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(1)2，3，4，5，(
6
)，(7
)，…，(n+1
)(第n个数)。答案
(1) 2,3,4,5,6,7,…,第n个数是n+1
解析
【分析】
首先观察给出的数列2，3，4，5，先计算相邻两个数的差：3-2=1，4-3=1，5-4=1，可知这是一个后一个数比前一个数大1的递增数列。接下来结合数的位置推导通用规律：第1个数是2，第2个数是3，第3个数是4……能发现每个数都比它的位置序号大1，按照这个规律就能填出后续的数和第n个数的表达式。
【解析】
1. 先找相邻数的变化规律
观察数列可发现：后一个数 = 前一个数 + 1
因此第5个数为：5 + 1 = 6
第6个数为：6 + 1 = 7
2. 推导第n个数的规律
对比数的位置和对应数值的关系：
第1个数：2 = 1 + 1
第2个数：3 = 2 + 1
第3个数：4 = 3 + 1
第4个数：5 = 4 + 1
以此类推，第n个数就等于位置序号n加1，即n+1。
【答案】
6，7，n+1
【知识点】
数列找规律，用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，核心是通过观察相邻数的差确定数列的变化趋势，再结合数的位置归纳出通用表达式，掌握这类思考方法可以为后续学习数列相关知识打好基础。
【难度系数】
0.85
首先观察给出的数列2，3，4，5，先计算相邻两个数的差：3-2=1，4-3=1，5-4=1，可知这是一个后一个数比前一个数大1的递增数列。接下来结合数的位置推导通用规律：第1个数是2，第2个数是3，第3个数是4……能发现每个数都比它的位置序号大1，按照这个规律就能填出后续的数和第n个数的表达式。
【解析】
1. 先找相邻数的变化规律
观察数列可发现：后一个数 = 前一个数 + 1
因此第5个数为：5 + 1 = 6
第6个数为：6 + 1 = 7
2. 推导第n个数的规律
对比数的位置和对应数值的关系：
第1个数：2 = 1 + 1
第2个数：3 = 2 + 1
第3个数：4 = 3 + 1
第4个数：5 = 4 + 1
以此类推，第n个数就等于位置序号n加1，即n+1。
【答案】
6，7，n+1
【知识点】
数列找规律，用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，核心是通过观察相邻数的差确定数列的变化趋势，再结合数的位置归纳出通用表达式，掌握这类思考方法可以为后续学习数列相关知识打好基础。
【难度系数】
0.85
(2)3，6，9，12，(
15
)，(18
)，…，(3n
)(第n个数)。答案
(2) 3,6,9,12,15,18,…,第n个数是3n
解析
【分析】
拿到这组数列后，先观察数字的变化特点：首先计算相邻两个数的差，6-3=3，9-6=3，12-9=3，发现后一个数总比前一个数大3。再对应每个数的排列序号看：第1个数是3=3×1，第2个数是6=3×2，第3个数是9=3×3，第4个数是12=3×4，由此可推出“第几个数就是3乘几”，按照这个规律就能算出括号里的数和第n个数的表达式。
【解析】
解：第一步，找相邻数的差：
6-3=3，9-6=3，12-9=3，可知数列的规律是后一个数比前一个数大3，且第k个数=3×k。
第二步，计算第五、六个数：
第5个数：3×5=15
第6个数：3×6=18
第三步，推导第n个数：第n个数对应序号n，所以是3×n=3n。
【答案】
15；18；3n
【知识点】
找数字规律；用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是通过观察相邻数字的变化特征找到规律，再结合数字的位置序号总结通用表达式，能锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
拿到这组数列后，先观察数字的变化特点：首先计算相邻两个数的差，6-3=3，9-6=3，12-9=3，发现后一个数总比前一个数大3。再对应每个数的排列序号看：第1个数是3=3×1，第2个数是6=3×2，第3个数是9=3×3，第4个数是12=3×4，由此可推出“第几个数就是3乘几”，按照这个规律就能算出括号里的数和第n个数的表达式。
【解析】
解：第一步，找相邻数的差：
6-3=3，9-6=3，12-9=3，可知数列的规律是后一个数比前一个数大3，且第k个数=3×k。
第二步，计算第五、六个数：
第5个数：3×5=15
第6个数：3×6=18
第三步，推导第n个数：第n个数对应序号n，所以是3×n=3n。
【答案】
15；18；3n
【知识点】
