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2. 乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
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典例研习，掌握关键能力
答案
解：
(1) 负数的奇次幂是$\underline{负数}$，负数的偶次幂是$\underline{正数}$；
(2) 正数的任何次幂都是$\underline{正数}$，0的任何正整数次幂都是$\underline{0}$。
(1) 负数的奇次幂是$\underline{负数}$，负数的偶次幂是$\underline{正数}$；
(2) 正数的任何次幂都是$\underline{正数}$，0的任何正整数次幂都是$\underline{0}$。
解析
【分析】
本题考查乘方的基本性质，解题时可结合乘方的定义（n个相同因数的乘积运算）理解对应规律：①负数相乘时，奇数个负数相乘结果符号为负，偶数个负数相乘时负号两两抵消结果符号为正，对应负数奇、偶次幂的符号特征；②正数无论相乘多少次，结果始终为正；③0和自身相乘任意正整数次结果仍为0，结合上述规律直接填空即可。
【解析】
根据乘方的性质填空：
(1) 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
(2) 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
【答案】
(1)负数；正数
(2)正数；0
【知识点】
乘方的性质；有理数乘方符号规律
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对乘方基本性质的掌握，是开展有理数乘方运算的核心基础，需要熟练记忆相关规律。
【难度系数】
0.9
本题考查乘方的基本性质，解题时可结合乘方的定义（n个相同因数的乘积运算）理解对应规律：①负数相乘时，奇数个负数相乘结果符号为负，偶数个负数相乘时负号两两抵消结果符号为正，对应负数奇、偶次幂的符号特征；②正数无论相乘多少次，结果始终为正；③0和自身相乘任意正整数次结果仍为0，结合上述规律直接填空即可。
【解析】
根据乘方的性质填空：
(1) 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
(2) 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
【答案】
(1)负数；正数
(2)正数；0
【知识点】
乘方的性质；有理数乘方符号规律
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对乘方基本性质的掌握，是开展有理数乘方运算的核心基础，需要熟练记忆相关规律。
【难度系数】
0.9
【例1】把下列各式写成乘方运算的形式，并分别指出底数、指数.
(1)$(-1.3)×(-1.3)×(-1.3)×(-1.3)×(-1.3);$
(2)$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5};$
(3)$-2×2×2×2.$
(1)$(-1.3)×(-1.3)×(-1.3)×(-1.3)×(-1.3);$
(2)$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5};$
(3)$-2×2×2×2.$
答案
(1)解:原式$=(-1.3)^5$,其中底数是$-1.3$,指数是5.
(2)解:原式$=(\dfrac{1}{5})^6$,其中底数是$\dfrac{1}{5}$,指数是6.
(3)解:原式$=-2^4$,其中底数是2,指数是4.
(2)解:原式$=(\dfrac{1}{5})^6$,其中底数是$\dfrac{1}{5}$,指数是6.
(3)解:原式$=-2^4$,其中底数是2,指数是4.
解析
【分析】
解题的核心依据是乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。解题时先逐题找出相同的因数，再数出相同因数的个数即可，注意两个要点：①如果相同因数是负数或分数，写乘方时要把整个负数、分数用括号括起来作为底数；②如果负号没有参与重复相乘，要放在乘方符号的外面，不属于底数。
(1)式是5个完全相同的因数-1.3相乘，直接将-1.3作为底数、5作为指数写乘方即可；
