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1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$AB=3$，则下列结论正确的是（
A.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sin A=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
C.$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\tan A=\frac{\sqrt{5}}{2}$
C
）A.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sin A=\frac{2\sqrt{13}}{13}$
C.$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\tan A=\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合直角三角形已知边长，先用勾股定理求出未知直角边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的正弦、余弦、正切值，最后对照选项选出正确结论即可。具体思路：①先明确∠C为直角，确定斜边AB，以及∠A的对边是BC、邻边是AC；②用勾股定理计算AC的长度；③根据三角函数定义分别计算各选项对应的三角函数值，逐一比对选项。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=2$，$AB=3$，
第一步：求直角边$AC$的长度，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
第二步：根据锐角三角函数的定义计算$∠ A$的各三角函数值：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，因此A、B选项错误；
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，因此C选项正确；
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此D选项错误。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题的关键是准确区分锐角所对应的对边、邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先结合直角三角形已知边长，先用勾股定理求出未知直角边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的正弦、余弦、正切值，最后对照选项选出正确结论即可。具体思路：①先明确∠C为直角，确定斜边AB，以及∠A的对边是BC、邻边是AC；②用勾股定理计算AC的长度；③根据三角函数定义分别计算各选项对应的三角函数值，逐一比对选项。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=2$，$AB=3$，
第一步：求直角边$AC$的长度，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
第二步：根据锐角三角函数的定义计算$∠ A$的各三角函数值：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，因此A、B选项错误；
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，因此C选项正确；
$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，因此D选项错误。
综上，正确答案为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题的关键是准确区分锐角所对应的对边、邻边和斜边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=3$，则$\sin A$的值为（
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$3$
B
）A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$3$
答案
2.B
解析
【分析】
这是直角三角形中锐角三角函数的求值题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，tanA是角A的对边与邻边的比值，已知tanA=3，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据sinA的定义（角A的对边与斜边的比值）代入计算，注意最后要对二次根式进行分母有理化即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=3$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$
由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3k}{\sqrt{10}k}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础典型题，核心考查三角函数定义的应用，通过设参数结合勾股定理求解是这类题的常用方法，熟练掌握各三角函数的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中锐角三角函数的求值题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，tanA是角A的对边与邻边的比值，已知tanA=3，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据sinA的定义（角A的对边与斜边的比值）代入计算，注意最后要对二次根式进行分母有理化即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$
根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=3$
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=3k$
由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10k^2}=\sqrt{10}k$
根据正弦的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{3k}{\sqrt{10}k}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础典型题，核心考查三角函数定义的应用，通过设参数结合勾股定理求解是这类题的常用方法，熟练掌握各三角函数的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.若α为锐角，且$\cosα=\dfrac{12}{13}$，则$\sin(90°-α)$的值是（
A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{13}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
B
）A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{13}$
C.$\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{12}{5}$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察所求式子为$\sin(90°-α)$，已知$α$是锐角，回忆互余两角的三角函数关系：对于任意锐角$α$，$90°-α$与$α$互余，此时$\sin(90°-α)=\cosα$，因此直接代入已知的$\cosα$的值即可得到结果，无需额外计算。
【解析】
因为$α$为锐角，所以$90°-α$也为锐角，二者互为余角。
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，
已知$\cosα=\dfrac{12}{13}$，代入得$\sin(90°-α)=\dfrac{12}{13}$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查对互余角三角函数基本关系的记忆与直接应用，只要熟练掌握相关公式就能快速选出答案，解题时不需要复杂的推导计算。
【难度系数】
0.9
首先观察所求式子为$\sin(90°-α)$，已知$α$是锐角，回忆互余两角的三角函数关系：对于任意锐角$α$，$90°-α$与$α$互余，此时$\sin(90°-α)=\cosα$，因此直接代入已知的$\cosα$的值即可得到结果，无需额外计算。
【解析】
因为$α$为锐角，所以$90°-α$也为锐角，二者互为余角。
根据互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，
已知$\cosα=\dfrac{12}{13}$，代入得$\sin(90°-α)=\dfrac{12}{13}$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查对互余角三角函数基本关系的记忆与直接应用，只要熟练掌握相关公式就能快速选出答案，解题时不需要复杂的推导计算。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点O,则$\sin∠ BOD=$ 
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
4.C
解析
【分析】
要求$\sin∠BOD$的值，可通过转化思想将所求角放到直角三角形中求解：首先利用网格的特征，通过平移直线构造和$∠BOD$相等的同位角/内错角，再结合勾股定理计算构造出的直角三角形的各边长，最后根据正弦函数的定义（直角三角形中锐角的对边与斜边的比值）即可得出结果；也可通过建立坐标系，结合相似三角形和三角函数相关知识计算。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
取格点E，连接AE、BE，使$BE// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ABE=∠BOD$。
由勾股定理计算各线段长度：
$AE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
验证得$AE^2+BE^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=AB^2$，因此$△ ABE$是直角三角形，且$∠AEB=90°$。
根据正弦的定义可得：
$\sin∠BOD=\sin∠ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题的关键是结合网格特征构造直角三角形，将待求角转化到直角三角形中，体现了转化的数学思想，解题时要注意勾股定理的正确应用。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠BOD$的值，可通过转化思想将所求角放到直角三角形中求解：首先利用网格的特征，通过平移直线构造和$∠BOD$相等的同位角/内错角，再结合勾股定理计算构造出的直角三角形的各边长，最后根据正弦函数的定义（直角三角形中锐角的对边与斜边的比值）即可得出结果；也可通过建立坐标系，结合相似三角形和三角函数相关知识计算。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
取格点E，连接AE、BE，使$BE// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ABE=∠BOD$。
由勾股定理计算各线段长度：
$AE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
验证得$AE^2+BE^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=AB^2$，因此$△ ABE$是直角三角形，且$∠AEB=90°$。
根据正弦的定义可得：
$\sin∠BOD=\sin∠ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的求解，解题的关键是结合网格特征构造直角三角形，将待求角转化到直角三角形中，体现了转化的数学思想，解题时要注意勾股定理的正确应用。
【难度系数】
0.6
5. [2024·浙江中考]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB=10$,$AD=6$,$\tan ∠ ACB=1$.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin ∠ DAE$的值.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin ∠ DAE$的值.
