登录
8.如图,在$□ ABCD$中,AC,BD相交于点O,请添加一个条件________,可使平行四边形ABCD是矩形.
答案
8.$AC=BD$(答案不唯一)
解析
【分析】首先明确已知四边形ABCD是平行四边形，要将其转化为矩形，可结合矩形的判定定理思考：针对平行四边形判定为矩形有两类思路，一是给平行四边形添加“有一个内角为直角”的条件，二是给平行四边形添加“对角线相等”的条件，从这两类思路中任选一个合理的条件即可。
【解析】平行四边形判定为矩形的定理如下：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形ABCD为平行四边形，若添加条件$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可直接判定平行四边形ABCD是矩形；也可添加如$∠ DAB=90°$等符合判定规则的条件，本题答案不唯一。
【答案】$AC=BD$(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】本题属于开放性基础题，核心考查矩形判定定理的应用，只要添加的条件符合矩形的判定要求均为正确答案。
【难度系数】0.8
【解析】平行四边形判定为矩形的定理如下：
1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。
已知四边形ABCD为平行四边形，若添加条件$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可直接判定平行四边形ABCD是矩形；也可添加如$∠ DAB=90°$等符合判定规则的条件，本题答案不唯一。
【答案】$AC=BD$(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】本题属于开放性基础题，核心考查矩形判定定理的应用，只要添加的条件符合矩形的判定要求均为正确答案。
【难度系数】0.8
9.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE=
$110°$
.答案
9.$110°$
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先利用矩形对边平行的性质，得到内错角∠ADB=∠DBC，算出∠DBC的度数；第二步，矩形的内角为直角，可知△EBF是直角三角形，结合P是EF中点的条件，依据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到BP=PF，推出△PBF为等腰三角形，就能计算出∠BPF的度数；第三步，根据对顶角相等，即可得到∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠DBC=35°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△EBF中，P为EF的中点，
∴BP=PF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠PBF=∠PFB=35°。
在△PBF中，由三角形内角和为180°得：
∠BPF=180°-∠PBF-∠PFB=180°-35°-35°=110°。
又
∵∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
$110°$
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，对顶角性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将矩形性质、直角三角形特性和三角形内角和、对顶角性质结合考查，解题的关键是找到直角三角形斜边中线与斜边的等量关系，进而推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，先利用矩形对边平行的性质，得到内错角∠ADB=∠DBC，算出∠DBC的度数；第二步，矩形的内角为直角，可知△EBF是直角三角形，结合P是EF中点的条件，依据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到BP=PF，推出△PBF为等腰三角形，就能计算出∠BPF的度数；第三步，根据对顶角相等，即可得到∠DPE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠DBC=35°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△EBF中，P为EF的中点，
∴BP=PF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠PBF=∠PFB=35°。
在△PBF中，由三角形内角和为180°得：
∠BPF=180°-∠PBF-∠PFB=180°-35°-35°=110°。
又
∵∠DPE与∠BPF是对顶角，
∴∠DPE=∠BPF=110°。
【答案】
$110°$
【知识点】
矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，对顶角性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将矩形性质、直角三角形特性和三角形内角和、对顶角性质结合考查，解题的关键是找到直角三角形斜边中线与斜边的等量关系，进而推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.7
10.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果∠ADB=30°,则∠E=
15
°.答案
10.15
解析
【分析】
解题时先考虑利用矩形的性质转化已知条件，添加辅助线AC是关键：1.由矩形对角线相等可得AC=BD，结合CE=BD推出AC=CE，得到等腰△ACE，可知两底角∠CAE=∠E；2.根据矩形对边平行，得AD//BE，推出内错角∠DAE=∠E，因此∠CAD=2∠E；3.再利用矩形对角线互相平分的性质，得∠CAD=∠ADB=30°，即可求解∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，且矩形对角线互相平分，OA=OD，
∴∠CAD=∠ADB=30°，∠DAE=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E。
∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠E+∠E=2∠E，
代入∠CAD=30°，得2∠E=30°，
解得∠E=15°。
【答案】
15
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形性质的综合基础题，解题的突破口是正确添加辅助线AC，将已知的线段等量关系转化为等腰三角形的边角关系，需要同学们熟练掌握矩形、等腰三角形和平行线的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时先考虑利用矩形的性质转化已知条件，添加辅助线AC是关键：1.由矩形对角线相等可得AC=BD，结合CE=BD推出AC=CE，得到等腰△ACE，可知两底角∠CAE=∠E；2.根据矩形对边平行，得AD//BE，推出内错角∠DAE=∠E，因此∠CAD=2∠E；3.再利用矩形对角线互相平分的性质，得∠CAD=∠ADB=30°，即可求解∠E的度数。
【解析】
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，且矩形对角线互相平分，OA=OD，
∴∠CAD=∠ADB=30°，∠DAE=∠E（两直线平行，内错角相等）。
又
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE为等腰三角形，∠CAE=∠E。
∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠E+∠E=2∠E，
代入∠CAD=30°，得2∠E=30°，
解得∠E=15°。
【答案】
15
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形性质的综合基础题，解题的突破口是正确添加辅助线AC，将已知的线段等量关系转化为等腰三角形的边角关系，需要同学们熟练掌握矩形、等腰三角形和平行线的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
11.如图,将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EF-GH,若$EH=3$,$EF=4$,则边 AD 的长是________.
