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8. 一个圆的半径是5厘米，如果它的半径减少2厘米，则直径减少（
4
）厘米，周长减少（4π
）厘米，面积减少（16π
）平方厘米。答案
4 4π 16π
解析
【分析】
解题时首先明确圆的直径、周长、面积都和半径直接相关，我们可以先算出半径减少后的长度，再分别计算变化前后的直径、周长、面积，最后作差得到减少的量。也可结合公式推导规律：直径是半径的2倍，所以直径变化量是半径变化量的2倍；周长和半径成正比，周长变化量为2π乘半径变化量；面积和半径的平方相关，需要分别计算前后面积再求差，不能直接用半径变化量计算。
【解析】
1. 先计算半径减少后的长度：$ 5 - 2 = 3 $（厘米）
2. 计算直径减少量：
原来直径：$ 2×5=10 $（厘米）
减少后直径：$ 2×3=6 $（厘米）
直径减少量：$ 10 - 6 = 4 $（厘米）
3. 计算周长减少量：
原来周长：$ 2π×5=10π $（厘米）
减少后周长：$ 2π×3=6π $（厘米）
周长减少量：$ 10π - 6π = 4π $（厘米）
4. 计算面积减少量：
原来面积：$ π×5^2=25π $（平方厘米）
减少后面积：$ π×3^2=9π $（平方厘米）
面积减少量：$ 25π - 9π = 16π $（平方厘米）
【答案】
4；4π；16π
【知识点】
圆的直径与半径的关系、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查圆的基本参数随半径变化的计算，解题时要注意区分周长和面积的变化规律，周长变化与半径变化成正比，面积变化需要分别计算变化前后的面积再作差，切勿直接用半径的变化量代入面积公式计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆的直径、周长、面积都和半径直接相关，我们可以先算出半径减少后的长度，再分别计算变化前后的直径、周长、面积，最后作差得到减少的量。也可结合公式推导规律：直径是半径的2倍，所以直径变化量是半径变化量的2倍；周长和半径成正比，周长变化量为2π乘半径变化量；面积和半径的平方相关，需要分别计算前后面积再求差，不能直接用半径变化量计算。
【解析】
1. 先计算半径减少后的长度：$ 5 - 2 = 3 $（厘米）
2. 计算直径减少量：
原来直径：$ 2×5=10 $（厘米）
减少后直径：$ 2×3=6 $（厘米）
直径减少量：$ 10 - 6 = 4 $（厘米）
3. 计算周长减少量：
原来周长：$ 2π×5=10π $（厘米）
减少后周长：$ 2π×3=6π $（厘米）
周长减少量：$ 10π - 6π = 4π $（厘米）
4. 计算面积减少量：
原来面积：$ π×5^2=25π $（平方厘米）
减少后面积：$ π×3^2=9π $（平方厘米）
面积减少量：$ 25π - 9π = 16π $（平方厘米）
【答案】
4；4π；16π
【知识点】
圆的直径与半径的关系、圆的周长计算、圆的面积计算
【点评】
本题考查圆的基本参数随半径变化的计算，解题时要注意区分周长和面积的变化规律，周长变化与半径变化成正比，面积变化需要分别计算变化前后的面积再作差，切勿直接用半径的变化量代入面积公式计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
9. “外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果右图中外面正方形的面积是36平方厘米，则内圆的面积是（
9π
）平方厘米。答案
9π
解析
【分析】
本题属于外方内圆组合图形的面积计算问题，解题的核心是明确外方内圆结构中正方形的边长与内部圆的直径相等的关系。解题步骤可分为三步：首先根据正方形面积求出正方形的边长；其次由边长推导得到圆的半径；最后代入圆的面积公式计算得到结果。
【解析】
1. 求正方形的边长：正方形面积公式为$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知正方形面积是36平方厘米，因为$6×6=36$，所以正方形的边长为6厘米。
2. 求圆的半径：外方内圆中，内部圆的直径等于正方形的边长，即圆的直径$d=6$厘米，因此圆的半径$r=d÷2=6÷2=3$厘米。
3. 计算圆的面积：圆的面积公式为$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，将$r=3$代入公式可得：$S_{\mathrm{圆}}=π×3^2=9π$平方厘米。
【答案】
$9π$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、外方内圆图形特征
【点评】
本题结合传统建筑设计场景出题，既考查了正方形和圆的基础面积计算公式的应用，也考查了组合图形中各部分的数量关联，解题的关键是找准正方形边长和圆直径的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题属于外方内圆组合图形的面积计算问题，解题的核心是明确外方内圆结构中正方形的边长与内部圆的直径相等的关系。解题步骤可分为三步：首先根据正方形面积求出正方形的边长；其次由边长推导得到圆的半径；最后代入圆的面积公式计算得到结果。
