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9.新情境 茶叶生产是皖西六安乡村振兴的支柱产业之一.如图,这是圆形展示茶饼的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形,茶饼正立且紧靠支架于A,D两点,恰好与BC边相切于点E.若∠AEB=20°,则圆心角∠AOE=
40
°.答案
9.40
解析
【分析】
解题时首先从切线的性质入手：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可得OE⊥BC，得到90°的直角。结合已知∠AEB=20°，可先算出∠OEA的度数。再根据同圆的半径相等，可知OA=OE，即△OAE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到两个底角的度数，最后用三角形内角和定理即可求出圆心角∠AOE的度数。
【解析】
∵⊙O与BC边相切于点E，根据切线的性质，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°，
∵∠AEB=20°，
∴∠OEA=∠OEB - ∠AEB = 90° - 20° = 70°，
∵OA、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OE，△OAE是等腰三角形，
∴∠OAE=∠OEA=70°，
在△OAE中，由三角形内角和为180°可得：
∠AOE=180° - ∠OAE - ∠OEA = 180° - 70° - 70° = 40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际生活情境考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是熟练掌握切线的性质找到直角，再结合等腰三角形的角度关系计算，解题思路清晰，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从切线的性质入手：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可得OE⊥BC，得到90°的直角。结合已知∠AEB=20°，可先算出∠OEA的度数。再根据同圆的半径相等，可知OA=OE，即△OAE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到两个底角的度数，最后用三角形内角和定理即可求出圆心角∠AOE的度数。
【解析】
∵⊙O与BC边相切于点E，根据切线的性质，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°，
∵∠AEB=20°，
∴∠OEA=∠OEB - ∠AEB = 90° - 20° = 70°，
∵OA、OE均为⊙O的半径，
∴OA=OE，△OAE是等腰三角形，
∴∠OAE=∠OEA=70°，
在△OAE中，由三角形内角和为180°可得：
∠AOE=180° - ∠OAE - ∠OEA = 180° - 70° - 70° = 40°。
【答案】
40
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际生活情境考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是熟练掌握切线的性质找到直角，再结合等腰三角形的角度关系计算，解题思路清晰，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
10.如图，$\odot O$的半径为1，弦$AB=\sqrt{2}$，以AB为边在$\odot O$内作等边三角形ABC，将等边三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与$\odot O$相切时，旋转角为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
D
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
10.D
解析
【分析】
首先连接OA、OB，结合已知半径和弦AB的长度，利用勾股定理逆定理可判定△OAB为等腰直角三角形，求出∠OAB的度数；再结合等边三角形内角为60°，计算出初始状态下∠OAC的大小；最后根据切线的性质，当AC与⊙O相切时OA⊥AC，得到此时∠OAC的度数，两个状态下∠OAC的差值即为旋转角的大小。
【解析】
1. 连接OA、OB：
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=1，
又
∵AB=√2，
∴OA² + OB² = 1² + 1² = 2 = (√2)² = AB²，
根据勾股定理逆定理可得△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°。
2.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴初始状态下∠OAC = ∠BAC - ∠OAB = 60° - 45° = 15°。
3. 当AC第一次旋转至与⊙O相切时，切点为A，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥AC，即此时∠OAC=90°。
4. 旋转角 = 90° - 15° = 75°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是几何综合题，需要结合圆、特殊三角形、旋转的相关知识求解，解题的关键是正确作出辅助线，梳理清楚旋转前后的角度关系。
【难度系数】
0.6
