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1.过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上,这点和
切点
之间线段的长,叫作这点到圆的切线长.答案
1.切点
解析
【分析】
本题考查切线长的基础定义，解题时首先回忆切线及切线长的相关概念：圆的切线与圆只有唯一的公共点，这个公共点叫作切点，切线长的定义明确规定了其是圆外一点到切点之间的线段长度，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长，因此空缺处应填入切点。
【答案】
切点
【知识点】
切线长的定义、圆的切线的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要准确掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长的基础定义，解题时首先回忆切线及切线长的相关概念：圆的切线与圆只有唯一的公共点，这个公共点叫作切点，切线长的定义明确规定了其是圆外一点到切点之间的线段长度，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长，因此空缺处应填入切点。
【答案】
切点
【知识点】
切线长的定义、圆的切线的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要准确掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等
，并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。答案
2.相等;平分
解析
【分析】
本题考查切线长定理的识记，解题时只需回忆切线长定理的具体内容，对应题干的两个空缺部分匹配即可：第一个空缺对应两条切线长的数量关系，第二个空缺对应圆外点与圆心的连线和两条切线夹角的关系，直接对应定理内容就能得到答案。
【解析】
根据切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空填写“相等”，第二个空填写“平分”。
【答案】
相等;平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对基础定理的记忆掌握情况，熟记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长定理的识记，解题时只需回忆切线长定理的具体内容，对应题干的两个空缺部分匹配即可：第一个空缺对应两条切线长的数量关系，第二个空缺对应圆外点与圆心的连线和两条切线夹角的关系，直接对应定理内容就能得到答案。
【解析】
根据切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空填写“相等”，第二个空填写“平分”。
【答案】
相等;平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对基础定理的记忆掌握情况，熟记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1.已知:$P$为$\odot O$外一点.求作:经过点$P$的$\odot O$的切线.
答案
解：
作法：
1. 连接OP；
2. 作线段OP的垂直平分线，得到线段OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长为半径作圆，该圆与⊙O交于点A、B；
4. 分别作直线PA、PB。
直线PA、PB即为所求作的⊙O的切线。
作法：
1. 连接OP；
2. 作线段OP的垂直平分线，得到线段OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长为半径作圆，该圆与⊙O交于点A、B；
4. 分别作直线PA、PB。
直线PA、PB即为所求作的⊙O的切线。
解析
【分析】
要作出过点P的⊙O的切线，首先回忆切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。若设切线的切点为A，则有OA⊥PA，即∠OAP=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”可知，点A在以OP为直径的圆上，因此我们只需作出以OP为直径的圆，它与⊙O的交点就是所求切线的切点，最后连接点P和切点即可得到切线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺连接OP；
2. 利用尺规作线段OP的垂直平分线，垂直平分线与OP的交点即为OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长度为半径作圆，该圆与⊙O交于A、B两点；
4. 分别作直线PA、PB。
验证：因为OP是所作⊙M的直径，所以∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，又OA、OB是⊙O的半径，符合切线的判定条件，因此PA、PB是⊙O的切线。
【答案】
作法：
1. 连接OP；
2. 作线段OP的垂直平分线，得到线段OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长为半径作圆，该圆与⊙O交于点A、B；
4. 分别作直线PA、PB。
直线PA、PB即为所求作的⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理推论；尺规作图
【点评】
本题属于基础的几何作图类题目，解题关键是将切线的判定性质和圆周角定理的推论结合，找到切点的轨迹，能够很好地考查学生对几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
要作出过点P的⊙O的切线，首先回忆切线的判定定理：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。若设切线的切点为A，则有OA⊥PA，即∠OAP=90°，根据“直径所对的圆周角为直角”可知，点A在以OP为直径的圆上，因此我们只需作出以OP为直径的圆，它与⊙O的交点就是所求切线的切点，最后连接点P和切点即可得到切线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺连接OP；
2. 利用尺规作线段OP的垂直平分线，垂直平分线与OP的交点即为OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长度为半径作圆，该圆与⊙O交于A、B两点；
4. 分别作直线PA、PB。
验证：因为OP是所作⊙M的直径，所以∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，又OA、OB是⊙O的半径，符合切线的判定条件，因此PA、PB是⊙O的切线。
【答案】
作法：
1. 连接OP；
2. 作线段OP的垂直平分线，得到线段OP的中点M；
3. 以点M为圆心，MO的长为半径作圆，该圆与⊙O交于点A、B；
4. 分别作直线PA、PB。
直线PA、PB即为所求作的⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理推论；尺规作图
【点评】
本题属于基础的几何作图类题目，解题关键是将切线的判定性质和圆周角定理的推论结合，找到切点的轨迹，能够很好地考查学生对几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
2.将篮球夹在腋下,抽象出的几何图形如图所示,下列说法正确的是 (
A.射线$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
B.直线$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
C.线段$PA$,$PB$的长是$\odot O$的切线长
D.线段$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
C
)A.射线$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
B.直线$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
C.线段$PA$,$PB$的长是$\odot O$的切线长
D.线段$PA$,$PB$是$\odot O$的切线长
