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8. [2026·合肥蜀山区二模]将A,B,C,D四种花卉种植在甲、乙、丙、丁四块花圃里(中间有一个圆形喷水池),每块花圃只能种植一种花卉,则C,D两种花卉位置相邻的概率是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{5}{6}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
8.A
解析
【分析】
这是一道古典概型求概率的题目，解题思路清晰：首先明确所有等可能的种植结果总数，再找出C、D两种花卉位置相邻的符合条件的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。也可采用简化思路：先固定C的位置，观察剩余位置中与C相邻的位置占比，直接推导概率。
【解析】
解法1：
1. 计算总种植情况数：4种不同花卉种在4块不同花圃，每块仅种1种，根据分步计数原理，总情况数为$4×3×2×1=24$种。
2. 计算C、D相邻的情况数：观察花圃位置，相邻的位置组合共4组：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)；每组中C、D可互换位置，共2种排列；剩余2个位置种植A、B也可互换位置，共2种排列，因此C、D相邻的情况数为$4×2×2=16$种。
3. 计算概率：$P(\mathrm{C、D相邻})=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$。
解法2（简化法）：
先任意放置C，剩余3个位置中，与C所在位置相邻的位置固定有2个，因此D放在相邻位置的概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，相邻问题处理
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是准确梳理总情况数和符合条件的情况数，也可通过固定单个元素位置的方法简化运算，降低计算量。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型求概率的题目，解题思路清晰：首先明确所有等可能的种植结果总数，再找出C、D两种花卉位置相邻的符合条件的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。也可采用简化思路：先固定C的位置，观察剩余位置中与C相邻的位置占比，直接推导概率。
【解析】
解法1：
1. 计算总种植情况数：4种不同花卉种在4块不同花圃，每块仅种1种，根据分步计数原理，总情况数为$4×3×2×1=24$种。
2. 计算C、D相邻的情况数：观察花圃位置，相邻的位置组合共4组：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丁)、(丙,丁)；每组中C、D可互换位置，共2种排列；剩余2个位置种植A、B也可互换位置，共2种排列，因此C、D相邻的情况数为$4×2×2=16$种。
3. 计算概率：$P(\mathrm{C、D相邻})=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$。
解法2（简化法）：
先任意放置C，剩余3个位置中，与C所在位置相邻的位置固定有2个，因此D放在相邻位置的概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，相邻问题处理
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是准确梳理总情况数和符合条件的情况数，也可通过固定单个元素位置的方法简化运算，降低计算量。
【难度系数】
0.7
9. [2024·合肥瑶海区二模]如图是一个竖直管道的示意图，水从入口A进入，先经过管道a或b，再经过管道c或d或e从出口B流出。如果随机关闭5个管道中的3个，那么流水还可以从入口A流到出口B的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
9.C
解析
【分析】
本题属于古典概型求概率的问题，解题思路分三步：第一步先确定所有等可能的关闭管道的总情况数；第二步分析流水能正常通行的条件：上层的a、b不能同时全部关闭，下层的c、d、e也不能同时全部关闭，保证上下层都有通路；第三步统计满足通行条件的情况数，最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
解：从a、b、c、d、e共5个管道中随机关闭3个，所有等可能的情况总数为$\mathrm{C}_{5}^{3}=10$种（也可通过列举得到所有情况：abc、abd、abe、acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde，共10种）。
若流水可从A流到B，需满足上层a、b至少有1个打开，且下层c、d、e至少有1个打开。
不符合条件的情况有两类：①a、b全部关闭，需再从c、d、e中选1个关闭，共3种情况；②c、d、e全部关闭，共1种情况。
因此符合通行条件的情况数为$10-3-1=6$种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，概率计算，计数原理
【点评】
本题结合通路场景考查概率计算，解题的关键是准确梳理通路的成立条件，正确统计总情况数和符合要求的情况数，能够锻炼学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于古典概型求概率的问题，解题思路分三步：第一步先确定所有等可能的关闭管道的总情况数；第二步分析流水能正常通行的条件：上层的a、b不能同时全部关闭，下层的c、d、e也不能同时全部关闭，保证上下层都有通路；第三步统计满足通行条件的情况数，最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
解：从a、b、c、d、e共5个管道中随机关闭3个，所有等可能的情况总数为$\mathrm{C}_{5}^{3}=10$种（也可通过列举得到所有情况：abc、abd、abe、acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde，共10种）。
若流水可从A流到B，需满足上层a、b至少有1个打开，且下层c、d、e至少有1个打开。
不符合条件的情况有两类：①a、b全部关闭，需再从c、d、e中选1个关闭，共3种情况；②c、d、e全部关闭，共1种情况。
因此符合通行条件的情况数为$10-3-1=6$种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，概率计算，计数原理
【点评】
本题结合通路场景考查概率计算，解题的关键是准确梳理通路的成立条件，正确统计总情况数和符合要求的情况数，能够锻炼学生的逻辑分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
10. 有三条绳子穿过一片木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。若每边每条绳子被选中的概率相等，则两人选到同一条绳子的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
10.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先通过列举法（列表或画树状图）梳理出两人选择绳子的所有等可能结果，再从中找出两人选到同一条绳子的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。我们可以先给三条绳子编号为1、2、3，方便梳理情况。
【解析】
将三条绳子分别记为1号、2号、3号，用列表法列举所有可能的选择情况：
| 左边人选的绳子\右边人选的绳子 | 1号 | 2号 | 3号 |
|--------------------------------|-----|-----|-----|
