得到变化后的后项：$5×4=20$
4. 计算后项应加上的数值：$20-5=15$
【答案】
15
【知识点】
比的基本性质、比的运算
【点评】
这道题是比的性质的基础应用题型，解题核心是准确把握前项的变化规律，注意区分“后项乘几”和“后项加几”的差异，不要误把扩大后的后项直接作为答案，需减去原后项才是最终结果。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先用到比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。解题时先计算前项加上9之后的数值，再算出前项扩大到原来的几倍，让后项也扩大相同的倍数，最后用扩大后的后项减去原来的后项，就能得到后项应加上的数。
【解析】
1. 先计算变化后的前项：$3+9=12$
2. 计算前项扩大的倍数：$12÷3=4$，即前项乘了4
3. 根据比的基本性质，要使比值不变，后项也需要乘4，得到变化后的后项：$5×4=20$
4. 计算后项应加上的数值：$20-5=15$
【答案】
15
【知识点】
比的基本性质、比的运算
【点评】
这道题是比的性质的基础应用题型，解题核心是准确把握前项的变化规律，注意区分“后项乘几”和“后项加几”的差异，不要误把扩大后的后项直接作为答案，需减去原后项才是最终结果。
【难度系数】
0.7
将下图中的梯形分成3个三角形，使它们的面积比是1：2：3。
答案
答案不唯一，如：
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路思考：首先先计算出梯形的总面积，再按照1:2:3的比例算出三个三角形分别需要的面积；接下来结合三角形面积公式“面积=底×高÷2”，利用等高的三角形面积比等于底边长的比这一规律，在梯形的边上找到合适的分点，连线后即可得到符合要求的三个三角形。
【解析】
1. 设每个小方格的边长为1，先计算梯形总面积：
观察梯形可知，上底长为2，下底长为4，高为2，根据梯形面积公式：
$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(2+4)×2÷2=6$
2. 按比例分配计算三个三角形的面积：
总份数为$1+2+3=6$，每份面积为$6÷6=1$，因此三个三角形的面积分别为$1×1=1$、$1×2=2$、$1×3=3$。
3. 分割图形：
在梯形的下底上找到从左数第2个格点，将下底分为长度1和长度3的两段：
① 连接该点与梯形上底的左端点，得到第一个三角形：底为1，高为2，面积$=1×2÷2=1$；
② 连接该点与梯形上底的右端点，得到第二个三角形：底为2，高为2，面积$=2×2÷2=2$；
③ 剩下的第三个三角形面积为$6-1-2=3$，刚好满足面积比1:2:3。
（分法不唯一）
【答案】
答案不唯一，如：
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，按比分配
【点评】
本题是几何与比例的综合应用题，需要灵活运用面积计算公式和按比分配的知识，解题核心是通过面积确定分割线段的位置，本题解法多样，可锻炼发散思维。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按以下思路思考：首先先计算出梯形的总面积，再按照1:2:3的比例算出三个三角形分别需要的面积；接下来结合三角形面积公式“面积=底×高÷2”，利用等高的三角形面积比等于底边长的比这一规律，在梯形的边上找到合适的分点，连线后即可得到符合要求的三个三角形。
【解析】
1. 设每个小方格的边长为1，先计算梯形总面积：
观察梯形可知，上底长为2，下底长为4，高为2，根据梯形面积公式：
$S_{梯形}=(上底+下底)×高÷2=(2+4)×2÷2=6$
2. 按比例分配计算三个三角形的面积：
总份数为$1+2+3=6$，每份面积为$6÷6=1$，因此三个三角形的面积分别为$1×1=1$、$1×2=2$、$1×3=3$。
3. 分割图形：
在梯形的下底上找到从左数第2个格点，将下底分为长度1和长度3的两段：
① 连接该点与梯形上底的左端点，得到第一个三角形：底为1，高为2，面积$=1×2÷2=1$；
② 连接该点与梯形上底的右端点，得到第二个三角形：底为2，高为2，面积$=2×2÷2=2$；
③ 剩下的第三个三角形面积为$6-1-2=3$，刚好满足面积比1:2:3。
（分法不唯一）
【答案】
答案不唯一，如：
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，按比分配
【点评】
本题是几何与比例的综合应用题，需要灵活运用面积计算公式和按比分配的知识，解题核心是通过面积确定分割线段的位置，本题解法多样，可锻炼发散思维。
【难度系数】
0.6
