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1.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与
2.抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点个数与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的判别式的关系:当$b^2-4ac＜0$时,抛物线与$x$轴
x
轴交点的横
坐标.2.抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点个数与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的判别式的关系:当$b^2-4ac＜0$时,抛物线与$x$轴
无
交点;当$b^2-4ac=0$时,抛物线与$x$轴有一个
交点;当$b^2-4ac＞0$时,抛物线与$x$轴有两个
交点.答案
1.x；横 2.无；一个；两个
解析
【分析】
这两道题均考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：
第1题：先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的方程，x轴上所有点的纵坐标均为0，因此函数图象与x轴交点的横坐标就是$y=0$时x的取值，也就是方程的根。
第2题：结合一元二次方程根的判别式的意义推导交点个数：判别式决定了一元二次方程实根的个数，实根的个数对应抛物线与x轴交点的个数，二者一一对应，直接结合判别式取值对应的根的情况推导交点数量即可。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，它是二次函数$y=ax^2+bx+c$在$y=0$时得到的方程，x轴上的点纵坐标恒为0，因此方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，说明不存在x使得$y=0$，因此抛物线与x轴无交点；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴只有1个交点；
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
【答案】
1.x；横 2.无；一个；两个
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础概念题，考查的是二次函数和一元二次方程的对应关系，这部分内容是解决二次函数与方程、不等式综合问题的核心基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：
第1题：先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的方程，x轴上所有点的纵坐标均为0，因此函数图象与x轴交点的横坐标就是$y=0$时x的取值，也就是方程的根。
第2题：结合一元二次方程根的判别式的意义推导交点个数：判别式决定了一元二次方程实根的个数，实根的个数对应抛物线与x轴交点的个数，二者一一对应，直接结合判别式取值对应的根的情况推导交点数量即可。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，它是二次函数$y=ax^2+bx+c$在$y=0$时得到的方程，x轴上的点纵坐标恒为0，因此方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，说明不存在x使得$y=0$，因此抛物线与x轴无交点；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴只有1个交点；
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点。
【答案】
1.x；横 2.无；一个；两个
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础概念题，考查的是二次函数和一元二次方程的对应关系，这部分内容是解决二次函数与方程、不等式综合问题的核心基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
5.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度$y$（单位：m）与水平距离$x$（单位：m）之间的关系是$y=-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+3$，则他将铅球推出的水平距离为
11
m.答案
5.11
解析
【分析】
铅球落地时行进高度为0，因此要求铅球被推出的水平距离，只需令函数解析式中y=0，求解对应的一元二次方程，再结合水平距离为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：当铅球落地时，高度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+3$得：
$-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+3=0$
移项，得：$\dfrac{1}{12}(x-5)^2=3$
两边同乘12，得：$(x-5)^2=36$
开平方，得：$x-5=\pm6$
解得：$x_1=11$，$x_2=-1$
∵水平距离不能为负数，故舍去$x=-1$
∴他将铅球推出的水平距离为11m。
【答案】
11
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是明确实际问题中函数值为0的实际意义，求解方程后需结合实际情况对根进行取舍，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
铅球落地时行进高度为0，因此要求铅球被推出的水平距离，只需令函数解析式中y=0，求解对应的一元二次方程，再结合水平距离为正数的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：当铅球落地时，高度$y=0$，将$y=0$代入$y=-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+3$得：
$-\dfrac{1}{12}(x-5)^2+3=0$
移项，得：$\dfrac{1}{12}(x-5)^2=3$
两边同乘12，得：$(x-5)^2=36$
开平方，得：$x-5=\pm6$
解得：$x_1=11$，$x_2=-1$
∵水平距离不能为负数，故舍去$x=-1$
∴他将铅球推出的水平距离为11m。
【答案】
11
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是明确实际问题中函数值为0的实际意义，求解方程后需结合实际情况对根进行取舍，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. [2026 温州期末]一个球从地面上竖直向上弹起的高度$h$ m与经过的时间$t$ s的关系式为$h=-5t^2+10t$. 当球的高度第一次达到3.75 m时，经过的时间$t$为
0.5
s.答案
6.0.5
解析
【分析】
解题思路很清晰：首先题目给出了球的高度h与时间t的二次函数关系式，要求第一次高度达到3.75m的时间，我们只需将h=3.75代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程；求解方程后结合实际情境选根即可，因为小球竖直上抛时，上升过程第一次到达指定高度，下落过程会第二次到达同一高度，所以要取更小的正根。
【解析】
解：将h=3.75代入$h=-5t^2+10t$，得：
$3.75 = -5t^2 + 10t$
移项整理得：$5t^2 - 10t + 3.75 = 0$
两边同乘4消去小数，得：$20t^2 - 40t + 15 = 0$
两边同除以5化简得：$4t^2 - 8t + 3 = 0$
因式分解得：$(2t-1)(2t-3)=0$
解得：$t_1=0.5$，$t_2=1.5$