首先连接OA、OB，结合已知半径和弦AB的长度，利用勾股定理逆定理可判定△OAB为等腰直角三角形，求出∠OAB的度数；再结合等边三角形内角为60°，计算出初始状态下∠OAC的大小；最后根据切线的性质，当AC与⊙O相切时OA⊥AC，得到此时∠OAC的度数，两个状态下∠OAC的差值即为旋转角的大小。
【解析】
1. 连接OA、OB：
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=1，
又
∵AB=√2，
∴OA² + OB² = 1² + 1² = 2 = (√2)² = AB²，
根据勾股定理逆定理可得△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°。
2.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴初始状态下∠OAC = ∠BAC - ∠OAB = 60° - 45° = 15°。
3. 当AC第一次旋转至与⊙O相切时，切点为A，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥AC，即此时∠OAC=90°。
4. 旋转角 = 90° - 15° = 75°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是几何综合题，需要结合圆、特殊三角形、旋转的相关知识求解，解题的关键是正确作出辅助线，梳理清楚旋转前后的角度关系。
【难度系数】
0.6
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=28°$,以AB为直径的$\odot O$交AC于点D,$DE// CB$,连接BD.若添加一个条件,使BC是$\odot O$的切线,则下列四个条件中不符合的是 (
A.$DE⊥ AB$
B.$∠ EDB=28°$
C.$∠ ADE=∠ ABD$
D.$OB=BC$
D
)A.$DE⊥ AB$
B.$∠ EDB=28°$
C.$∠ ADE=∠ ABD$
D.$OB=BC$
答案
11.D
解析
【分析】
要判断BC是⊙O的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，已知AB是⊙O的直径，B在圆上，因此只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。接下来逐一分析四个选项，判断能否由选项条件推出AB⊥BC，不能推出的即为不符合要求的选项。
【解析】
首先明确：BC为⊙O切线的充要条件是AB⊥BC（AB为直径，B为⊙O上的点，切线需垂直于过切点的半径）。
对各选项逐一分析：
1. 选项A：若DE⊥AB，已知DE//CB，根据平行线的性质，可得BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，A符合要求，排除。
2. 选项B：若∠EDB=28°，∠EDB和∠EAB是同弧EB所对的圆周角，故∠EAB=∠EDB=28°，已知∠BAC=28°，因此AB平分弧ED，根据垂径定理可得AB⊥DE；又DE//CB，故BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，B符合要求，排除。
3. 选项C：AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，因此Rt△ABD中∠ABD + ∠BAC=90°。若∠ADE=∠ABD，则∠ADE + ∠BAC=90°，可得DE⊥AB；又DE//CB，故BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，C符合要求，排除。
4. 选项D：若OB=BC，仅能说明△OBC为等腰三角形，无法推出∠ABC=90°，因此不能证明BC是⊙O的切线，D不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题考查切线判定的综合应用，解题的核心是先明确BC为切线的等价条件是AB⊥BC，再结合圆周角性质、平行线性质等对各选项逐一推导即可，需要注意同弧所对圆周角相等、垂径定理等知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要判断BC是⊙O的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，已知AB是⊙O的直径，B在圆上，因此只需证明AB⊥BC（即∠ABC=90°）即可。接下来逐一分析四个选项，判断能否由选项条件推出AB⊥BC，不能推出的即为不符合要求的选项。
【解析】
首先明确：BC为⊙O切线的充要条件是AB⊥BC（AB为直径，B为⊙O上的点，切线需垂直于过切点的半径）。
对各选项逐一分析：
1. 选项A：若DE⊥AB，已知DE//CB，根据平行线的性质，可得BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，A符合要求，排除。
2. 选项B：若∠EDB=28°，∠EDB和∠EAB是同弧EB所对的圆周角，故∠EAB=∠EDB=28°，已知∠BAC=28°，因此AB平分弧ED，根据垂径定理可得AB⊥DE；又DE//CB，故BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，B符合要求，排除。
3. 选项C：AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，因此Rt△ABD中∠ABD + ∠BAC=90°。若∠ADE=∠ABD，则∠ADE + ∠BAC=90°，可得DE⊥AB；又DE//CB，故BC⊥AB，满足AB⊥BC的条件，因此BC是⊙O的切线，C符合要求，排除。