答案
11.5
解析
【分析】
本题属于矩形折叠类问题，解题思路如下：1. 利用折叠前后对应角相等的性质，推导四边形EFGH的内角均为90°，判定其为矩形；2. 在Rt△HEF中，已知两条直角边长度，用勾股定理可算出斜边HF的长度；3. 结合折叠前后对应边相等的性质，可发现AD的长度与HF的长度相等，进而求出AD的长。
【解析】
由折叠的性质可得：
∠AEH = ∠MEH，∠BEF = ∠MEF，
∴ ∠HEF = ∠MEH + ∠MEF = $\frac{1}{2}$×(∠AEM + ∠BEM) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
同理可得∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°，
∴ 四边形EFGH是矩形。
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理：
$HF = \sqrt{EH^2 + EF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由折叠的对应边相等可知：AH = HM，HD = MF，
∴ AD = AH + HD = HM + MF = HF = 5。
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题考查折叠变换与几何计算的结合，解题核心是利用折叠性质实现边角的转化，将未知边AD转化为可求解的直角三角形的斜边，对转化思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题属于矩形折叠类问题，解题思路如下：1. 利用折叠前后对应角相等的性质，推导四边形EFGH的内角均为90°，判定其为矩形；2. 在Rt△HEF中，已知两条直角边长度，用勾股定理可算出斜边HF的长度；3. 结合折叠前后对应边相等的性质，可发现AD的长度与HF的长度相等，进而求出AD的长。
【解析】
由折叠的性质可得：
∠AEH = ∠MEH，∠BEF = ∠MEF，
∴ ∠HEF = ∠MEH + ∠MEF = $\frac{1}{2}$×(∠AEM + ∠BEM) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
同理可得∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°，
∴ 四边形EFGH是矩形。
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理：
$HF = \sqrt{EH^2 + EF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由折叠的对应边相等可知：AH = HM，HD = MF，
∴ AD = AH + HD = HM + MF = HF = 5。
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题考查折叠变换与几何计算的结合，解题核心是利用折叠性质实现边角的转化，将未知边AD转化为可求解的直角三角形的斜边，对转化思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$为$BC$的中点,$P$为$BC$上一点,$PF ⊥ AB$于点$F$,$PE ⊥ AC$于点$E$,则$DF$与$DE$的关系为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
12.$DF=DE$且$DF⊥ DE$
解析
【分析】
要判断DF与DE的关系，需同时考虑数量关系和位置关系。解题思路如下：①首先观察到△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，遇到这类条件通常连接AD，利用等腰直角三角形“三线合一”的性质，可得到AD=CD、∠FAD=∠C=45°、AD⊥BC等结论；②再根据PF⊥AB、PE⊥AC、∠BAC=90°，可判定四边形AFPE是矩形，结合∠C=45°可推导出AF=CE；③最后通过SAS证明△ADF≌△CDE，即可得到两条线段的数量关系，再通过角的等量代换推导角度，得到位置关系。
【解析】
连接AD，
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=45°$，
∵ 点$D$为$BC$的中点，
∴ $AD=CD$，$AD⊥ BC$，$∠ DAB=∠ DAC=45°$，
∴ $∠ FAD=∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$。
∵ $PF ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，$∠ BAC=90°$，
∴ 四边形AFPE是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ $AF=PE$。
∵ $PE⊥ AC$，$∠ C=45°$，
∴ $△ PEC$是等腰直角三角形，
∴ $PE=CE$，
∴ $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AF=CE \\∠ FAD=∠ C \\AD=CD\end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $DF=DE$，$∠ ADF=∠ CDE$。
∵ $∠ ADC=∠ CDE+∠ ADE=90°$，
∴ $∠ ADF+∠ ADE=∠ FDE=90°$，
∴ $DF⊥ DE$。
【答案】
$DF=DE$且$DF⊥ DE$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合常考题，解题的关键是合理连接辅助线AD，结合特殊三角形、特殊四边形的性质构造全等三角形，同时注意判断线段关系要同时考虑数量和位置两个维度。
【难度系数】
0.6
要判断DF与DE的关系，需同时考虑数量关系和位置关系。解题思路如下：①首先观察到△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，遇到这类条件通常连接AD，利用等腰直角三角形“三线合一”的性质，可得到AD=CD、∠FAD=∠C=45°、AD⊥BC等结论；②再根据PF⊥AB、PE⊥AC、∠BAC=90°，可判定四边形AFPE是矩形，结合∠C=45°可推导出AF=CE；③最后通过SAS证明△ADF≌△CDE，即可得到两条线段的数量关系，再通过角的等量代换推导角度，得到位置关系。