因为是第一次达到3.75m，选取较小的时间值，即$t=0.5$s。
【答案】
0.5
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题结合抛球的生活情境考查二次函数的基础应用，解题核心是将函数值代入解析式转化为一元二次方程求解，同时要注意结合实际需求筛选符合题意的根，避免误选下落阶段对应的时间。
【难度系数】
0.75
解题思路很清晰：首先题目给出了球的高度h与时间t的二次函数关系式，要求第一次高度达到3.75m的时间，我们只需将h=3.75代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程；求解方程后结合实际情境选根即可，因为小球竖直上抛时，上升过程第一次到达指定高度，下落过程会第二次到达同一高度，所以要取更小的正根。
【解析】
解：将h=3.75代入$h=-5t^2+10t$，得：
$3.75 = -5t^2 + 10t$
移项整理得：$5t^2 - 10t + 3.75 = 0$
两边同乘4消去小数，得：$20t^2 - 40t + 15 = 0$
两边同除以5化简得：$4t^2 - 8t + 3 = 0$
因式分解得：$(2t-1)(2t-3)=0$
解得：$t_1=0.5$，$t_2=1.5$
因为是第一次达到3.75m，选取较小的时间值，即$t=0.5$s。
【答案】
0.5
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题结合抛球的生活情境考查二次函数的基础应用，解题核心是将函数值代入解析式转化为一元二次方程求解，同时要注意结合实际需求筛选符合题意的根，避免误选下落阶段对应的时间。
【难度系数】
0.75
3. 中考趋势·开放性问题 若抛物线$y=x^2 -4x +k$与$x$轴无交点，则$k$的值是
5(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
3.5(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关系思考：抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，即根的判别式Δ＜0。我们先确定二次函数各项系数a、b、c，代入判别式列出不等式，求出k的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
抛物线$y=x^2-4x+k$对应的一元二次方程为$x^2-4x+k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=k$。
∵抛物线与x轴无交点，
∴方程$x^2-4x+k=0$无实数根，满足判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，
代入系数得：
$(-4)^2 - 4×1× k ＜ 0$
$16 - 4k ＜ 0$
移项化简得$k＞4$，
因此只要取大于4的数均符合要求，例如取$k=5$。
【答案】
5(答案不唯一，k＞4即可)
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查二次函数和一元二次方程的对应关系，解题的关键是牢记判别式取值和抛物线与x轴交点个数的对应规则，只要熟练掌握该知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要结合二次函数与x轴交点和对应一元二次方程根的关系思考：抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，即根的判别式Δ＜0。我们先确定二次函数各项系数a、b、c，代入判别式列出不等式，求出k的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
抛物线$y=x^2-4x+k$对应的一元二次方程为$x^2-4x+k=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=k$。
∵抛物线与x轴无交点，
∴方程$x^2-4x+k=0$无实数根，满足判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，
代入系数得：
$(-4)^2 - 4×1× k ＜ 0$
$16 - 4k ＜ 0$
移项化简得$k＞4$，
因此只要取大于4的数均符合要求，例如取$k=5$。
【答案】
5(答案不唯一，k＞4即可)
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查二次函数和一元二次方程的对应关系，解题的关键是牢记判别式取值和抛物线与x轴交点个数的对应规则，只要熟练掌握该知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. [2026天津模拟]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，利用图象回答问题：
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的根是
(2)方程$ax^2+bx+c=5$的根是
(3)方程$ax^2+bx+c=-4$的根是
(4)方程$ax^2+bx+c=-6$的根的情况是
(1)方程$ax^2+bx+c=0$的根是
$x_1=-1,x_2=3$
；(2)方程$ax^2+bx+c=5$的根是
$x_1=-2,x_2=4$
；(3)方程$ax^2+bx+c=-4$的根是
$x_1=x_2=1$
；(4)方程$ax^2+bx+c=-6$的根的情况是
无解
。答案
4.(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=-2,x_2=4$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)无解
解析
【分析】
解题核心是明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标。解题时先读取抛物线的交点、顶点坐标，再分别找到对应$y=k$时的横坐标，根据交点个数即可判断方程根的情况。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线与$y=0$（x轴）交点的横坐标，由图象可得抛物线与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，因此方程的根为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=5$的根对应抛物线与直线$y=5$交点的横坐标，由图象可得抛物线与$y=5$交于点$(-2,5)$和$(4,5)$，因此方程的根为$x_1=-2,x_2=4$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=-4$的根对应抛物线与直线$y=-4$交点的横坐标，由图象可得抛物线的顶点为$(1,-4)$，即抛物线与$y=-4$只有一个交点，因此方程的根为$x_1=x_2=1$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-6$对应抛物线与直线$y=-6$的交点，由图象可知抛物线的最低点纵坐标为-4，图象始终在$y=-6$的上方，二者无交点，因此方程无解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=-2,x_2=4$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)无解
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是建立方程的根与函数图象交点横坐标的对应关系，只要能准确读取图象中的交点、顶点信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题核心是明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标。解题时先读取抛物线的交点、顶点坐标，再分别找到对应$y=k$时的横坐标，根据交点个数即可判断方程根的情况。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的根对应抛物线与$y=0$（x轴）交点的横坐标，由图象可得抛物线与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，因此方程的根为$x_1=-1,x_2=3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=5$的根对应抛物线与直线$y=5$交点的横坐标，由图象可得抛物线与$y=5$交于点$(-2,5)$和$(4,5)$，因此方程的根为$x_1=-2,x_2=4$。
