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1.(教材习题变式)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若DE//BC,$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$,DE=6 cm,则BC的长为 (
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
C
)A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先观察到DE//BC，可先判定△ADE与△ABC相似；再将已知的$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$转化为相似三角形的相似比$\frac{AD}{AB}$；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
将DE=6 cm代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得$BC=15$ cm。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，通过平行线构造相似三角形是常见的相似模型，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例的性质，准确进行比例的转化即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE//BC，可先判定△ADE与△ABC相似；再将已知的$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$转化为相似三角形的相似比$\frac{AD}{AB}$；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
将DE=6 cm代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得$BC=15$ cm。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，通过平行线构造相似三角形是常见的相似模型，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定方法和对应边成比例的性质，准确进行比例的转化即可求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$BC=8$，$∠ B=∠ DAC$，则线段AC的长为 （
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①AD是BC边上的中线，结合BC=8可先求出CD的长度；②已知∠B=∠DAC，再观察△CBA和△CAD有公共角∠C，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = 4$。
在△CBA和△CAD中：
$\begin{cases}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$
即$AC^2 = BC · CD = 8 × 4 = 32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是找到两组对应相等的角判定三角形相似，再结合中线的性质得到对应边长，利用相似的性质列比例式求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：①AD是BC边上的中线，结合BC=8可先求出CD的长度；②已知∠B=∠DAC，再观察△CBA和△CAD有公共角∠C，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = 4$。
在△CBA和△CAD中：
$\begin{cases}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$
即$AC^2 = BC · CD = 8 × 4 = 32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的关键是找到两组对应相等的角判定三角形相似，再结合中线的性质得到对应边长，利用相似的性质列比例式求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
3.(教材习题变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$AC=16\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,同时点$Q$从点$C$出发,以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)用含$t$的代数式表示$AQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
(2)当以$A,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似时,求$t$的值.
(1)用含$t$的代数式表示$AQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
(2)当以$A,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似时,求$t$的值.
答案
3.解:(1)$(16-3t)$ (2)$\because ∠ BAC=∠ PAQ$,且以$A,P,Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,$\therefore \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$或$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$. $\therefore \frac{2t}{16}=\frac{16-3t}{8}$或$\frac{2t}{8}=\frac{16-3t}{16}$. $\therefore t=4$ 或 $t=\frac{16}{7}$.
解析
【分析】
(1) 先分析点Q的运动：点Q从C向A运动，速度为3cm/s，运动时间为t s，因此CQ的长度为3t cm，已知AC总长16 cm，用AC长度减去CQ长度即可得到AQ的长度。同时先确定t的取值范围：点P到达B点的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q到达A点的时间为$16÷3\approx5.33\ \mathrm{s}$，因此t的有效范围为$0≤ t≤4$。
(2) 判定△APQ和△ABC相似时，两个三角形有公共角$∠ PAQ=∠ BAC$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，分两种对应比例情况讨论：①AP与AC为对应边，AQ与AB为对应边；②AP与AB为对应边，AQ与AC为对应边，分别列方程求解后验证解是否在t的有效范围内即可。
【解析】
(1) 点Q的运动路程$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$AC=16\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AC-CQ=(16-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$AQ=(16-3t)\ \mathrm{cm}$，且$∠ PAQ=∠ BAC$（公共角）。
当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，存在两种情况：
① 当$△ APQ ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$
代入数值得：$\frac{2t}{16}=\frac{16-3t}{8}$
化简得：$2t=2(16-3t)$，解得$t=4$，符合$0≤ t≤4$。
② 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
代入数值得：$\frac{2t}{8}=\frac{16-3t}{16}$
化简得：$4t=16-3t$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合$0≤ t≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{(16-3t)}$
(2) $\boxed{t=4}$或$\boxed{t=\dfrac{16}{7}}$
【知识点】
1. 动点线段表示
2. 相似三角形的判定与性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形结合动点的典型基础题，解题核心是抓住两个三角形的公共角这一隐含条件，根据相似的对应关系分情况列方程求解，同时要注意动点的运动范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
(1) 先分析点Q的运动：点Q从C向A运动，速度为3cm/s，运动时间为t s，因此CQ的长度为3t cm，已知AC总长16 cm，用AC长度减去CQ长度即可得到AQ的长度。同时先确定t的取值范围：点P到达B点的时间为$8÷2=4\ \mathrm{s}$，点Q到达A点的时间为$16÷3\approx5.33\ \mathrm{s}$，因此t的有效范围为$0≤ t≤4$。
(2) 判定△APQ和△ABC相似时，两个三角形有公共角$∠ PAQ=∠ BAC$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，分两种对应比例情况讨论：①AP与AC为对应边，AQ与AB为对应边；②AP与AB为对应边，AQ与AC为对应边，分别列方程求解后验证解是否在t的有效范围内即可。
【解析】
(1) 点Q的运动路程$CQ=3t\ \mathrm{cm}$，$AC=16\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AC-CQ=(16-3t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$AQ=(16-3t)\ \mathrm{cm}$，且$∠ PAQ=∠ BAC$（公共角）。
当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，存在两种情况：
① 当$△ APQ ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$
代入数值得：$\frac{2t}{16}=\frac{16-3t}{8}$
化简得：$2t=2(16-3t)$，解得$t=4$，符合$0≤ t≤4$。
② 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
代入数值得：$\frac{2t}{8}=\frac{16-3t}{16}$
化简得：$4t=16-3t$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合$0≤ t≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{(16-3t)}$
(2) $\boxed{t=4}$或$\boxed{t=\dfrac{16}{7}}$
【知识点】
1. 动点线段表示
2. 相似三角形的判定与性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形结合动点的典型基础题，解题核心是抓住两个三角形的公共角这一隐含条件，根据相似的对应关系分情况列方程求解，同时要注意动点的运动范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
