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3. 把红、黄、黑、白、绿5种颜色的小球各10个放入1个袋子里。
(1)至少取出多少个小球，才可以保证取到3个颜色相同的小球？
(2)从袋子里取出16个小球，至少有几个是颜色相同的？
(3)从袋子里至少取出多少个小球，可以保证取到2个红球？
(1)至少取出多少个小球，才可以保证取到3个颜色相同的小球？
(2)从袋子里取出16个小球，至少有几个是颜色相同的？
(3)从袋子里至少取出多少个小球，可以保证取到2个红球？
答案
(1) 5×2+1=11(个)
(2) 16÷5=3(个)……1(个)
3+1=4(个)
(3) 4×10+2=42(个)
(2) 16÷5=3(个)……1(个)
3+1=4(个)
(3) 4×10+2=42(个)
解析
【分析】
这三道题均为鸽巢原理的典型应用，解题核心是先构造“最不利情况”（即刚好达不到要求的最倒霉情况），再在此基础上推导就能得到“保证”满足条件的结果：
(1) 要保证取到3个同色小球，最不利的情况是每种颜色先各取2个，此时再取1个，不管是什么颜色，都一定能凑出3个同色的小球；
(2) 把5种颜色看作5个抽屉，16个小球看作16个物品，平均分配到5个抽屉后，余下的1个无论分到哪个抽屉，该抽屉的物品数就会比平均数多1；
(3) 要保证取到2个红球，最不利的情况是先把除红球外的其他4种颜色的球全部取完，此时剩下的全是红球，再取2个就一定都是红球。
【解析】
(1) 先取每种颜色各2个，共取了$5×2=10$个，再取1个即可满足要求：
$5×2+1=11$（个）
(2) 将16个球平均分给5种颜色：
$16÷5=3$（个）……$1$（个）
余下的1个归到任意一种颜色中，该颜色的数量为$3+1=4$（个）
(3) 先取完黄、黑、白、绿4种颜色共$4×10=40$个，再取2个红球即可满足要求：
$4×10+2=42$（个）
【答案】
(1) $5×2+1=11$（个）
(2) $16÷5=3$（个）……$1$（个）
$3+1=4$（个）
(3) $4×10+2=42$（个）
【知识点】
1. 鸽巢原理（抽屉原理）
2. 最不利原则
3. 有余数除法应用
【点评】
本题是鸽巢问题的常规考法，重点考察对“保证”类逻辑的理解，只要准确构造对应设问的最不利情况，就能快速计算出结果，是巩固鸽巢原理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
这三道题均为鸽巢原理的典型应用，解题核心是先构造“最不利情况”（即刚好达不到要求的最倒霉情况），再在此基础上推导就能得到“保证”满足条件的结果：
(1) 要保证取到3个同色小球，最不利的情况是每种颜色先各取2个，此时再取1个，不管是什么颜色，都一定能凑出3个同色的小球；
(2) 把5种颜色看作5个抽屉，16个小球看作16个物品，平均分配到5个抽屉后，余下的1个无论分到哪个抽屉，该抽屉的物品数就会比平均数多1；
(3) 要保证取到2个红球，最不利的情况是先把除红球外的其他4种颜色的球全部取完，此时剩下的全是红球，再取2个就一定都是红球。
【解析】
(1) 先取每种颜色各2个，共取了$5×2=10$个，再取1个即可满足要求：
$5×2+1=11$（个）
(2) 将16个球平均分给5种颜色：
$16÷5=3$（个）……$1$（个）
余下的1个归到任意一种颜色中，该颜色的数量为$3+1=4$（个）
(3) 先取完黄、黑、白、绿4种颜色共$4×10=40$个，再取2个红球即可满足要求：
$4×10+2=42$（个）
【答案】
(1) $5×2+1=11$（个）
(2) $16÷5=3$（个）……$1$（个）
$3+1=4$（个）
(3) $4×10+2=42$（个）
【知识点】
1. 鸽巢原理（抽屉原理）
2. 最不利原则
3. 有余数除法应用
【点评】
本题是鸽巢问题的常规考法，重点考察对“保证”类逻辑的理解，只要准确构造对应设问的最不利情况，就能快速计算出结果，是巩固鸽巢原理应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
4.某班44名同学投票推选1名学习委员，候选人是小明、小丽和小军3人。计票一段时间后的统计结果如下所示。（每人只投1票）
规定得票最多的人当选，那么后面的计票中，小军至少还要得多少票才能确保当选？
规定得票最多的人当选，那么后面的计票中，小军至少还要得多少票才能确保当选？
答案
要确保小军当选，需要考虑最不利的情况，即剩下的票都投给小军和目前得票第二多的小丽。
已投票数:9+12+15=36(票)
剩余票数:44-36=8(票)
小军比小丽多的票数:15-12=3(票)
8-3=5(票)
小军至少还要得的票数：
5÷2=2(票)……1(票)
2+1=3(票)
小军至少还要得3票才能确保当选。
已投票数:9+12+15=36(票)
剩余票数:44-36=8(票)
小军比小丽多的票数:15-12=3(票)
8-3=5(票)
小军至少还要得的票数：
5÷2=2(票)……1(票)
2+1=3(票)
小军至少还要得3票才能确保当选。
解析
【分析】
要解决“小军至少得多少票能确保当选”的问题，首先要明确“确保当选”需要考虑最不利的情况：剩下的选票除了给小军，都投给目前得票仅次于小军的小丽，因为只有小丽对小军当选的威胁最大，只要在这种情况下小军的总票数仍高于小丽，就能保证小军一定当选。解题时先算出已统计的总票数、剩余未统计的票数，再算出当前小军比小丽多的票数，先补平两人的票数差距，剩余的票数小军只要拿到比一半多的数量，就能保证总票数更高。