(3) 方程$ax^2+bx+c=-4$的根对应抛物线与直线$y=-4$交点的横坐标，由图象可得抛物线的顶点为$(1,-4)$，即抛物线与$y=-4$只有一个交点，因此方程的根为$x_1=x_2=1$。
(4) 方程$ax^2+bx+c=-6$对应抛物线与直线$y=-6$的交点，由图象可知抛物线的最低点纵坐标为-4，图象始终在$y=-6$的上方，二者无交点，因此方程无解。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=3$ (2)$x_1=-2,x_2=4$ (3)$x_1=x_2=1$ (4)无解
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是建立方程的根与函数图象交点横坐标的对应关系，只要能准确读取图象中的交点、顶点信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. [2026 蚌埠期末]已知二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，当$y＞0$时，$x$的取值范围是（
A.$-1＜x＜2$
B.$x＞2$
C.$x＜-1$
D.$x＜-1$或$x＞2$
D
）A.$-1＜x＜2$
B.$x＞2$
C.$x＜-1$
D.$x＜-1$或$x＞2$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时利用数形结合思想，首先明确二次函数图像的性质：y＞0对应抛物线在x轴上方的部分，y=0对应抛物线与x轴的交点，y＜0对应抛物线在x轴下方的部分。先观察图像找到抛物线与x轴的两个交点坐标，再结合开口方向，就能确定x轴上方的图像对应的x取值范围。
【解析】
由图像可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向上。
当$y＞0$时，对应函数图像位于x轴上方的部分，观察图像可知该部分对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与不等式；数形结合思想
【点评】
本题是二次函数结合图像求解不等式的基础题型，核心是理解函数值的正负与图像在坐标系中所处位置的对应关系，掌握数形结合方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时利用数形结合思想，首先明确二次函数图像的性质：y＞0对应抛物线在x轴上方的部分，y=0对应抛物线与x轴的交点，y＜0对应抛物线在x轴下方的部分。先观察图像找到抛物线与x轴的两个交点坐标，再结合开口方向，就能确定x轴上方的图像对应的x取值范围。
【解析】
由图像可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴的交点为$(-1,0)$和$(2,0)$，且抛物线开口向上。
当$y＞0$时，对应函数图像位于x轴上方的部分，观察图像可知该部分对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与不等式；数形结合思想
【点评】
本题是二次函数结合图像求解不等式的基础题型，核心是理解函数值的正负与图像在坐标系中所处位置的对应关系，掌握数形结合方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.如图,这是抛物线$y=ax^2+bx+c$的一部分,其对称轴为直线$x=2$.若其与$x$轴的一个交点为$B(6,0)$,则由图可知,不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是（
A.$x＞6$
B.$0＜x＜6$
C.$x＜-2$或$x＞6$
D.$-2＜x＜6$
C
）A.$x＞6$
B.$0＜x＜6$
C.$x＜-2$或$x＞6$
D.$-2＜x＜6$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这个问题，需将不等式$ax^2+bx+c＜0$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$图象在x轴下方对应的x的取值范围。首先利用抛物线的对称性，结合已知的对称轴和一个x轴交点，求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合抛物线开口方向，即可确定不等式的解集。
【解析】
1. 求抛物线与x轴的另一个交点
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于对称轴对称。已知对称轴为直线$x=2$，其中一个交点为$B(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，根据中点公式可得：
$\frac{x+6}{2}=2$
解得$x=-2$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-2,0)$。
2. 结合图象确定不等式解集
由图可知抛物线开口向下，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应的x的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，即不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$x＜-2$或$x＞6$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与不等式；抛物线图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合图象判断不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需将不等式$ax^2+bx+c＜0$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$图象在x轴下方对应的x的取值范围。首先利用抛物线的对称性，结合已知的对称轴和一个x轴交点，求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合抛物线开口方向，即可确定不等式的解集。
【解析】
1. 求抛物线与x轴的另一个交点
抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于对称轴对称。已知对称轴为直线$x=2$，其中一个交点为$B(6,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，根据中点公式可得：
$\frac{x+6}{2}=2$
解得$x=-2$，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(-2,0)$。
2. 结合图象确定不等式解集
由图可知抛物线开口向下，当$y＜0$时，图象位于x轴下方，对应的x的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，即不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$x＜-2$或$x＞6$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与不等式；抛物线图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再结合图象判断不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
