1. 如图,若直线$a// b// c$,则下列线段的比与$\frac{AE}{AC}$一定相等的是 （）

A.$\frac{AB}{CD}$
B.$\frac{BF}{BD}$
C.$\frac{BF}{FD}$
D.$\frac{EF}{CD}$

1.B

【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先观察图形，确定三条平行线a、b、c截的两条直线分别是AC和BD，先明确$\frac{AE}{AC}$是直线AC上线段AE与总线段AC的比，对应到另一条被截直线BD上，就是线段BF与总线段BD的比，再逐一比对选项排除错误答案即可。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理，已知$a// b// c$，三条平行线截直线AC和BD，可得对应线段成比例：
$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FD}$
对上述比例变形，两边同时加1得：$\frac{AE+EC}{EC}=\frac{BF+FD}{FD}$，即$\frac{AC}{EC}=\frac{BD}{FD}$，进一步推导可得$\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BD}$。
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AB}{CD}$的线段不属于两条被截直线上的对应线段，没有固定比例关系，不符合要求；
B选项：$\frac{BF}{BD}$与$\frac{AE}{AC}$相等，符合要求；
C选项：$\frac{BF}{FD}$对应的是$\frac{AE}{EC}$，与$\frac{AE}{AC}$不相等，不符合要求；
D选项：EF、CD不是平行线截得的对应线段，比例不一定相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找准被平行线所截的两条直线，明确对应线段的比例关系，避免混淆对应线段即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2.如图，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，直线a，b与$ l_1 $，$ l_2 $，$ l_3 $分别交于点A，B，C和点D，E，F。若AB：BC=1：2，DE=2，则EF的长为。

2.4

【分析】
观察图形可知，三条平行直线$l_1$、$l_2$、$l_3$被两条直线a、b所截，符合平行线分线段成比例定理的使用条件。解题思路如下：第一步，根据平行线分线段成比例定理，确定两条截线上的对应线段成比例；第二步，将已知的线段比$AB:BC=1:2$和线段长度$DE=2$代入比例式；第三步，通过比例计算求出EF的长度。
【解析】
解：$\because l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
将$AB:BC=1:2$，$DE=2$代入上式得：
$\frac{1}{2}=\frac{2}{EF}$，
交叉相乘计算得：$EF=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例的运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是准确识别对应线段，正确列出比例式，只要熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.8

如图,已知$a// b// c$,若$OA=1$,$OB=2$,$BC=4$,$EF=5$,则$DE$的值为.

【变式训练】$\frac{15}{4}$

【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，三条平行线a、b、c分别截两条直线m、n，根据定理可知，两条截线被平行线截得的对应线段成比例。先计算出截线m上a、b之间的线段AB的长度，再结合已知的BC、EF的长度，代入比例式即可求出DE的值。
【解析】
解：
∵ $a// b// c$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
由题意得，$AB=OA+OB=1+2=3$，将$AB=3$，$BC=4$，$EF=5$代入比例式：
$\frac{3}{4}=\frac{DE}{5}$
解得 $DE=\frac{3×5}{4}=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是准确识别平行线截得的对应线段，避免因对应关系匹配错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7

3. 如图，已知 $ l_1 // l_2 // l_3 $，$ AD=2 $，$ DE=4 $。
(1)若 $ AB=3 $，求 $ BC $ 的长；
(2)若 $ EF=7.5 $，求 $ BE $ 的长。

3.(1)6 (2)5

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：（1）已知$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被三条平行线所截，所得对应线段成比例，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，代入已知数值即可求出$BC$的长度；（2）同理可得$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}$，结合$EF=FB+BE=7.5$，代入比例关系即可求出$BE$的长度。
【解析】
解：(1) $\because l_1// l_2// l_3$，由平行线分线段成比例定理得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$
将$AD=2$，$DE=4$，$AB=3$代入上式：
$\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$
交叉相乘得：$2BC=12$
解得：$BC=6$
(2) $\because l_1// l_2// l_3$，由平行线分线段成比例定理得：
$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\therefore FB=\frac{1}{2}BE$
又$\because EF=FB+BE=7.5$，将$FB=\frac{1}{2}BE$代入得：
$\frac{1}{2}BE+BE=7.5$
即$\frac{3}{2}BE=7.5$
解得：$BE=5$
【答案】
(1) $6$；(2) $5$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题，解题核心是找准对应线段，避免比例式中线段对应错误，熟练掌握比例的基本运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,则下列比例式不成立的是 ()