【解析】
1. 求正方形的边长：正方形面积公式为$S_{\mathrm{正}}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，已知正方形面积是36平方厘米，因为$6×6=36$，所以正方形的边长为6厘米。
2. 求圆的半径：外方内圆中，内部圆的直径等于正方形的边长，即圆的直径$d=6$厘米，因此圆的半径$r=d÷2=6÷2=3$厘米。
3. 计算圆的面积：圆的面积公式为$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，将$r=3$代入公式可得：$S_{\mathrm{圆}}=π×3^2=9π$平方厘米。
【答案】
$9π$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、外方内圆图形特征
【点评】
本题结合传统建筑设计场景出题，既考查了正方形和圆的基础面积计算公式的应用，也考查了组合图形中各部分的数量关联，解题的关键是找准正方形边长和圆直径的对应关系。
【难度系数】
0.7
10. 一个圆形水池的周长是94.2米，工人师傅先在水池外围修建了一个环形花坛，花坛的宽度是10米，又在花坛的外侧安装了一圈栅栏（如图）。计算水池的面积和外侧栅栏的长度。
10 m
10 m
答案
$94.2÷3.14÷2=15$(米)
$3.14×15^2=706.5$(平方米)
$2×3.14×(15+10)=157$(米)
答:水池的面积是706.5平方米。外侧栅栏的长度是157米。
$3.14×15^2=706.5$(平方米)
$2×3.14×(15+10)=157$(米)
答:水池的面积是706.5平方米。外侧栅栏的长度是157米。
解析
【分析】
本题需要计算两个量：圆形水池的面积、外侧栅栏的长度。首先，已知水池的周长，要求水池面积，需先根据圆的周长公式推导出水池的半径，再代入圆的面积公式计算。其次，外侧栅栏是环形花坛外侧的周长，也就是外圆的周长，外圆的半径等于水池半径加上花坛的宽度10米，再代入圆的周长公式就能算出栅栏长度。
【解析】
第一步：计算水池的半径
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r = C÷π÷2$，代入水池周长94.2米：
$94.2÷3.14÷2 = 15$（米）
第二步：计算水池的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径15米：
$3.14×15^2 = 3.14×225 = 706.5$（平方米）
第三步：计算外侧栅栏的长度
外圆的半径 = 水池半径 + 花坛宽度 = $15+10=25$（米）
根据圆的周长公式$C=2π R$（$R$为外圆半径）：
$2×3.14×25 = 157$（米）
【答案】
水池的面积是706.5平方米，外侧栅栏的长度是157米。
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；环形实际应用
【点评】
这道题结合实际生活场景出题，核心是考察圆的周长和面积公式的灵活运用，解题的关键是先求出内圆（水池）的半径，再结合环宽得到外圆半径，最后代入对应公式计算即可，计算时要注意避免半径混淆、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
本题需要计算两个量：圆形水池的面积、外侧栅栏的长度。首先，已知水池的周长，要求水池面积，需先根据圆的周长公式推导出水池的半径，再代入圆的面积公式计算。其次，外侧栅栏是环形花坛外侧的周长，也就是外圆的周长，外圆的半径等于水池半径加上花坛的宽度10米，再代入圆的周长公式就能算出栅栏长度。
【解析】
第一步：计算水池的半径
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径$r = C÷π÷2$，代入水池周长94.2米：
$94.2÷3.14÷2 = 15$（米）
第二步：计算水池的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入半径15米：
$3.14×15^2 = 3.14×225 = 706.5$（平方米）
第三步：计算外侧栅栏的长度
外圆的半径 = 水池半径 + 花坛宽度 = $15+10=25$（米）
根据圆的周长公式$C=2π R$（$R$为外圆半径）：
$2×3.14×25 = 157$（米）
【答案】
水池的面积是706.5平方米，外侧栅栏的长度是157米。
【知识点】
圆的周长计算；圆的面积计算；环形实际应用
【点评】
这道题结合实际生活场景出题，核心是考察圆的周长和面积公式的灵活运用，解题的关键是先求出内圆（水池）的半径，再结合环宽得到外圆半径，最后代入对应公式计算即可，计算时要注意避免半径混淆、计算错误等问题。