(2)式是6个完全相同的因数$\frac{1}{5}$相乘，将$\frac{1}{5}$作为底数、6作为指数写乘方即可；
(3)式只有2是重复相乘的因数，负号不参与重复相乘，所以将2作为底数、4作为指数，负号放在乘方前面即可。
【解析】
(1) 原式是5个(-1.3)连续相乘，根据乘方的定义可得：
原式$=(-1.3)^5$，其中底数是$-1.3$，指数是5。
(2) 原式是6个$\frac{1}{5}$连续相乘，根据乘方的定义可得：
原式$=(\dfrac{1}{5})^6$，其中底数是$\dfrac{1}{5}$，指数是6。
(3) 原式是4个2相乘的相反数，只有2是重复相乘的相同因数，根据乘方的定义可得：
原式$=-2^4$，其中底数是2，指数是4。
【答案】
(1)原式$=(-1.3)^5$，其中底数是$-1.3$，指数是5；
(2)原式$=(\dfrac{1}{5})^6$，其中底数是$\dfrac{1}{5}$，指数是6；
(3)原式$=-2^4$，其中底数是2，指数是4。
【知识点】
乘方的意义；乘方各部分名称；乘方书写规范
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点在于容易漏写负数、分数作为底数时的括号，或者误把不参与相乘的负号算进底数，解题时只要先明确“重复相乘的因数到底是什么”就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。解题时先逐题找出相同的因数，再数出相同因数的个数即可，注意两个要点：①如果相同因数是负数或分数，写乘方时要把整个负数、分数用括号括起来作为底数；②如果负号没有参与重复相乘，要放在乘方符号的外面，不属于底数。
(1)式是5个完全相同的因数-1.3相乘，直接将-1.3作为底数、5作为指数写乘方即可；
(2)式是6个完全相同的因数$\frac{1}{5}$相乘，将$\frac{1}{5}$作为底数、6作为指数写乘方即可；
(3)式只有2是重复相乘的因数，负号不参与重复相乘，所以将2作为底数、4作为指数，负号放在乘方前面即可。
【解析】
(1) 原式是5个(-1.3)连续相乘，根据乘方的定义可得：
原式$=(-1.3)^5$，其中底数是$-1.3$，指数是5。
(2) 原式是6个$\frac{1}{5}$连续相乘，根据乘方的定义可得：
原式$=(\dfrac{1}{5})^6$，其中底数是$\dfrac{1}{5}$，指数是6。
(3) 原式是4个2相乘的相反数，只有2是重复相乘的相同因数，根据乘方的定义可得：
原式$=-2^4$，其中底数是2，指数是4。
【答案】
(1)原式$=(-1.3)^5$，其中底数是$-1.3$，指数是5；
(2)原式$=(\dfrac{1}{5})^6$，其中底数是$\dfrac{1}{5}$，指数是6；
(3)原式$=-2^4$，其中底数是2，指数是4。
【知识点】
乘方的意义；乘方各部分名称；乘方书写规范
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点在于容易漏写负数、分数作为底数时的括号，或者误把不参与相乘的负号算进底数，解题时只要先明确“重复相乘的因数到底是什么”就能避免出错。
【难度系数】
0.8
【变式】计算：
(1)$(-3)^4$；
(2)$-2^5$；
(3)$0^{2025}$；
(4)$(-\frac{1}{2})^3$；
(5)$(-\frac{1}{3})^3×(-3^2)$。
规律总结 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
(1)$(-3)^4$；
(2)$-2^5$；
(3)$0^{2025}$；
(4)$(-\frac{1}{2})^3$；
(5)$(-\frac{1}{3})^3×(-3^2)$。
规律总结 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
答案
(1)原式$=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$.
(2)原式$=-2×2×2×2×2=-32$.
(3)原式$=0$.
(4)原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{8}$.
(5)原式$=(-\dfrac{1}{27})×(-9)=\dfrac{1}{3}$.
(2)原式$=-2×2×2×2×2=-32$.
(3)原式$=0$.
(4)原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{8}$.