A.$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
C.$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$
D.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$

4.D

【分析】
解题时先从已知条件$DE// BC$入手，首先联想到平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例；其次可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，逐一验证每个选项的比例式是否成立，即可找到错误选项。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
根据平行线分线段成比例定理的推论，可得：
$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，故A选项比例式成立；
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，故B选项比例式成立；
$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$，故C选项比例式成立；
又$\because DE// BC$，$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{DB}$，故D选项比例式不成立。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理；2.相似三角形的判定；3.相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是找准比例式对应的线段，避免混淆相似三角形的对应边、或平行线截线段的对应比例关系。
【难度系数】
0.8

变式训练
一组平行线→两组平行线
[2025·合肥蜀山区月考]如图,在$△ ABC$中, $DE// BC,EF// AB$,则下列比例式正确的是()


A.$\frac{AD}{DB}=\frac{DE}{BC}$
B.$\frac{BF}{BC}=\frac{EF}{AD}$
C.$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FC}$
D.$\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BC}$

【变式训练】C

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出DE//BC、EF//AB两组平行线，首先可推出四边形BDEF是平行四边形，得到对边相等的关系；其次结合平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的性质，逐个分析四个选项的比例式是否成立：①先回忆平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例，同时截得的三角形与原三角形相似，对应边成比例；②对每个选项，先找比例式中线段对应的位置，结合上述定理判断比例是否成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
已知在△ABC中，DE//BC，EF//AB：
1. 先判定四边形BDEF的形状：
∵DE//BC，EF//AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，可得DE=BF，EF=BD。
2. 逐个分析选项：
A选项：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，显然$\frac{AD}{AB}≠\frac{AD}{DB}$，故A错误；
B选项：
∵EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，又EF=BD，
∴$\frac{EF}{AD}=\frac{BD}{AD}$，二者不相等，故B错误；
C选项：
∵EF//AB，根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，可得$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FC}$，故C正确；
D选项：
∵EF//AB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$，又
∵DE//BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，仅当E为AC中点时二者相等，一般情况不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的典型基础题，解题的关键是结合图形找准平行线对应的被截线段，明确比例的对应关系，避免混淆相似三角形的对应边导致出错。
【难度系数】
0.7

5. 如图，AD 与 BC 相交于点 O. 若 AB//CD，$\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，则$\frac{BO}{CO}$的值是.

5.$\frac{1}{2}$

【分析】
首先观察图形，已知AB//CD，结合对顶角相等可判定△AOB与△DOC相似；接下来根据已知$\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，先推导出AO与OD的比值；最后利用相似三角形对应边成比例，即可求出$\frac{BO}{CO}$的值。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$\frac{AO}{AD}=\frac{1}{3}$，即$AD=3AO$，
又
∵$AD=AO+OD$，
∴$OD=AD-AO=3AO-AO=2AO$，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AO}{2AO}=\frac{1}{2}$。
∵△AOB∽△DOC，
∴$\frac{BO}{CO}=\frac{AO}{OD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何比值计算题，通过平行线得到相等的角判定三角形相似，再结合相似的性质求解线段比值，解题的关键是先求出AO与OD的比值。
【难度系数】
0.8

6. 如图，已知 $ EG // BC $，$ GF // CD $，$ AE = 3 $，$ EB = 2 $，$ AF = 6 $，则 $ AD $ 的长为。

6.10

【分析】
解题时先观察图形中的平行线条件，结合平行线分线段成比例的推论思考：首先EG平行于BC，在△ABC中可推出对应线段成比例$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$；再由GF平行于CD，在△ACD中可推出$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$；通过中间比$\frac{AG}{GC}$将两个比例式关联，得到$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$，代入已知数值求出FD的长度，最后用$AF+FD$即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵ $EG // BC$，
∴ 在$△ ABC$中，根据平行线分线段成比例的推论，得 $\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$。
又
∵ $GF // CD$，
∴ 在$△ ACD$中，同理可得 $\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$。
∴ $\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$。
将$AE=3$，$EB=2$，$AF=6$代入，得 $\frac{3}{2}=\frac{6}{FD}$，
解得 $FD=4$。
∴ $AD=AF+FD=6+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例相关的基础应用题，解题的核心是利用中间比衔接两组平行线对应的比例关系，进而求出未知线段长度，这类题型是几何线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.8