【解析】
连接AD，
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
∴ $∠ B=∠ C=45°$，
∵ 点$D$为$BC$的中点，
∴ $AD=CD$，$AD⊥ BC$，$∠ DAB=∠ DAC=45°$，
∴ $∠ FAD=∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$。
∵ $PF ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，$∠ BAC=90°$，
∴ 四边形AFPE是矩形（三个角为直角的四边形是矩形），
∴ $AF=PE$。
∵ $PE⊥ AC$，$∠ C=45°$，
∴ $△ PEC$是等腰直角三角形，
∴ $PE=CE$，
∴ $AF=CE$。
在$△ ADF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AF=CE \\∠ FAD=∠ C \\AD=CD\end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $DF=DE$，$∠ ADF=∠ CDE$。
∵ $∠ ADC=∠ CDE+∠ ADE=90°$，
∴ $∠ ADF+∠ ADE=∠ FDE=90°$，
∴ $DF⊥ DE$。
【答案】
$DF=DE$且$DF⊥ DE$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合常考题，解题的关键是合理连接辅助线AD，结合特殊三角形、特殊四边形的性质构造全等三角形，同时注意判断线段关系要同时考虑数量和位置两个维度。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O.若$AO=3$,$∠ OBC=30°$,求矩形的周长和面积.
13.如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O.若$AO=3$,$∠ OBC=30°$,求矩形的周长和面积.
答案
13.$\because$ 四边形ABCD为矩形,AC与BD是对角线,$\therefore AO=BO,∠ ABC=90°$.又$\because AO=3,∠ OBC=30°,\therefore ∠ ABO=60°$,$\therefore AB=AO=3,\therefore BC=\sqrt{(3+3)^2-3^2}=3\sqrt{3}$.即矩形ABCD的周长是$6+6\sqrt{3}$,矩形ABCD的面积是$9\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手：矩形的对角线相等且互相平分，四个角均为直角。首先根据已知AO=3，可求出对角线AC的长度，再结合∠OBC=30°，利用等腰三角形性质得到∠ACB=30°，在直角三角形ABC中，根据30°角所对直角边是斜边一半得到AB的长度，再用勾股定理算出BC的长度，最后代入矩形周长和面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，
∴矩形对角线相等且互相平分，∠ABC=90°，
∴AO=BO=CO=DO，AC=2AO=2×3=6，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$AB=\frac{1}{2}AC=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴矩形的周长$=2(AB+BC)=2×(3+3\sqrt{3})=6+6\sqrt{3}$，
矩形的面积$=AB×BC=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】
矩形的周长为$6+6\sqrt{3}$，面积为$9\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用矩形对角线的性质得到特殊角与边长的关系，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求出矩形相邻两边的长度，再计算周长和面积，是矩形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从矩形的性质入手：矩形的对角线相等且互相平分，四个角均为直角。首先根据已知AO=3，可求出对角线AC的长度，再结合∠OBC=30°，利用等腰三角形性质得到∠ACB=30°，在直角三角形ABC中，根据30°角所对直角边是斜边一半得到AB的长度，再用勾股定理算出BC的长度，最后代入矩形周长和面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，
∴矩形对角线相等且互相平分，∠ABC=90°，
∴AO=BO=CO=DO，AC=2AO=2×3=6，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$AB=\frac{1}{2}AC=3$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴矩形的周长$=2(AB+BC)=2×(3+3\sqrt{3})=6+6\sqrt{3}$，
矩形的面积$=AB×BC=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】
矩形的周长为$6+6\sqrt{3}$，面积为$9\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用矩形对角线的性质得到特殊角与边长的关系，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求出矩形相邻两边的长度，再计算周长和面积，是矩形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$□ ABCD$中,AF,BH,CH,DF分别是$∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC$的平分线.求证:四边形EFGH为矩形.