答案
5.(1)14 (2)$\frac{\sqrt{37}}{37}$
解析
【分析】
(1) 求BC的长可拆分求BD和DC的长度再相加：AD⊥BC可得△ABD和△ADC都是直角三角形，在Rt△ABD中用勾股定理可算出BD的长度，再根据tan∠ACB=1可推出DC和AD相等，最后求和即可得到BC的长。
(2) 求sin∠DAE的值，先根据三角形中线的性质算出BE的长度，进而求出DE的长度，再在Rt△ADE中用勾股定理算出斜边AE的长度，最后根据正弦的定义（对边比斜边）计算即可。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，AD=6
∴DC=AD=6
∴BC=BD+DC=8+6=14
(2)
∵AE是BC边上的中线，BC=14
∴$BE=\frac{1}{2}BC=7$
∴DE=BD-BE=8-7=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$
∴$\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【答案】
(1) $14$；(2) $\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题核心是将所求线段、角对应到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数定义计算，注意计算过程中二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
(1) 求BC的长可拆分求BD和DC的长度再相加：AD⊥BC可得△ABD和△ADC都是直角三角形，在Rt△ABD中用勾股定理可算出BD的长度，再根据tan∠ACB=1可推出DC和AD相等，最后求和即可得到BC的长。
(2) 求sin∠DAE的值，先根据三角形中线的性质算出BE的长度，进而求出DE的长度，再在Rt△ADE中用勾股定理算出斜边AE的长度，最后根据正弦的定义（对边比斜边）计算即可。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，AD=6
∴DC=AD=6
∴BC=BD+DC=8+6=14
(2)
∵AE是BC边上的中线，BC=14
∴$BE=\frac{1}{2}BC=7$
∴DE=BD-BE=8-7=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$
∴$\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【答案】
(1) $14$；(2) $\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，解题核心是将所求线段、角对应到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数定义计算，注意计算过程中二次根式要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
6. 已知$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则锐角$α$的度数是 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的正切值，解题思路如下：首先明确题目给出α是锐角，且已知tanα的数值，只需要回忆常见特殊锐角（30°、45°、60°）对应的正切函数值，将已知数值和各特殊角的正切值做匹配，即可得出α的度数。
【解析】
牢记特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
题目已知$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α为锐角，对应可得$α=30°$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心是对特殊锐角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的正切值，解题思路如下：首先明确题目给出α是锐角，且已知tanα的数值，只需要回忆常见特殊锐角（30°、45°、60°）对应的正切函数值，将已知数值和各特殊角的正切值做匹配，即可得出α的度数。
【解析】
牢记特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
题目已知$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且α为锐角，对应可得$α=30°$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心是对特殊锐角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.9
7. 计算:
(1)$\sqrt{(\tan 60° -1)^2} + |1 - \sin 30°| - 2\tan 45° · \sin 60°$;
(2)$\dfrac{2\cos^2 30° - \cos 60°}{2\sin 45°}$.
(1)$\sqrt{(\tan 60° -1)^2} + |1 - \sin 30°| - 2\tan 45° · \sin 60°$;
(2)$\dfrac{2\cos^2 30° - \cos 60°}{2\sin 45°}$.
