1.一个圆柱形管道，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽AB为8 cm，水的最大深度CD为2 cm，则此管道的直径为()

A.5 cm
B.8 cm
C.$4\sqrt{3}$ cm
D.10 cm

D

连接OA，设管道横截面的半径为r cm。根据垂径定理，由OC⊥AB可得AC=½AB=4 cm。已知水的最大深度CD=2 cm，因此OC=(r-2) cm。在Rt△OAC中，由勾股定理得OA²=OC²+AC²，即r²=(r-2)²+4²，解得r=5，因此管道的直径为2r=10 cm。

2.如图，在$\odot O$中，$AB=CD$.下列结论错误的是（）

A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$AC=BD$
D.$AD=BD$

D

在同圆中，相等的弦所对的弧相等，由$AB=CD$可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，A结论正确；
由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，B结论正确；
同圆中相等的弧所对的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可推出$AC=BD$，C结论正确；
现有条件无法推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，也不能得到$AD=BD$，D结论错误。

3.将量角器按图示方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.若点A,B处的读数分别为$86°$,$30°$,则$∠ ACB$的大小为()

A.$14°$
B.$15°$
C.$28°$
D.$30°$

C

设量角器的半圆圆心为O，连接OA、OB，由点A、B的读数可得弧AB对应的圆心角∠AOB=86°-30°=56°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，因此∠ACB=1/2∠AOB=1/2×56°=28°。

4.如图，四边形BCEF为$\odot O$的内接四边形，AB为$\odot O$的直径，连接OE.若$∠ BOE=80°$，则$∠ C=$.

$\boldsymbol{140°}$

解：
∵ ∠BOE=80°，
由圆周角定理得，弧BE所对的圆周角$∠ BFE=\frac{1}{2}∠ BOE=40°$。
∵ 四边形BCEF为$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ C + ∠ BFE=180°$，
∴ $∠ C=180° - 40°=140°$。
最终

5.如图，A,B,C,D在⊙O上，AB=BC=DA.AD,BC的延长线相交于点P，且∠P=40°,则$\overset{\frown}{CD}$所对圆心角的度数为.
（第5题）（第6题）

解：
连接AC，
∵ AD、BC的延长线相交于点P，
∴ ∠PAB + ∠PBA = 180° - ∠P = 140°，
∵ AB=BC=DA，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}$，
∵ ∠PAB所对的弧为$\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}$，∠PBA所对的弧为$\overset{\frown}{ADC}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠PAB=∠PBA，
∴ ∠PAB=∠PBA = $\frac{180° - 40°}{2}=70°$，即∠ABC=70°，
∵ AB=BC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠BAC=∠BCA，
∴ ∠BCA = $\frac{180° - 70°}{2}=55°$，
由圆周角定理，$\overset{\frown}{AB}$的度数为$2×55°=110°$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DA}=110°$，
∴ $\overset{\frown}{CD}$的度数为$360° - 3×110°=30°$，
∵ 弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ $\overset{\frown}{CD}$所对圆心角的度数为$30°$。

6.如图，在平面直角坐标系中，已知D(0,4)，且点C,B,O,D均在$\odot A$上。若$∠ DBO=30°$，则$\overset{\frown}{OD}$的长为。

$\boldsymbol{\frac{4π}{3}}$

解：
连接CD，AD。
∵ ∠COD=90°，
∴ CD是⊙A的直径，圆心A在CD上。
∵ D(0,4)，∴ OD=4。
∵ ∠DBO和∠DCO都是$\overset{\frown}{OD}$所对的圆周角，
∴ ∠DCO=∠DBO=30°。
在Rt△COD中，∠DCO=30°，OD=4，
∴ CD=2OD=8，
∴ ⊙A的半径$r=\frac{CD}{2}=4$。
由圆周角定理得，$\overset{\frown}{OD}$所对的圆心角∠OAD=2∠DBO=60°，
∴ $\overset{\frown}{OD}$的长$l=\frac{60π × 4}{180}=\frac{4π}{3}$。
最终

7. 提升题 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以底边$BC$为直径作$\odot O$,连接$OA$,$\odot O$分别与$AB$,$AO$相交于点$D$,$E$.
(1)连接$DE$,则$∠ AOB=$,$∠ BDE=$;
(2)若$AD=BD=4$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.

$\boldsymbol{90°}$，$\boldsymbol{135°}$。
(2) ∵ AD=BD=4，
∴ AB=AD+BD=8。
∵ ∠AOB=90°，D是AB中点，
∴ OD=AD=BD=4，
∴ OD=OB=BD=4，即△OBD为等边三角形，
∴ ∠BOD=60°。
∵ ∠AOB=90°，
∴ ∠DOE=∠AOB - ∠BOD=90°-60°=30°。
⊙O的半径r=OD=4，由弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长$l=\dfrac{30π × 4}{180}=\dfrac{2π}{3}$。
答：$\overset{\frown}{DE}$的长为$\dfrac{2π}{3}$。

解：
(1) ∵ AB=AC，O为BC中点，
∴ AO⊥BC，即∠AOB=90°。
∵ 点B、D、E都在⊙O上，∠BOE=∠AOB=90°，
优弧BE的度数为360°-90°=270°，
∴ ∠BDE=1/2×270°=135°。