答案
14.$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore ∠ DAB+∠ ADC=180°$,$\because AF,DF$分别平分$∠ DAB,∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD=∠ BAF=\frac{1}{2}∠ DAB$,$∠ ADF=∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD+∠ ADF=\frac{1}{2}∠ DAB+\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ ADC)=90°$,$\therefore ∠ AFD=90°$,同理可得$∠ BHC=∠ HEF=90°$,$\therefore$ 四边形EFGH是矩形
解析
【分析】
要证明四边形EFGH为矩形，可采用“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。首先利用平行四边形邻角互补的性质，得到相邻内角和为180°；再结合角平分线的定义，可推出相邻两个角的一半之和为90°，从而得到四边形EFGH的一个内角为直角；同理可证得另外两个内角也为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠DAB + ∠ADC = 180°，
∵ AF、DF分别平分∠DAB、∠ADC，
∴ ∠FAD = ∠BAF = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ADF = ∠CDF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴ ∠FAD + ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠DAB + $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ADC) = 90°，
∴ ∠AFD = 90°，
同理可得∠BHC = ∠HEF = 90°，
∴ 四边形EFGH是矩形。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore ∠ DAB+∠ ADC=180°$,$\because AF,DF$分别平分$∠ DAB,∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD=∠ BAF=\frac{1}{2}∠ DAB$,$∠ ADF=∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD+∠ ADF=\frac{1}{2}∠ DAB+\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ ADC)=90°$,$\therefore ∠ AFD=90°$,同理可得$∠ BHC=∠ HEF=90°$,$\therefore$ 四边形EFGH是矩形
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与矩形判定的综合基础题，解题核心是利用平行四边形邻角互补的特征，结合角平分线的性质推导得到直角，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明四边形EFGH为矩形，可采用“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。首先利用平行四边形邻角互补的性质，得到相邻内角和为180°；再结合角平分线的定义，可推出相邻两个角的一半之和为90°，从而得到四边形EFGH的一个内角为直角；同理可证得另外两个内角也为直角，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠DAB + ∠ADC = 180°，
∵ AF、DF分别平分∠DAB、∠ADC，
∴ ∠FAD = ∠BAF = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ADF = ∠CDF = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴ ∠FAD + ∠ADF = $\frac{1}{2}$∠DAB + $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ADC) = 90°，
∴ ∠AFD = 90°，
同理可得∠BHC = ∠HEF = 90°，
∴ 四边形EFGH是矩形。
【答案】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore ∠ DAB+∠ ADC=180°$,$\because AF,DF$分别平分$∠ DAB,∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD=∠ BAF=\frac{1}{2}∠ DAB$,$∠ ADF=∠ CDF=\frac{1}{2}∠ ADC$,$\therefore ∠ FAD+∠ ADF=\frac{1}{2}∠ DAB+\frac{1}{2}∠ ADC=\frac{1}{2}(∠ DAB+∠ ADC)=90°$,$\therefore ∠ AFD=90°$,同理可得$∠ BHC=∠ HEF=90°$,$\therefore$ 四边形EFGH是矩形
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；矩形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与矩形判定的综合基础题，解题核心是利用平行四边形邻角互补的特征，结合角平分线的性质推导得到直角，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