4. 选项D：若OB=BC，仅能说明△OBC为等腰三角形，无法推出∠ABC=90°，因此不能证明BC是⊙O的切线，D不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题考查切线判定的综合应用，解题的核心是先明确BC为切线的等价条件是AB⊥BC，再结合圆周角性质、平行线性质等对各选项逐一推导即可，需要注意同弧所对圆周角相等、垂径定理等知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
12.新考法 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点.如图，过整点A，B，C有一条圆弧，若一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（
A.点(0,3)
B.点(6,0)
C.点(1,3)
D.点(6,1)
C
）A.点(0,3)
B.点(6,0)
C.点(1,3)
D.点(6,1)
答案
12.C
解析
【分析】
解题时先根据网格确定A、B、C三个整点的坐标，利用“三点共圆时圆心为任意两点连线垂直平分线的交点”求出圆弧所在圆的圆心；再依据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，求出过B点切线的斜率，进而得到切线的函数解析式；最后将各选项的点代入解析式验证是否在切线上即可。
【解析】
首先根据网格得三个点的坐标：$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。
1. 求圆心坐标：
A、B两点纵坐标相同，AB为水平线段，中点为$(2,2)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
AC的中点为$(\frac{1+4}{2},\frac{2+1}{2})=(2.5,1.5)$，AC的斜率为$\frac{1-2}{4-1}=-\frac{1}{3}$，则AC垂直平分线的斜率为$3$，其方程为$y-1.5=3(x-2.5)$。
将$x=2$代入上述方程，解得$y=0$，即圆心坐标为$M(2,0)$。
2. 求切线方程：
半径MB的斜率$k_{MB}=\frac{2-0}{3-2}=2$，因为切线垂直于过切点的半径，所以切线斜率为$-\frac{1}{2}$。
切线过点$B(3,2)$，由点斜式得切线方程：$y-2=-\frac{1}{2}(x-3)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$。
3. 验证选项：
代入$(0,3)$：$x=0$时，$y=3.5≠3$，不符合；
代入$(6,0)$：$x=6$时，$y=0.5≠0$，不符合；
代入$(1,3)$：$x=1$时，$y=3$，符合；
代入$(6,1)$：$x=6$时，$y=0.5≠1$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数解析式
【点评】
本题综合了圆的性质和一次函数的相关知识，解题的核心是先确定圆弧的圆心，再结合切线的性质求出切线解析式，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据网格确定A、B、C三个整点的坐标，利用“三点共圆时圆心为任意两点连线垂直平分线的交点”求出圆弧所在圆的圆心；再依据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，求出过B点切线的斜率，进而得到切线的函数解析式；最后将各选项的点代入解析式验证是否在切线上即可。
【解析】
首先根据网格得三个点的坐标：$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。
1. 求圆心坐标：
A、B两点纵坐标相同，AB为水平线段，中点为$(2,2)$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$。
AC的中点为$(\frac{1+4}{2},\frac{2+1}{2})=(2.5,1.5)$，AC的斜率为$\frac{1-2}{4-1}=-\frac{1}{3}$，则AC垂直平分线的斜率为$3$，其方程为$y-1.5=3(x-2.5)$。
将$x=2$代入上述方程，解得$y=0$，即圆心坐标为$M(2,0)$。
2. 求切线方程：
半径MB的斜率$k_{MB}=\frac{2-0}{3-2}=2$，因为切线垂直于过切点的半径，所以切线斜率为$-\frac{1}{2}$。
切线过点$B(3,2)$，由点斜式得切线方程：$y-2=-\frac{1}{2}(x-3)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$。
3. 验证选项：
代入$(0,3)$：$x=0$时，$y=3.5≠3$，不符合；
代入$(6,0)$：$x=6$时，$y=0.5≠0$，不符合；
代入$(1,3)$：$x=1$时，$y=3$，符合；
代入$(6,1)$：$x=6$时，$y=0.5≠1$，不符合。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数解析式
【点评】
本题综合了圆的性质和一次函数的相关知识，解题的核心是先确定圆弧的圆心，再结合切线的性质求出切线解析式，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
13. [2026合肥期末]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,D为斜边AB上一点,以BD为直径的$\odot O$交AC于点E,$\odot O$交BC于点F,且点E是$\overset{\frown}{DF}$的中点.
(1)求证:AC是$\odot O$的切线;
(2)若$CE=4$,$CF=2$,求BD的长度.
(1)求证:AC是$\odot O$的切线;
(2)若$CE=4$,$CF=2$,求BD的长度.