【难度系数】
0.7
11. 一把折扇的扇面形状近似扇形，圆心角是$120°$。如果它所在圆的半径是30厘米，这把折扇的扇面面积大约是多少平方厘米？
答案
$π×30^2×\frac{120}{360}=300π$(平方厘米)
答:这把折扇的扇面面积大约是300π平方厘米。
答:这把折扇的扇面面积大约是300π平方厘米。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确扇面属于扇形，扇形是其所在圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例等于扇形圆心角占周角（360°）的比例。解题时先根据已知的半径算出整个圆的面积，再乘圆心角120°占360°的比例，即可求出扇面的面积。
【解析】
扇形的面积计算公式为：$\mathrm{扇形面积}=π×\mathrm{半径}^2×\frac{\mathrm{圆心角度数}}{360°}$
已知扇形所在圆的半径是30厘米，圆心角为120°，代入公式计算：
1. 先计算半径30厘米的圆的面积：$π×30^2=900π$（平方厘米）
2. 计算120°占360°的比例：$\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$
3. 计算扇面面积：$900π×\frac{1}{3}=300π$（平方厘米）
【答案】
这把折扇的扇面面积大约是300π平方厘米。
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题主要考察扇形面积公式的应用，解题核心是理解扇形和对应圆的面积比例关系，熟练代入已知数值计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确扇面属于扇形，扇形是其所在圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例等于扇形圆心角占周角（360°）的比例。解题时先根据已知的半径算出整个圆的面积，再乘圆心角120°占360°的比例，即可求出扇面的面积。
【解析】
扇形的面积计算公式为：$\mathrm{扇形面积}=π×\mathrm{半径}^2×\frac{\mathrm{圆心角度数}}{360°}$
已知扇形所在圆的半径是30厘米，圆心角为120°，代入公式计算：
1. 先计算半径30厘米的圆的面积：$π×30^2=900π$（平方厘米）
2. 计算120°占360°的比例：$\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$
3. 计算扇面面积：$900π×\frac{1}{3}=300π$（平方厘米）
【答案】
这把折扇的扇面面积大约是300π平方厘米。
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题主要考察扇形面积公式的应用，解题核心是理解扇形和对应圆的面积比例关系，熟练代入已知数值计算即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
12. 观察并比较下面四个图形的面积和周长。
（1）以上四个图形中，阴影部分面积最大的是图（
（2）在以上四个图形中任意选择一个，计算其阴影部分的面积。
（3）明明认为：在这四个图形中，阴影部分周长最长的是图①，周长最短的是图④。你同意明明的观点吗？请说明理由。
（1）以上四个图形中，阴影部分面积最大的是图（
①
），面积最小的是图（④
），面积相等的是图（②
）和图（③
）。（填序号）（2）在以上四个图形中任意选择一个，计算其阴影部分的面积。
（3）明明认为：在这四个图形中，阴影部分周长最长的是图①，周长最短的是图④。你同意明明的观点吗？请说明理由。
答案
(1) ① ④ ② ③
(2) 略
(3) 不同意。因为每个图形中阴影部分的周长都是相等的。
(2) 略
(3) 不同意。因为每个图形中阴影部分的周长都是相等的。
解析
【分析】
（1）解决面积比较问题：先将每个图形的面积拆解为长方形面积与圆（半圆）面积的和差关系，4个图形均包含长60m、宽40m的长方形，所有半圆/圆的直径都是40m。图①面积=长方形面积+1个整圆面积（左右两个半圆拼成整圆）；图②面积=长方形面积+左侧半圆面积-右侧半圆面积=长方形面积；图③面积=长方形面积-左侧半圆面积+右侧半圆面积=长方形面积；图④面积=长方形面积-1个整圆面积（左右两个凹入的半圆拼成整圆），据此可比较面积大小。
（2）计算阴影面积时，任选一个图形，按照上述拆解的面积公式代入数值计算即可，注意圆的半径为40÷2=20m。
（3）判断周长问题：拆解每个图形的周长组成，4个图形的周长均包含2个60m的直边，再加2个半圆弧（无论凸凹，弧长都是直径40m的半圆弧，两个半圆弧相加刚好是直径40m的整圆周长），因此四个图形周长完全相等，可判断明明观点错误。
【解析】
（1）先计算基础图形面积：
长方形面积：$60×40=2400$（平方米）
直径40m的圆的面积：$3.14×(40÷2)^2=1256$（平方米）