找数字规律；用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是通过观察相邻数字的变化特征找到规律，再结合数字的位置序号总结通用表达式，能锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
(3)5,9,13,17,(
21
),(25
),…,(4n+1
)(第n个数)。答案
(3) 5,9,13,17,21,25,…,第n个数是4n+1
解析
【分析】
解题时先观察数列中相邻数字的关系，先计算相邻两个数的差：9-5=4，13-9=4，17-13=4，可发现规律：后一个数始终比前一个数大4，据此就能算出前两个括号里的数。再推导第n个数的规律：对应序号1的数是5，对应序号2的数是9，对应序号3的数是13，对比序号和对应数值的关系，就能总结出第n个数的表达式。
【解析】
1. 找相邻数的差值：
计算相邻两数的差可得9-5=4，13-9=4，17-13=4，可知该数列的规律是后一个数比前一个数大4。
2. 计算括号内的数：
第一个括号的数是17后面的数：17+4=21
第二个括号的数是21后面的数：21+4=25
3. 推导第n个数：
第1个数（对应n=1）：4×1 + 1 = 5
第2个数（对应n=2）：4×2 + 1 = 9
第3个数（对应n=3）：4×3 + 1 = 13
……
以此类推，第n个数为4n+1。
【答案】
21，25，4n+1
【知识点】
数列找规律；用字母表示数
【点评】
本题是数字规律类的基础题，核心是先找到相邻数字的固定变化差值，再结合序号总结通用规律，掌握这类方法可以解决大部分等差类的数字找规律问题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察数列中相邻数字的关系，先计算相邻两个数的差：9-5=4，13-9=4，17-13=4，可发现规律：后一个数始终比前一个数大4，据此就能算出前两个括号里的数。再推导第n个数的规律：对应序号1的数是5，对应序号2的数是9，对应序号3的数是13，对比序号和对应数值的关系，就能总结出第n个数的表达式。
【解析】
1. 找相邻数的差值：
计算相邻两数的差可得9-5=4，13-9=4，17-13=4，可知该数列的规律是后一个数比前一个数大4。
2. 计算括号内的数：
第一个括号的数是17后面的数：17+4=21
第二个括号的数是21后面的数：21+4=25
3. 推导第n个数：
第1个数（对应n=1）：4×1 + 1 = 5
第2个数（对应n=2）：4×2 + 1 = 9
第3个数（对应n=3）：4×3 + 1 = 13
……
以此类推，第n个数为4n+1。
【答案】
21，25，4n+1
【知识点】
数列找规律；用字母表示数
【点评】
本题是数字规律类的基础题，核心是先找到相邻数字的固定变化差值，再结合序号总结通用规律，掌握这类方法可以解决大部分等差类的数字找规律问题。
【难度系数】
0.8
(4)0，3，8，15，(
24
)，(35
)，…，(n²-1
)(第n个数)。答案
(4) 0,3,8,15,24,35,…,第n个数是n²-1
解析
【分析】
拿到找规律填数的题目，我们可以从两个方向逐步思考：首先观察相邻两个数的差值有没有规律，再看每个数和它的排列序号有没有对应关系。第一步先算相邻数的差：3-0=3，8-3=5，15-8=7，能发现差值是3、5、7，是每次加2的连续奇数，所以接下来的差值是9、11，就能算出前两个空缺的数。第二步对应序号验证：第1个数对应序号1，1×1-1=0；第2个数对应序号2，2×2-1=3，完全符合已知数的特征，以此类推就能推导出第n个数的表达式。
【解析】
1. 计算相邻两数的差值找填数规律：
3 - 0 = 3
8 - 3 = 5
15 - 8 = 7
差值为连续递增的奇数，每次增加2，因此15后面的第一个数为：15 + (7+2) = 15+9=24；
再下一个数为：24 + (9+2) = 24+11=35。
2. 推导第n个数的规律：
第1个数：1×1 - 1 = 0
第2个数：2×2 - 1 = 3
第3个数：3×3 - 1 = 8
第4个数：4×4 - 1 = 15
由此可得，第n个数为n×n -1，即n²-1。
【答案】
24，35，n²-1
【知识点】
数字找规律，平方数特征，用字母表示数
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，既可以通过相邻数差值的规律快速填出空缺的数，也可以通过建立数字和排列序号的对应关系推导通用表达式，是规律类题型中的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