答案
(1) 证明：
连接$OE$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$，
∴$∠ OBE=∠ CBE$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$，
∴$∠ OEB=∠ CBE$，
∴$OE// BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE⊥ AC$，
又∵$OE$是$\odot O$的半径，
∴$AC$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
过点$O$作$OG⊥ BC$于点$G$，
则$∠ OGC=90°$。
由(1)知$∠ OEC=90°$，又$∠ C=90°$，
∴四边形$OECG$是矩形，
∴$OG=CE=4$，$CG=OE$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OF=r$，
∴$CG=r$，
∵$CF=2$，
∴$FG=CG-CF=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得：
$OG^2 + FG^2 = OF^2$
代入数值：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开整理得：$16 + r^2 -4r +4 = r^2$，
解得$r=5$，
∴$BD=2r=10$。
最终结论：$BD$的长度为$\boldsymbol{10}$。
连接$OE$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$，
∴$∠ OBE=∠ CBE$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$，
∴$∠ OEB=∠ CBE$，
∴$OE// BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE⊥ AC$，
又∵$OE$是$\odot O$的半径，
∴$AC$是$\odot O$的切线。
---
(2) 解：
过点$O$作$OG⊥ BC$于点$G$，
则$∠ OGC=90°$。
由(1)知$∠ OEC=90°$，又$∠ C=90°$，
∴四边形$OECG$是矩形，
∴$OG=CE=4$，$CG=OE$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OF=r$，
∴$CG=r$，
∵$CF=2$，
∴$FG=CG-CF=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得：
$OG^2 + FG^2 = OF^2$
代入数值：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开整理得：$16 + r^2 -4r +4 = r^2$，
解得$r=5$，
∴$BD=2r=10$。
最终结论：$BD$的长度为$\boldsymbol{10}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过交点E的半径，因此先连接OE。已知E是弧DF的中点，可得对应的圆周角相等，结合OE=OB的等腰三角形性质，可推出OE//BC，再结合Rt△ABC中BC⊥AC的条件，即可得到OE⊥AC，完成切线证明。
(2) 要求BD的长度，BD是⊙O的直径，因此只需求出半径即可。通过作OG⊥BC，可构造矩形OECG，将已知的CE长度转化为OG的长度，同时CG等于半径。设半径为r，用r表示出Rt△OFG中FG的长度，再利用勾股定理列方程求解半径，即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接$OE$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$，
∴$∠ OBE=∠ CBE$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$，
∴$∠ OEB=∠ CBE$，
∴$OE// BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE⊥ AC$，
又
∵$OE$是$\odot O$的半径，
∴$AC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
过点$O$作$OG⊥ BC$于点$G$，
则$∠ OGC=90°$。
由(1)知$∠ OEC=90°$，又$∠ C=90°$，
∴四边形$OECG$是矩形，
∴$OG=CE=4$，$CG=OE$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OF=r$，
∴$CG=r$，
∵$CF=2$，
∴$FG=CG-CF=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得：
$OG^2 + FG^2 = OF^2$
代入数值：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开整理得：$16 + r^2 -4r +4 = r^2$，
解得$r=5$，
∴$BD=2r=10$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的切线判定与相关长度计算，解题的关键是合理添加辅助线，结合圆的性质、矩形的性质将已知条件转化到直角三角形中，第二问运用方程思想求解半径是圆类计算的常用方法，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AC是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过交点E的半径，因此先连接OE。已知E是弧DF的中点，可得对应的圆周角相等，结合OE=OB的等腰三角形性质，可推出OE//BC，再结合Rt△ABC中BC⊥AC的条件，即可得到OE⊥AC，完成切线证明。
(2) 要求BD的长度，BD是⊙O的直径，因此只需求出半径即可。通过作OG⊥BC，可构造矩形OECG，将已知的CE长度转化为OG的长度，同时CG等于半径。设半径为r，用r表示出Rt△OFG中FG的长度，再利用勾股定理列方程求解半径，即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
连接$OE$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{DF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$，
∴$∠ OBE=∠ CBE$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$，
∴$∠ OEB=∠ CBE$，
∴$OE// BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE⊥ AC$，
又
∵$OE$是$\odot O$的半径，
∴$AC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
过点$O$作$OG⊥ BC$于点$G$，
则$∠ OGC=90°$。
由(1)知$∠ OEC=90°$，又$∠ C=90°$，