【解析】
1. 计算已统计的总票数：
$9+12+15=36$（票）
2. 计算剩余未计的票数：
$44-36=8$（票）
3. 计算当前小军比小丽多的票数：
$15-12=3$（票）
先从剩余8票里拿出3票给小丽，此时两人票数相等，剩余票数为：
$8-3=5$（票）
剩余5票分给小军和小丽，要保证小军票数更高，小军需要拿到超过一半的票数：
$5÷2=2$（票）$\dots\dots1$（票）
每人分2票后还剩1票，这1票给小军，小军的总票数就会比小丽多，因此小军至少需要拿$2+1=3$（票）
【答案】
小军至少还要得3票才能确保当选。
【知识点】
最不利原则、整数四则运算、鸽巢问题
【点评】
本题结合生活中的投票场景设置问题，解题核心是正确理解“确保当选”的含义，要考虑最不利的竞争情况，避免直接平均分配剩余票数的错误，能有效锻炼逻辑推理能力和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决“小军至少得多少票能确保当选”的问题，首先要明确“确保当选”需要考虑最不利的情况：剩下的选票除了给小军，都投给目前得票仅次于小军的小丽，因为只有小丽对小军当选的威胁最大，只要在这种情况下小军的总票数仍高于小丽，就能保证小军一定当选。解题时先算出已统计的总票数、剩余未统计的票数，再算出当前小军比小丽多的票数，先补平两人的票数差距，剩余的票数小军只要拿到比一半多的数量，就能保证总票数更高。
【解析】
1. 计算已统计的总票数：
$9+12+15=36$（票）
2. 计算剩余未计的票数：
$44-36=8$（票）
3. 计算当前小军比小丽多的票数：
$15-12=3$（票）
先从剩余8票里拿出3票给小丽，此时两人票数相等，剩余票数为：
$8-3=5$（票）
剩余5票分给小军和小丽，要保证小军票数更高，小军需要拿到超过一半的票数：
$5÷2=2$（票）$\dots\dots1$（票）
每人分2票后还剩1票，这1票给小军，小军的总票数就会比小丽多，因此小军至少需要拿$2+1=3$（票）
【答案】
小军至少还要得3票才能确保当选。
【知识点】
最不利原则、整数四则运算、鸽巢问题
【点评】
本题结合生活中的投票场景设置问题，解题核心是正确理解“确保当选”的含义，要考虑最不利的竞争情况，避免直接平均分配剩余票数的错误，能有效锻炼逻辑推理能力和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 提升题 45名同学去图书馆借阅学习刊物，现有甲、乙、丙3种刊物（每名同学可借阅其中的1种、2种或3种），至少有几名同学借阅的刊物完全相同？
答案
每人借阅的方式有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙，共7种。
45÷7=6(名)……3(名)
6+1=7(名)
45÷7=6(名)……3(名)
6+1=7(名)
解析
【分析】
这是典型的鸽巢问题，解题思路分为两步：第一步先确定“抽屉”的数量，也就是所有不同的借阅刊物的类型，我们按借阅刊物的数量分类计算：只借1种、借2种、借3种，分别计数后求和得到总共有多少种不同的借阅方式；第二步把45名同学看作要放入抽屉的元素，用总人数除以抽屉数，若有余数，则至少数=商+1，即可求出结果。
【解析】
首先计算不同的借阅方式总数：
1. 只借阅1种刊物：有甲、乙、丙，共3种；
2. 借阅2种刊物：有甲乙、甲丙、乙丙，共3种；
3. 借阅3种刊物：有甲乙丙，共1种。
总共有3+3+1=7种不同的借阅方式，把这7种方式看作7个“鸽巢”，45名同学看作45个待分配的元素。
计算得：$45÷7=6$（名）$\dots\dots3$（名）
即平均每种借阅方式有6名同学选择，还剩余3名同学，这3名同学无论选择哪种借阅方式，对应的借阅方式至少会有$6+1=7$名同学。
【答案】
7名
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 分类计数
【点评】
这道题是鸽巢原理的常见应用题型，解题核心是先通过分类枚举确定所有不重复、不遗漏的借阅情况（即抽屉数），再结合鸽巢原理的计算规则求解即可。
【难度系数】
0.6
这是典型的鸽巢问题，解题思路分为两步：第一步先确定“抽屉”的数量，也就是所有不同的借阅刊物的类型，我们按借阅刊物的数量分类计算：只借1种、借2种、借3种，分别计数后求和得到总共有多少种不同的借阅方式；第二步把45名同学看作要放入抽屉的元素，用总人数除以抽屉数，若有余数，则至少数=商+1，即可求出结果。
【解析】
首先计算不同的借阅方式总数：
1. 只借阅1种刊物：有甲、乙、丙，共3种；
2. 借阅2种刊物：有甲乙、甲丙、乙丙，共3种；
3. 借阅3种刊物：有甲乙丙，共1种。
总共有3+3+1=7种不同的借阅方式，把这7种方式看作7个“鸽巢”，45名同学看作45个待分配的元素。
计算得：$45÷7=6$（名）$\dots\dots3$（名）
即平均每种借阅方式有6名同学选择，还剩余3名同学，这3名同学无论选择哪种借阅方式，对应的借阅方式至少会有$6+1=7$名同学。
【答案】
7名
【知识点】
1. 鸽巢原理
2. 分类计数
【点评】
这道题是鸽巢原理的常见应用题型，解题核心是先通过分类枚举确定所有不重复、不遗漏的借阅情况（即抽屉数），再结合鸽巢原理的计算规则求解即可。
【难度系数】
0.6