拿到找规律填数的题目，我们可以从两个方向逐步思考：首先观察相邻两个数的差值有没有规律，再看每个数和它的排列序号有没有对应关系。第一步先算相邻数的差：3-0=3，8-3=5，15-8=7，能发现差值是3、5、7，是每次加2的连续奇数，所以接下来的差值是9、11，就能算出前两个空缺的数。第二步对应序号验证：第1个数对应序号1，1×1-1=0；第2个数对应序号2，2×2-1=3，完全符合已知数的特征，以此类推就能推导出第n个数的表达式。
【解析】
1. 计算相邻两数的差值找填数规律：
3 - 0 = 3
8 - 3 = 5
15 - 8 = 7
差值为连续递增的奇数，每次增加2，因此15后面的第一个数为：15 + (7+2) = 15+9=24；
再下一个数为：24 + (9+2) = 24+11=35。
2. 推导第n个数的规律：
第1个数：1×1 - 1 = 0
第2个数：2×2 - 1 = 3
第3个数：3×3 - 1 = 8
第4个数：4×4 - 1 = 15
由此可得，第n个数为n×n -1，即n²-1。
【答案】
24，35，n²-1
【知识点】
数字找规律，平方数特征，用字母表示数
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，既可以通过相邻数差值的规律快速填出空缺的数，也可以通过建立数字和排列序号的对应关系推导通用表达式，是规律类题型中的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，有a、b、c三条射线，从a线开始，从1依次在三条射线上写数。
(1)40、53、75各在哪一条线上？
(2)a线上的第n个数是多少？
(1)40、53、75各在哪一条线上？
(2)a线上的第n个数是多少？
答案
(1)40在a线上,53在b线上,75在c线上。
(2)a线上的第n个数是3n-2。
解析
【分析】
解题时先观察三条射线上数的排列规律：数字从1开始按a、b、c的顺序依次排列，每3个数字为一个周期。
①判断数字在哪条射线：只需用数字除以3，根据余数判断：余数为1在a线，余数为2在b线，没有余数（余数为0）在c线；
②求a线上第n个数：观察a线上已有的数1、4、7……，发现相邻两个数差3，结合序数找规律即可得到通项。
【解析】
(1) 按照周期规律，用每个数除以3判断余数：
40÷3=13……1，余数为1，对应a线；
53÷3=17……2，余数为2，对应b线；
75÷3=25，没有余数，对应c线。
(2) 观察a线上的数：
第1个数：1=3×1 - 2
第2个数：4=3×2 - 2
第3个数：7=3×3 - 2
……
以此类推，第n个数就是3n-2。
【答案】
(1)40在a线上,53在b线上,75在c线上。
(2)a线上的第n个数是3n-2。
【知识点】
周期规律，有余数的除法，用字母表示数
【点评】
本题需要先通过观察找到数字排列的周期规律，再利用有余数的除法判断数字位置，同时考查归纳数列规律的能力，解题核心是抓住每3个数一循环的特点。
【难度系数】
0.7
解题时先观察三条射线上数的排列规律：数字从1开始按a、b、c的顺序依次排列，每3个数字为一个周期。
①判断数字在哪条射线：只需用数字除以3，根据余数判断：余数为1在a线，余数为2在b线，没有余数（余数为0）在c线；
②求a线上第n个数：观察a线上已有的数1、4、7……，发现相邻两个数差3，结合序数找规律即可得到通项。
【解析】
(1) 按照周期规律，用每个数除以3判断余数：
40÷3=13……1，余数为1，对应a线；
53÷3=17……2，余数为2，对应b线；
75÷3=25，没有余数，对应c线。
(2) 观察a线上的数：
第1个数：1=3×1 - 2
第2个数：4=3×2 - 2
第3个数：7=3×3 - 2
……
以此类推，第n个数就是3n-2。
【答案】
(1)40在a线上,53在b线上,75在c线上。
(2)a线上的第n个数是3n-2。
【知识点】
周期规律，有余数的除法，用字母表示数
【点评】
本题需要先通过观察找到数字排列的周期规律，再利用有余数的除法判断数字位置，同时考查归纳数列规律的能力，解题核心是抓住每3个数一循环的特点。
【难度系数】
0.7
3. 观察图形，思考并解答。
(1)当$m=10$时，$n$等于多少？
(2)当$n=51$时，$m$等于多少？
(1)当$m=10$时，$n$等于多少？
(2)当$n=51$时，$m$等于多少？
答案
(1) $n=2×10+1=21$
(2) $m=(51-1)÷2=25$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，列举几组对应m、n的数值寻找规律，可得出数量关系为n=2m+1。第(1)问已知m的值求n，直接将m代入关系式计算即可；第(2)问已知n的值求m，将关系式变形为m=(n-1)÷2，再代入n的数值计算即可。