答案
7.(1)$-\frac{1}{2}$ (2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这两道题均为特殊角三角函数的混合运算，解题思路如下：第一步先准确记忆30°、45°、60°的三角函数值；第二步结合二次根式的性质（$\sqrt{a^2}=|a|$）、绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）先化简原式中的各项；第三步按照实数四则运算顺序计算，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先写出特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\left|1-\frac{1}{2}\right|-2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=|\sqrt{3}-1|+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-\frac{1}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{2×\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{2}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.二次根式化简 3.绝对值运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，同时注意二次根式、绝对值化简的规则，计算时要注意运算顺序，避免出现符号错误或计算失误。
【难度系数】
0.7
这两道题均为特殊角三角函数的混合运算，解题思路如下：第一步先准确记忆30°、45°、60°的三角函数值；第二步结合二次根式的性质（$\sqrt{a^2}=|a|$）、绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）先化简原式中的各项；第三步按照实数四则运算顺序计算，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先写出特殊角的三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\left|1-\frac{1}{2}\right|-2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=|\sqrt{3}-1|+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-\frac{1}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}\\&=\frac{2×\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{2}$；(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.二次根式化简 3.绝对值运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，同时注意二次根式、绝对值化简的规则，计算时要注意运算顺序，避免出现符号错误或计算失误。
【难度系数】
0.7
8. [2025·滁州全椒期末]如图为一段楼梯的示意图，$BC ⊥ AC$，$∠ BAC = α$，$AC = 5\ \mathrm{m}$. 现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度为（
A.$(\dfrac{5}{\tan α} +5)\mathrm{m}$
B.$(5\tan α +5)\mathrm{m}$
C.$\dfrac{5}{\cos α}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{5}{\sin α}\ \mathrm{m}$
B
）A.$(\dfrac{5}{\tan α} +5)\mathrm{m}$
B.$(5\tan α +5)\mathrm{m}$
C.$\dfrac{5}{\cos α}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{5}{\sin α}\ \mathrm{m}$
答案
8.B
解析
【分析】
要计算楼梯上铺地毯的长度，首先利用平移的思想：所有台阶的竖直高度之和等于直角边BC的长度，所有台阶的水平宽度之和等于直角边AC的长度，因此地毯总长度为AC+BC。已知AC长度，只需在Rt△ABC中利用锐角三角函数求出BC的长度，相加即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质，地毯的长度等于所有台阶竖直高度总和与水平宽度总和之和，即地毯长度=BC+AC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α，AC=5m，
由正切的定义可知：$\tanα=\frac{BC}{AC}$，
因此$BC=AC·\tanα=5\tanα\ \mathrm{m}$，
则地毯总长度为$AC+BC=(5\tanα+5)\mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.平移的性质 2.锐角三角函数的定义 3.解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过平移将不规则的长度和转化为直角三角形两条直角边的长度和，将实际问题转化为解直角三角形的问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯上铺地毯的长度，首先利用平移的思想：所有台阶的竖直高度之和等于直角边BC的长度，所有台阶的水平宽度之和等于直角边AC的长度，因此地毯总长度为AC+BC。已知AC长度，只需在Rt△ABC中利用锐角三角函数求出BC的长度，相加即可得到结果。
【解析】
根据平移的性质，地毯的长度等于所有台阶竖直高度总和与水平宽度总和之和，即地毯长度=BC+AC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α，AC=5m，
由正切的定义可知：$\tanα=\frac{BC}{AC}$，
因此$BC=AC·\tanα=5\tanα\ \mathrm{m}$，
则地毯总长度为$AC+BC=(5\tanα+5)\mathrm{m}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.平移的性质 2.锐角三角函数的定义 3.解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过平移将不规则的长度和转化为直角三角形两条直角边的长度和，将实际问题转化为解直角三角形的问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
9.如图，鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长$3\sqrt{2}$ m，钓鱼者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动$15°$到$AC'$的位置，此时露在水面上的鱼线$B'C'$的长度是（
A.3 m
B.$3\sqrt{3}$ m
C.$2\sqrt{3}$ m
D.4 m
B
）A.3 m
B.$3\sqrt{3}$ m
C.$2\sqrt{3}$ m
D.4 m
答案
9.B
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC和△AB'C'均为直角三角形，且转动前后鱼竿长度不变，即AC=AC'=6m。解题分三步：第一步在Rt△ABC中利用正弦函数求出∠CAB的度数；第二步结合鱼竿转动的15°，计算出新的夹角∠C'AB的度数；第三步在Rt△AB'C'中利用正弦函数求出鱼线B'C'的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=6m，BC=3√2 m
∴$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴∠CAB=45°
∵鱼竿逆时针转动15°到AC'的位置
∴∠C'AB=∠CAB+15°=45°+15°=60°，且AC'=AC=6m
在Rt△AB'C'中，∠AB'C'=90°
∴$B'C'=AC'·\sin∠ C'AB=6×\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是抓住转动前后鱼竿长度不变这一隐含条件，结合特殊角的三角函数值计算即可，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知△ABC和△AB'C'均为直角三角形，且转动前后鱼竿长度不变，即AC=AC'=6m。解题分三步：第一步在Rt△ABC中利用正弦函数求出∠CAB的度数；第二步结合鱼竿转动的15°，计算出新的夹角∠C'AB的度数；第三步在Rt△AB'C'中利用正弦函数求出鱼线B'C'的长度即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=6m，BC=3√2 m
∴$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴∠CAB=45°
∵鱼竿逆时针转动15°到AC'的位置
∴∠C'AB=∠CAB+15°=45°+15°=60°，且AC'=AC=6m
在Rt△AB'C'中，∠AB'C'=90°
∴$B'C'=AC'·\sin∠ C'AB=6×\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是抓住转动前后鱼竿长度不变这一隐含条件，结合特殊角的三角函数值计算即可，整体解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