各图面积：
图①：$2400+1256=3656$（平方米）
图②：$2400 + 3.14×(40÷2)^2÷2 - 3.14×(40÷2)^2÷2 =2400$（平方米）
图③：$2400 - 3.14×(40÷2)^2÷2 + 3.14×(40÷2)^2÷2 =2400$（平方米）
图④：$2400-1256=1144$（平方米）
因此面积最大的是①，最小的是④，相等的是②和③。
（2）示例：选择图①计算面积：
$\begin{split}&60×40 + 3.14×(40÷2)^2\\=&2400 + 3.14×400\\=&2400+1256\\=&3656（平方米）\end{split}$
（任选其他图形计算正确即可）
（3）计算周长对比：
直径40m的圆的周长：$3.14×40=125.6$（米）
各图周长：
图①：$60×2 + 125.6=245.6$（米）
图②：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
图③：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
图④：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
可见四个图形阴影部分周长全部相等，因此不同意明明的观点。
【答案】
(1) $\boxed{①}$；$\boxed{④}$；$\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 示例：选图①，阴影面积为3656平方米（答案不唯一，任选图形计算正确即可）
(3) 不同意。因为四个图形的阴影部分周长都是相等的。
【知识点】
组合图形的面积；组合图形的周长；圆的周长与面积计算
【点评】
本题重点考查组合图形的面积、周长的拆分计算，核心解题方法是将不规则组合图形转化为熟悉的长方形、圆的和差关系，计算周长时要注意区分外围边和内部重合边，避免误算多余边长。
【难度系数】
0.65
（1）解决面积比较问题：先将每个图形的面积拆解为长方形面积与圆（半圆）面积的和差关系，4个图形均包含长60m、宽40m的长方形，所有半圆/圆的直径都是40m。图①面积=长方形面积+1个整圆面积（左右两个半圆拼成整圆）；图②面积=长方形面积+左侧半圆面积-右侧半圆面积=长方形面积；图③面积=长方形面积-左侧半圆面积+右侧半圆面积=长方形面积；图④面积=长方形面积-1个整圆面积（左右两个凹入的半圆拼成整圆），据此可比较面积大小。
（2）计算阴影面积时，任选一个图形，按照上述拆解的面积公式代入数值计算即可，注意圆的半径为40÷2=20m。
（3）判断周长问题：拆解每个图形的周长组成，4个图形的周长均包含2个60m的直边，再加2个半圆弧（无论凸凹，弧长都是直径40m的半圆弧，两个半圆弧相加刚好是直径40m的整圆周长），因此四个图形周长完全相等，可判断明明观点错误。
【解析】
（1）先计算基础图形面积：
长方形面积：$60×40=2400$（平方米）
直径40m的圆的面积：$3.14×(40÷2)^2=1256$（平方米）
各图面积：
图①：$2400+1256=3656$（平方米）
图②：$2400 + 3.14×(40÷2)^2÷2 - 3.14×(40÷2)^2÷2 =2400$（平方米）
图③：$2400 - 3.14×(40÷2)^2÷2 + 3.14×(40÷2)^2÷2 =2400$（平方米）
图④：$2400-1256=1144$（平方米）
因此面积最大的是①，最小的是④，相等的是②和③。
（2）示例：选择图①计算面积：
$\begin{split}&60×40 + 3.14×(40÷2)^2\\=&2400 + 3.14×400\\=&2400+1256\\=&3656（平方米）\end{split}$
（任选其他图形计算正确即可）
（3）计算周长对比：
直径40m的圆的周长：$3.14×40=125.6$（米）
各图周长：
图①：$60×2 + 125.6=245.6$（米）
图②：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
图③：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
图④：$60×2 + 3.14×40÷2 + 3.14×40÷2=245.6$（米）
可见四个图形阴影部分周长全部相等，因此不同意明明的观点。
【答案】
(1) $\boxed{①}$；$\boxed{④}$；$\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 示例：选图①，阴影面积为3656平方米（答案不唯一，任选图形计算正确即可）
(3) 不同意。因为四个图形的阴影部分周长都是相等的。
【知识点】
组合图形的面积；组合图形的周长；圆的周长与面积计算
【点评】
本题重点考查组合图形的面积、周长的拆分计算，核心解题方法是将不规则组合图形转化为熟悉的长方形、圆的和差关系，计算周长时要注意区分外围边和内部重合边，避免误算多余边长。
【难度系数】
0.65