| 1号 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2号 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3号 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可得，所有等可能的结果共有9种，其中两人选到同一条绳子的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种。
根据概率公式得：$P(\mathrm{两人选到同一条绳子})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 等可能事件概率公式
2. 列表法求概率
3. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列举法求解简单概率的能力，解题时只要做到不重不漏地列举出所有等可能的结果，代入公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先通过列举法（列表或画树状图）梳理出两人选择绳子的所有等可能结果，再从中找出两人选到同一条绳子的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。我们可以先给三条绳子编号为1、2、3，方便梳理情况。
【解析】
将三条绳子分别记为1号、2号、3号，用列表法列举所有可能的选择情况：
| 左边人选的绳子\右边人选的绳子 | 1号 | 2号 | 3号 |
|--------------------------------|-----|-----|-----|
| 1号 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2号 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3号 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可得，所有等可能的结果共有9种，其中两人选到同一条绳子的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种。
根据概率公式得：$P(\mathrm{两人选到同一条绳子})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 等可能事件概率公式
2. 列表法求概率
3. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列举法求解简单概率的能力，解题时只要做到不重不漏地列举出所有等可能的结果，代入公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
11.[新课标—情境题]甲、乙两陌生人同乘一趟高铁列车.如图,网上购票时,购票系统向两人都推送了第2车厢第13排的座位,其中座位D已有人预订,两人只能在A,B,C,F四个座位中选择一个座位,且这四种可能性均相同.
(1)甲选择A座位的概率为
(2)用画树状图法求出甲、乙两人座位相邻的概率.
(1)甲选择A座位的概率为
$\frac{1}{4}$
;(2)用画树状图法求出甲、乙两人座位相邻的概率.
答案
11.(1)$\frac{1}{4}$
(2)甲、乙两人座位相邻的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)甲、乙两人座位相邻的概率为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 第一问属于简单的等可能事件概率计算，先明确总共有4种等可能的选座结果，甲选择A座位仅对应1种结果，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
(2) 第二问用树状图法求解，首先要注意座位不能重复选择，甲选座后乙只能从剩余3个座位中选择。先通过树状图列举出所有等可能的结果，再结合座位排布判断相邻情况：仅A与B相邻、B与C相邻，F旁的D已被预订，无相邻可选座位，最后统计相邻结果的数量代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 可选座位共有A、B、C、F4种，且每种选择可能性相同，甲选择A座位的情况只有1种，
因此甲选择A座位的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 两人选择的座位不可重复，画树状图如下：
```
甲 乙 结果
┌─ B → (A,B)
A ─┼─ C → (A,C)
└─ F → (A,F)
┌─ A → (B,A)
B ─┼─ C → (B,C)
└─ F → (B,F)
┌─ A → (C,A)
C ─┼─ B → (C,B)
└─ F → (C,F)
┌─ A → (F,A)
F ─┼─ B → (F,B)
└─ C → (F,C)
```
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中两人座位相邻的结果有(A,B)、(B,A)、(B,C)、(C,B)，共4种，
因此甲、乙两人座位相邻的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，树状图法求概率，列举法
【点评】
本题结合高铁选座的生活情境考查概率相关知识，解题时需注意选座为不放回事件，要准确识别相邻座位的情况，重点考查对基础概率计算方法的掌握，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于简单的等可能事件概率计算，先明确总共有4种等可能的选座结果，甲选择A座位仅对应1种结果，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
(2) 第二问用树状图法求解，首先要注意座位不能重复选择，甲选座后乙只能从剩余3个座位中选择。先通过树状图列举出所有等可能的结果，再结合座位排布判断相邻情况：仅A与B相邻、B与C相邻，F旁的D已被预订，无相邻可选座位，最后统计相邻结果的数量代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 可选座位共有A、B、C、F4种，且每种选择可能性相同，甲选择A座位的情况只有1种，
因此甲选择A座位的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 两人选择的座位不可重复，画树状图如下：
```
甲 乙 结果
┌─ B → (A,B)
A ─┼─ C → (A,C)
└─ F → (A,F)
┌─ A → (B,A)
B ─┼─ C → (B,C)
└─ F → (B,F)
┌─ A → (C,A)
C ─┼─ B → (C,B)
└─ F → (C,F)
┌─ A → (F,A)
F ─┼─ B → (F,B)
└─ C → (F,C)
```
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中两人座位相邻的结果有(A,B)、(B,A)、(B,C)、(C,B)，共4种，
因此甲、乙两人座位相邻的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，树状图法求概率，列举法
【点评】
本题结合高铁选座的生活情境考查概率相关知识，解题时需注意选座为不放回事件，要准确识别相邻座位的情况，重点考查对基础概率计算方法的掌握，贴合生活实际，难度适中。
【难度系数】
0.7
12.[新课标—跨学科题]奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种第一代豌豆都呈黄色.他假设纯种黄豌豆的基因是YY，纯种绿豌豆的基因是yy，则杂种第一代豌豆的基因是Yy，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有豌豆均呈黄色.将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y,y与母本的两个基因Y,y再随机配对，将产生4种可能的结果：
(1)求第二代出现黄豌豆的概率；
(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为$\frac{1}{2}$，请列举一种符合要求的配对方案，并说明理由.