(5)原式$=(-\dfrac{1}{27})×(-9)=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，其次要注意区分底数是否带括号：带括号时底数是括号内的整体，不带括号时底数仅为指数正下方的数。再结合乘方的符号规律（正数的任何正整数次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0）先判断结果符号，再计算数值，混合运算遵循先乘方后乘除的顺序即可。
【解析】
(1) $(-3)^4$表示4个$-3$相乘，负数的偶次幂为正：
原式$=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$
(2) $-2^5$表示2的5次幂的相反数，即5个2相乘的相反数：
原式$=-2×2×2×2×2=-32$
(3) 根据0的正整数次幂的性质，0的任何正整数次幂都是0：
原式$=0$
(4) $(-\frac{1}{2})^3$表示3个$-\frac{1}{2}$相乘，负数的奇次幂为负：
原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{8}$
(5) 先算乘方，再算乘法：
先计算乘方得$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，$-3^2=-9$，两个负数相乘结果为正：
原式$=(-\dfrac{1}{27})×(-9)=\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1)$81$；(2)$-32$；(3)$0$；(4)$-\dfrac{1}{8}$；(5)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
乘方的意义；乘方符号法则；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是准确识别乘方的底数，牢记乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分，混合运算要注意遵循先算乘方再算乘除的运算顺序。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，其次要注意区分底数是否带括号：带括号时底数是括号内的整体，不带括号时底数仅为指数正下方的数。再结合乘方的符号规律（正数的任何正整数次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0）先判断结果符号，再计算数值，混合运算遵循先乘方后乘除的顺序即可。
【解析】
(1) $(-3)^4$表示4个$-3$相乘，负数的偶次幂为正：
原式$=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81$
(2) $-2^5$表示2的5次幂的相反数，即5个2相乘的相反数：
原式$=-2×2×2×2×2=-32$
(3) 根据0的正整数次幂的性质，0的任何正整数次幂都是0：
原式$=0$
(4) $(-\frac{1}{2})^3$表示3个$-\frac{1}{2}$相乘，负数的奇次幂为负：
原式$=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{8}$
(5) 先算乘方，再算乘法：
先计算乘方得$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，$-3^2=-9$，两个负数相乘结果为正：
原式$=(-\dfrac{1}{27})×(-9)=\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1)$81$；(2)$-32$；(3)$0$；(4)$-\dfrac{1}{8}$；(5)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
乘方的意义；乘方符号法则；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是准确识别乘方的底数，牢记乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分，混合运算要注意遵循先算乘方再算乘除的运算顺序。
【难度系数】
0.8
【例2】用计算器计算：
(1)$(-4)^3$；
(2)$(-2)^{10}$。
(1)$(-4)^3$；
(2)$(-2)^{10}$。
答案
(1)原式$=-64$.
(2)原式$=1\ 024$.
(2)原式$=1\ 024$.
解析
【分析】
要解决这两个乘方计算问题，首先我们需要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，同时牢记有理数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。使用计算器计算时，要注意输入负数底数时需要加上括号，避免将负号和乘方的运算顺序搞错。我们可以先判断每个式子结果的符号，再计算绝对值的乘方，也可以直接按计算器操作步骤输入得到结果。
【解析】
(1) 计算$(-4)^3$：
根据乘方的意义，$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)$，指数3是奇数，负数的奇次幂为负，先算绝对值的乘方：$4×4×4=64$，因此结果为$-64$。
用计算器操作：依次按键「(」「-」「4」「)」「^」（或乘方键$x^y$）「3」「=」，即可得到结果$-64$。
(2) 计算$(-2)^{10}$：
根据乘方的意义，$(-2)^{10}$是10个$-2$相乘，指数10是偶数，负数的偶次幂为正，先算绝对值的乘方：$2^{10}=1024$，因此结果为$1024$。
用计算器操作：依次按键「(」「-」「2」「)」「^」（或乘方键$x^y$）「10」「=」，即可得到结果$1024$。
【答案】
(1)$-64$；(2)$1024$
【知识点】
乘方的运算，有理数乘方符号规律，计算器的使用
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题的核心是先准确判断负数乘方的符号，再计算绝对值的乘方，使用计算器运算时注意给负数底数添加括号，防止因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
要解决这两个乘方计算问题，首先我们需要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，同时牢记有理数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。使用计算器计算时，要注意输入负数底数时需要加上括号，避免将负号和乘方的运算顺序搞错。我们可以先判断每个式子结果的符号，再计算绝对值的乘方，也可以直接按计算器操作步骤输入得到结果。
【解析】
(1) 计算$(-4)^3$：
根据乘方的意义，$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)$，指数3是奇数，负数的奇次幂为负，先算绝对值的乘方：$4×4×4=64$，因此结果为$-64$。
用计算器操作：依次按键「(」「-」「4」「)」「^」（或乘方键$x^y$）「3」「=」，即可得到结果$-64$。
(2) 计算$(-2)^{10}$：
根据乘方的意义，$(-2)^{10}$是10个$-2$相乘，指数10是偶数，负数的偶次幂为正，先算绝对值的乘方：$2^{10}=1024$，因此结果为$1024$。
用计算器操作：依次按键「(」「-」「2」「)」「^」（或乘方键$x^y$）「10」「=」，即可得到结果$1024$。
【答案】
(1)$-64$；(2)$1024$
【知识点】
乘方的运算，有理数乘方符号规律，计算器的使用
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题的核心是先准确判断负数乘方的符号，再计算绝对值的乘方，使用计算器运算时注意给负数底数添加括号，防止因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.9