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长的定义，明确切线长的本质是“线段的长度”，属于数量，不是射线、直线、线段这类几何图形，再逐一核对四个选项，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据切线长的定义：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长度叫做这点到圆的切线长。
对各选项逐一分析：
A. 射线PA、PB是射线，不是线段的长度，不符合切线长定义，错误；
B. 直线PA、PB是直线，无长度，不符合切线长定义，错误；
C. 线段PA、PB的长是圆外点P到切点A、B的线段的长度，符合切线长定义，正确；
D. 线段PA、PB是几何图形，不是长度数值，不符合切线长定义，错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要区分切线（直线）、切线段（线段）和切线长（线段的长度，为数量）三者的差异，掌握概念本质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长的定义，明确切线长的本质是“线段的长度”，属于数量，不是射线、直线、线段这类几何图形，再逐一核对四个选项，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据切线长的定义：从圆外一点引圆的切线，该点与切点之间的线段的长度叫做这点到圆的切线长。
对各选项逐一分析：
A. 射线PA、PB是射线，不是线段的长度，不符合切线长定义，错误；
B. 直线PA、PB是直线，无长度，不符合切线长定义，错误；
C. 线段PA、PB的长是圆外点P到切点A、B的线段的长度，符合切线长定义，正确；
D. 线段PA、PB是几何图形，不是长度数值，不符合切线长定义，错误。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要区分切线（直线）、切线段（线段）和切线长（线段的长度，为数量）三者的差异，掌握概念本质即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
3. P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点.若$PA=5$，则PB等于（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.D
解析
【分析】
看到题目中“P为圆外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点”的条件，首先回忆切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。题目已经给出PA的长度，直接利用定理就能求出PB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，P为⊙O外一点
∴根据切线长定理可得：$PB = PA$
又
∵$PA = 5$
∴$PB = 5$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是对切线长定理的直接考查，属于基础题型，熟练掌握基础定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
看到题目中“P为圆外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点”的条件，首先回忆切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等。题目已经给出PA的长度，直接利用定理就能求出PB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，P为⊙O外一点
∴根据切线长定理可得：$PB = PA$
又
∵$PA = 5$
∴$PB = 5$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是对切线长定理的直接考查，属于基础题型，熟练掌握基础定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 如图，PA，PB 分别切$\odot O$于点 A，B，$∠ APB=60°$，$\odot O$的半径为 2，则 PB 的长为（
A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
C
）A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
看到PA、PB是圆的两条切线，首先回忆切线性质和切线长定理：切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。因此我们可以连接OA、OP，构造直角三角形OAP，结合已知∠APB=60°，可推出∠APO=30°，利用特殊直角三角形的性质和勾股定理求出PA的长度，再由切线长相等得到PB的长度。
【解析】
解：连接OA、OP，
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴$PA=PB$，$OA⊥ PA$，$OP$平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠ OAP=90°$，$OA=2$，$∠ APO=30°$，
∴$OP=2OA=4$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
又
∵$PA=PB$，
∴$PB=2\sqrt{3}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆切线相关的基础计算题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合切线相关性质和特殊直角三角形的特点求解，是圆部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
看到PA、PB是圆的两条切线，首先回忆切线性质和切线长定理：切线垂直于过切点的半径，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。因此我们可以连接OA、OP，构造直角三角形OAP，结合已知∠APB=60°，可推出∠APO=30°，利用特殊直角三角形的性质和勾股定理求出PA的长度，再由切线长相等得到PB的长度。
【解析】
解：连接OA、OP，
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B，
∴$PA=PB$，$OA⊥ PA$，$OP$平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠ OAP=90°$，$OA=2$，$∠ APO=30°$，
∴$OP=2OA=4$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
又
∵$PA=PB$，
∴$PB=2\sqrt{3}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆切线相关的基础计算题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合切线相关性质和特殊直角三角形的特点求解，是圆部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
5.如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D.若$PA=6$，则$△ PCD$的周长为（
A.8
B.6
C.12
D.10
C
）A.8
B.6
C.12
D.10
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察图形，PA、PB是点P到⊙O的两条切线，可得PA=PB；CD是圆的切线，切点为E，可得点C到圆的两条切线CA、CE长度相等，点D到圆的两条切线DB、DE长度相等。接下来将△PCD的周长拆分为PC+CD+PD，把CD拆为CE+DE后，利用上述相等的线段进行等量替换，即可将周长转化为PA与PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
根据切线长定理：
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴ PA=PB=6，
又
∵ CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴ CA=CE，DB=DE，
∴ △PCD的周长为：
$PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD$
将CE替换为CA，DE替换为DB，得：
$= PC + CA + DB + PD = PA + PB = 6 + 6 = 12$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，等量代换，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的两条切线长之和，解题时注意仔细观察图形，找准相等的线段即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察图形，PA、PB是点P到⊙O的两条切线，可得PA=PB；CD是圆的切线，切点为E，可得点C到圆的两条切线CA、CE长度相等，点D到圆的两条切线DB、DE长度相等。接下来将△PCD的周长拆分为PC+CD+PD，把CD拆为CE+DE后，利用上述相等的线段进行等量替换，即可将周长转化为PA与PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
根据切线长定理：
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴ PA=PB=6，
又
∵ CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
∴ CA=CE，DB=DE，
∴ △PCD的周长为：
$PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD$
将CE替换为CA，DE替换为DB，得：
$= PC + CA + DB + PD = PA + PB = 6 + 6 = 12$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，等量代换，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是利用切线长定理实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的两条切线长之和，解题时注意仔细观察图形，找准相等的线段即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. [2026合肥期末]如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点.若$AB// CD$，$OB=3\ \mathrm{cm}$，$OC=6\ \mathrm{cm}$，则线段$BE + CG$等于
$3\sqrt{5}$
$\mathrm{cm}$.答案
6.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得到OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，且BE=BF、CG=CF。再结合AB//CD的条件，利用平行线同旁内角互补可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即△BOC是直角三角形，先用勾股定理求出BC的长度，最后将BE+CG转化为BF+CF=BC即可得到结果。
【解析】
解：
1. 由切线长定理可得：AB、BC为⊙O的切线，故OB平分∠ABC，且BE=BF；CD、BC为⊙O的切线，故OC平分∠BCD，且CG=CF。
2.
∵AB//CD，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)$ = 90°，即∠BOC=90°，△BOC为直角三角形。
3. 在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=6cm，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
4.
∵BE=BF，CG=CF，
∴$BE+CG=BF+CF=BC=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是通过切线长定理和平行线性质推导得到直角三角形BOC，再将所求线段和转化为直角三角形的斜边长度，解题思路清晰，是圆相关性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得到OB平分∠ABC、OC平分∠BCD，且BE=BF、CG=CF。再结合AB//CD的条件，利用平行线同旁内角互补可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即△BOC是直角三角形，先用勾股定理求出BC的长度，最后将BE+CG转化为BF+CF=BC即可得到结果。
【解析】
解：
1. 由切线长定理可得：AB、BC为⊙O的切线，故OB平分∠ABC，且BE=BF；CD、BC为⊙O的切线，故OC平分∠BCD，且CG=CF。
2.
∵AB//CD，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ABC + $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)$ = 90°，即∠BOC=90°，△BOC为直角三角形。
3. 在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=6cm，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
4.
∵BE=BF，CG=CF，
∴$BE+CG=BF+CF=BC=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是通过切线长定理和平行线性质推导得到直角三角形BOC，再将所求线段和转化为直角三角形的斜边长度，解题思路清晰，是圆相关性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
7.如图,射线PA,PB与⊙O相切,切点分别为A,B,连接PO并延长,交⊙O于点C,连接AC,BC.求证:AC=BC. 
答案
证明：
∵ 射线PA，PB与⊙O相切，
∴ 由切线长定理可得：PA = PB，PO平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴ △PAC ≌ △PBC（SAS），
∴ AC = BC。
∵ 射线PA，PB与⊙O相切，
∴ 由切线长定理可得：PA = PB，PO平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴ △PAC ≌ △PBC（SAS），
∴ AC = BC。
解析
【分析】
要证明AC=BC，可通过证明△PAC和△PBC全等来推导。首先观察已知条件，PA、PB是⊙O的切线，优先联想到切线长定理，可得到PA=PB，且PO平分∠APB，即∠APC=∠BPC；再看两个三角形有公共边PC，刚好满足SAS全等的判定条件，证明三角形全等后即可推出对应边AC=BC。
【解析】
证明：
∵ 射线PA，PB与⊙O相切，
∴ 由切线长定理可得：PA = PB，PO平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴ △PAC ≌ △PBC（SAS），
∴ AC = BC。
【答案】
AC=BC
【知识点】
1.切线长定理
2.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理得到边、角的等量关系，再选择合适的全等判定方法证明线段相等，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BC，可通过证明△PAC和△PBC全等来推导。首先观察已知条件，PA、PB是⊙O的切线，优先联想到切线长定理，可得到PA=PB，且PO平分∠APB，即∠APC=∠BPC；再看两个三角形有公共边PC，刚好满足SAS全等的判定条件，证明三角形全等后即可推出对应边AC=BC。
【解析】
证明：
∵ 射线PA，PB与⊙O相切，
∴ 由切线长定理可得：PA = PB，PO平分∠APB，
∴ ∠APC = ∠BPC。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴ △PAC ≌ △PBC（SAS），
∴ AC = BC。
【答案】
AC=BC
【知识点】
1.切线长定理
2.全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理得到边、角的等量关系，再选择合适的全等判定方法证明线段相等，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