(1)求第二代出现黄豌豆的概率；
(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为$\frac{1}{2}$，请列举一种符合要求的配对方案，并说明理由.
答案
12.(1)第二代共有4种等可能的情况,其中出现黄豌豆的情况有Y父Y母,Y父y母,Y母y父,共3种,所以第二代出现黄豌豆的概率为$\frac{3}{4}$.
(2)共有两种方案,答出任意一种即可.
方案一:选择的两个品种分别为 Y父y母 和 y父y母.画树状图如下：
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.
方案二:选择的两个品种分别为 Y母y父 和 y父y母.画树状图如下：
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先梳理第二代基因配对的所有等可能结果，再结合“只要基因包含Y就为黄豌豆”的规则统计符合条件的结果，最后利用等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 要使第三代黄豌豆出现概率为$\frac{1}{2}$，需选择合适的亲本配对：选择1个含单个Y的杂合基因型、1个不含Y的纯合隐性基因型配对即可，再通过画树状图验证结果是否符合要求。
【解析】
(1) 由题意得，第二代基因配对共有4种等可能的结果：$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{Y}_\mathrm{母}$、$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$、$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$、$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$，其中含Y基因的黄豌豆结果有3种。
根据概率公式：$P(\mathrm{第二代出现黄豌豆})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{4}$。
(2) 示例方案：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$两个品种杂交。
画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中第三代为黄豌豆的结果有2种，因此$P(\mathrm{第三代出现黄豌豆})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，符合要求。
若选择$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$配对，同理可证概率为$\frac{1}{2}$，也符合要求。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 方案一：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$杂交。
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$。
方案二：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$杂交。
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$。（答出任意一种即可）
【知识点】
等可能事件概率计算，画树状图法求概率，跨学科概率应用
【点评】
本题是数学与生物融合的跨学科创新题，需要先准确提取题干中基因与性状的对应规则，再结合概率的基本计算方法解题，既考查了概率方法的基础运用，也锻炼了跨学科信息处理的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理第二代基因配对的所有等可能结果，再结合“只要基因包含Y就为黄豌豆”的规则统计符合条件的结果，最后利用等可能事件的概率公式计算即可。
(2) 要使第三代黄豌豆出现概率为$\frac{1}{2}$，需选择合适的亲本配对：选择1个含单个Y的杂合基因型、1个不含Y的纯合隐性基因型配对即可，再通过画树状图验证结果是否符合要求。
【解析】
(1) 由题意得，第二代基因配对共有4种等可能的结果：$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{Y}_\mathrm{母}$、$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$、$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$、$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$，其中含Y基因的黄豌豆结果有3种。
根据概率公式：$P(\mathrm{第二代出现黄豌豆})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{4}$。
(2) 示例方案：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$两个品种杂交。
画树状图如下：
由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中第三代为黄豌豆的结果有2种，因此$P(\mathrm{第三代出现黄豌豆})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，符合要求。
若选择$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$配对，同理可证概率为$\frac{1}{2}$，也符合要求。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 方案一：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$杂交。
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$。
方案二：选择$\mathrm{Y}_\mathrm{母}\mathrm{y}_\mathrm{父}$和$\mathrm{y}_\mathrm{父}\mathrm{y}_\mathrm{母}$杂交。
由树状图可得 P(第三代出现黄豌豆)=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$。（答出任意一种即可）
【知识点】
等可能事件概率计算，画树状图法求概率，跨学科概率应用
【点评】
本题是数学与生物融合的跨学科创新题，需要先准确提取题干中基因与性状的对应规则，再结合概率的基本计算方法解题，既考查了概率方法的基础运用，也锻炼了跨学科信息处理的能力。
【难度系数】
0.7