∴四边形$OECG$是矩形，
∴$OG=CE=4$，$CG=OE$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE=OF=r$，
∴$CG=r$，
∵$CF=2$，
∴$FG=CG-CF=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得：
$OG^2 + FG^2 = OF^2$
代入数值：
$4^2 + (r-2)^2 = r^2$
展开整理得：$16 + r^2 -4r +4 = r^2$，
解得$r=5$，
∴$BD=2r=10$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的切线判定与相关长度计算，解题的关键是合理添加辅助线，结合圆的性质、矩形的性质将已知条件转化到直角三角形中，第二问运用方程思想求解半径是圆类计算的常用方法，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
14. 分类讨论思想 如图,半圆O的直径$DE=12\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,$BC=12\ \mathrm{cm}$,半圆O以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从左向右运动,在运动过程中,点$D$,$E$始终在直线$BC$上.设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$OC=8\ \mathrm{cm}$,当半圆O与$△ ABC$的边相切时,$t=$
2或8或14
.答案
14.2或8或14
解析
【分析】
首先明确已知条件：半圆半径$r=6\mathrm{cm}$，以$1\mathrm{cm/s}$的速度向右运动，初始时圆心O在点C左侧$8\mathrm{cm}$处。半圆与$△ ABC$的边相切需分三类讨论：①半圆与AC边相切（O在C左侧）；②半圆与AB边相切；③半圆与AC边相切（O在C右侧）。结合切线性质“圆心到切线的距离等于半径”，分别计算对应圆心O移动的距离，即可求出运动时间$t$。
【解析】
解：$\because$半圆O的直径$DE=12\mathrm{cm}$，$\therefore$半圆半径$r=6\mathrm{cm}$。
已知$AC⊥ BC$，初始时$OC=8\mathrm{cm}$，O在C左侧，半圆向右运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，分三种情况讨论：
1. 当半圆与AC边相切，且O在C左侧时：
$\because AC⊥ BC$，圆心O到AC的距离等于OC的长度，根据切线性质，$OC=r=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$O向右移动的距离为$8-6=2\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=2÷1=2\mathrm{s}$。
2. 当半圆与AB边相切时：
过O作$OF⊥ AB$于点F，根据切线性质，$OF=r=6\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFB$中，$∠ ABC=30°$，$\therefore OB=2OF=12\mathrm{cm}$。
又$\because BC=12\mathrm{cm}$，$\therefore$此时点O与点C重合，
$\therefore$O向右移动的距离为$8\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=8÷1=8\mathrm{s}$。
3. 当半圆与AC边相切，且O在C右侧时：
同理，圆心O到AC的距离$OC=r=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$O向右移动的距离为$8+6=14\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=14÷1=14\mathrm{s}$。
综上，$t$的值为2或8或14。
【答案】
2或8或14
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形性质，动点分类讨论
【点评】
本题是动点背景下的切线问题，解题核心是结合半圆的位置进行分类讨论，根据切线的性质确定对应圆心的位置，解题时要注意梳理所有可能的相切情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确已知条件：半圆半径$r=6\mathrm{cm}$，以$1\mathrm{cm/s}$的速度向右运动，初始时圆心O在点C左侧$8\mathrm{cm}$处。半圆与$△ ABC$的边相切需分三类讨论：①半圆与AC边相切（O在C左侧）；②半圆与AB边相切；③半圆与AC边相切（O在C右侧）。结合切线性质“圆心到切线的距离等于半径”，分别计算对应圆心O移动的距离，即可求出运动时间$t$。
【解析】
解：$\because$半圆O的直径$DE=12\mathrm{cm}$，$\therefore$半圆半径$r=6\mathrm{cm}$。
已知$AC⊥ BC$，初始时$OC=8\mathrm{cm}$，O在C左侧，半圆向右运动速度为$1\mathrm{cm/s}$，分三种情况讨论：
1. 当半圆与AC边相切，且O在C左侧时：
$\because AC⊥ BC$，圆心O到AC的距离等于OC的长度，根据切线性质，$OC=r=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$O向右移动的距离为$8-6=2\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=2÷1=2\mathrm{s}$。
2. 当半圆与AB边相切时：
过O作$OF⊥ AB$于点F，根据切线性质，$OF=r=6\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFB$中，$∠ ABC=30°$，$\therefore OB=2OF=12\mathrm{cm}$。
又$\because BC=12\mathrm{cm}$，$\therefore$此时点O与点C重合，
$\therefore$O向右移动的距离为$8\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=8÷1=8\mathrm{s}$。
3. 当半圆与AC边相切，且O在C右侧时：
同理，圆心O到AC的距离$OC=r=6\mathrm{cm}$，
$\therefore$O向右移动的距离为$8+6=14\mathrm{cm}$，
$\therefore$运动时间$t=14÷1=14\mathrm{s}$。
综上，$t$的值为2或8或14。
【答案】
2或8或14
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形性质，动点分类讨论
【点评】
本题是动点背景下的切线问题，解题核心是结合半圆的位置进行分类讨论，根据切线的性质确定对应圆心的位置，解题时要注意梳理所有可能的相切情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