【解析】
首先通过观察图形总结规律：n和m的数量关系为 $\boldsymbol{n=2m+1}$。
(1) 当$m=10$时，代入关系式得：
$n=2×10+1=21$
(2) 当$n=51$时，将关系式变形为$m=(n-1)÷2$，代入得：
$m=(51-1)÷2=25$
【答案】
(1) $n=2×10+1=21$
(2) $m=(51-1)÷2=25$
【知识点】
图形找规律、含字母式子求值
【点评】
本题侧重考查学生观察归纳规律、运用规律解决问题的能力，解题核心是先准确推导得出两个变量的数量关系，再代入数值计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，列举几组对应m、n的数值寻找规律，可得出数量关系为n=2m+1。第(1)问已知m的值求n，直接将m代入关系式计算即可；第(2)问已知n的值求m，将关系式变形为m=(n-1)÷2，再代入n的数值计算即可。
【解析】
首先通过观察图形总结规律：n和m的数量关系为 $\boldsymbol{n=2m+1}$。
(1) 当$m=10$时，代入关系式得：
$n=2×10+1=21$
(2) 当$n=51$时，将关系式变形为$m=(n-1)÷2$，代入得：
$m=(51-1)÷2=25$
【答案】
(1) $n=2×10+1=21$
(2) $m=(51-1)÷2=25$
【知识点】
图形找规律、含字母式子求值
【点评】
本题侧重考查学生观察归纳规律、运用规律解决问题的能力，解题核心是先准确推导得出两个变量的数量关系，再代入数值计算。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 已知▲ + ● + ■ =23，▲ + ▲ + ●=28，▲ + ▲ + ● + ●=32，那么▲ =(
12
)，■ =(7
)，● =(4
)。答案
▲=12，■=7，●=4
解析
【分析】
解题时先观察给出的三个等式的特征，找到存在相同部分的两个等式：第二个等式和第三个等式的区别是第三个等式比第二个多了1个●，所以可以先用第三个等式减去第二个等式，先求出●的值；再把●的值代入第二个等式，就能求出▲的值；最后把求出的▲和●代入第一个等式，即可求出■的值。
【解析】
1. 求●的值：
已知等式②：▲ + ▲ + ● = 28，等式③：▲ + ▲ + ● + ● = 32
用等式③减去等式②，左右两边分别相减：
(▲ + ▲ + ● + ●) - (▲ + ▲ + ●) = 32 - 28
计算得：● = 4
2. 求▲的值：
把●=4代入等式②：
▲ + ▲ + 4 = 28
2个▲的和为：28 - 4 = 24
所以▲ = 24 ÷ 2 = 12
3. 求■的值：
把▲=12、●=4代入等式①：▲ + ● + ■ = 23
12 + 4 + ■ = 23
16 + ■ = 23
所以■ = 23 - 16 =7
【答案】
▲=12，■=7，●=4
【知识点】
等量代换，等式的基本性质
【点评】
本题需要学生观察等式间的关联，通过作差先求出最简单的未知量，再逐步代入求解，核心是掌握等量代换的思想，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的三个等式的特征，找到存在相同部分的两个等式：第二个等式和第三个等式的区别是第三个等式比第二个多了1个●，所以可以先用第三个等式减去第二个等式，先求出●的值；再把●的值代入第二个等式，就能求出▲的值；最后把求出的▲和●代入第一个等式，即可求出■的值。
【解析】
1. 求●的值：
已知等式②：▲ + ▲ + ● = 28，等式③：▲ + ▲ + ● + ● = 32
用等式③减去等式②，左右两边分别相减：
(▲ + ▲ + ● + ●) - (▲ + ▲ + ●) = 32 - 28
计算得：● = 4
2. 求▲的值：
把●=4代入等式②：
▲ + ▲ + 4 = 28
2个▲的和为：28 - 4 = 24
所以▲ = 24 ÷ 2 = 12
3. 求■的值：
把▲=12、●=4代入等式①：▲ + ● + ■ = 23
12 + 4 + ■ = 23
16 + ■ = 23
所以■ = 23 - 16 =7
【答案】
▲=12，■=7，●=4
【知识点】
等量代换，等式的基本性质
【点评】
本题需要学生观察等式间的关联，通过作差先求出最简单的未知量，再逐步代入求解，核心是掌握等量代换的思想，解题时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.7
