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1. 在“赵爽弦图”中，$AC=6$，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则$BC=$
5
。答案
1.5
2. 如图，货车车高$AC=4\ \mathrm{m}$，卸货时后面挡板$AB$折落在地面$A_1$处，已知点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$AC⊥ A_1C$，经过测量，$A_1C=2\ \mathrm{m}$，则$BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$。
答案
2.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这是结合折叠性质和勾股定理的几何计算题，解题思路如下：首先折叠前后对应线段长度相等，可得AB=A₁B；其次AC垂直于A₁C，说明△BCA₁是直角三角形；我们设BC的长度为x，用含x的式子表示出直角三角形的斜边A₁B，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{m}$。
已知$AC=4\ \mathrm{m}$，且点A、B、C在同一条直线上，因此$AB=AC-BC=(4-x)\ \mathrm{m}$。
由折叠的性质可得：$A_1B=AB=(4-x)\ \mathrm{m}$。
因为$AC⊥ A_1C$，所以$∠ C=90°$，$△ BCA_1$是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$BC^2+A_1C^2=A_1B^2$
代入$A_1C=2\ \mathrm{m}$，得：
$x^2+2^2=(4-x)^2$
展开并化简：
$x^2+4=16-8x+x^2$
消去$x^2$后移项计算：
$8x=16-4$
$8x=12$
解得$x=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的几何方程类问题，解题核心是抓住折叠的相等关系，结合勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
这是结合折叠性质和勾股定理的几何计算题，解题思路如下：首先折叠前后对应线段长度相等，可得AB=A₁B；其次AC垂直于A₁C，说明△BCA₁是直角三角形；我们设BC的长度为x，用含x的式子表示出直角三角形的斜边A₁B，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{m}$。
已知$AC=4\ \mathrm{m}$，且点A、B、C在同一条直线上，因此$AB=AC-BC=(4-x)\ \mathrm{m}$。
由折叠的性质可得：$A_1B=AB=(4-x)\ \mathrm{m}$。
因为$AC⊥ A_1C$，所以$∠ C=90°$，$△ BCA_1$是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$BC^2+A_1C^2=A_1B^2$
代入$A_1C=2\ \mathrm{m}$，得：
$x^2+2^2=(4-x)^2$
展开并化简：
$x^2+4=16-8x+x^2$
消去$x^2$后移项计算：
$8x=16-4$
$8x=12$
解得$x=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的几何方程类问题，解题核心是抓住折叠的相等关系，结合勾股定理建立方程求解，很好地体现了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在底面周长约为6 m的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2周到达柱顶。已知石柱高为16 m，则雕刻在石柱上的巨龙长度至少为
20
m。答案
3.20
解析
【分析】
要计算石柱表面巨龙的最短长度，需将立体图形的曲面路径转化为平面图形的线段长度，利用“化曲为直”的思路解题：首先将圆柱侧面展开为长方形，因为巨龙盘绕2周，所以展开后水平方向总长度为2倍底面周长，竖直方向长度等于石柱高度，此时巨龙最短长度就是以这两个长度为直角边的直角三角形的斜边长，用勾股定理计算即可。
【解析】
将石柱侧面沿高展开，
因为巨龙盘绕2周，所以展开后对应水平方向总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，
竖直方向长度为石柱的高$16\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，巨龙的最短长度为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题体现了化曲为直的数学思想，解题关键是明确盘绕周数和展开后水平边长的对应关系，再结合勾股定理计算，是立体图形最短路径类的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算石柱表面巨龙的最短长度，需将立体图形的曲面路径转化为平面图形的线段长度，利用“化曲为直”的思路解题：首先将圆柱侧面展开为长方形，因为巨龙盘绕2周，所以展开后水平方向总长度为2倍底面周长，竖直方向长度等于石柱高度，此时巨龙最短长度就是以这两个长度为直角边的直角三角形的斜边长，用勾股定理计算即可。
【解析】
将石柱侧面沿高展开，
因为巨龙盘绕2周，所以展开后对应水平方向总长度为：$2×6=12\ \mathrm{m}$，
竖直方向长度为石柱的高$16\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，巨龙的最短长度为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题体现了化曲为直的数学思想，解题关键是明确盘绕周数和展开后水平边长的对应关系，再结合勾股定理计算，是立体图形最短路径类的典型题型。
【难度系数】
0.6
4.《九章算术》中有一道题，其大意是：如图，有一竖直的木柱，木柱的上端系有绳索，绳索沿木柱下垂后，堆在地面上的部分长三尺（即绳索比木柱长3尺）。现拉着绳端向远离柱底的方向退行，至离柱底8尺处，绳索刚好紧贴地面绷紧。木柱长为
$\frac{55}{6}$
尺。答案
4.$\frac{55}{6}$
解析
【分析】
首先可将实际问题转化为直角三角形的数学问题：木柱AB垂直地面BC，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。已知绳索比木柱长3尺，拉绳端到离柱底8尺处绳索刚好绷紧，此时绳索长度就是直角三角形的斜边AC，BC=8尺。我们可以设木柱长度为未知数，用未知数表示出斜边AC的长度，再利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设木柱AB的长度为$x$尺，则绳索的长度为$(x+3)$尺，即$AC=(x+3)$尺。
由题意可知$AB⊥ BC$，$△ ABC$为直角三角形，$BC=8$尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应数值：
$x^2 + 8^2 = (x+3)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 64 = x^2 + 6x + 9$
两边同时消去$x^2$，得：
$64 = 6x + 9$
移项计算：
$6x = 64 - 9 = 55$
解得：$x=\frac{55}{6}$
【答案】
$\frac{55}{6}$
【知识点】
勾股定理；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题关键是明确直角三角形的三边关系，合理设未知数，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先可将实际问题转化为直角三角形的数学问题：木柱AB垂直地面BC，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。已知绳索比木柱长3尺，拉绳端到离柱底8尺处绳索刚好绷紧，此时绳索长度就是直角三角形的斜边AC，BC=8尺。我们可以设木柱长度为未知数，用未知数表示出斜边AC的长度，再利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
设木柱AB的长度为$x$尺，则绳索的长度为$(x+3)$尺，即$AC=(x+3)$尺。
由题意可知$AB⊥ BC$，$△ ABC$为直角三角形，$BC=8$尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入对应数值：
$x^2 + 8^2 = (x+3)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 64 = x^2 + 6x + 9$
两边同时消去$x^2$，得：
$64 = 6x + 9$
移项计算：
$6x = 64 - 9 = 55$
解得：$x=\frac{55}{6}$
【答案】
$\frac{55}{6}$
【知识点】
勾股定理；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题关键是明确直角三角形的三边关系，合理设未知数，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 本身就是一个关于$a$，$b$，$c$的方程，满足这个方程的正整数解$(a，b，c)$通常叫作勾股数组。毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：$(3，4，5)$，$(5，12，13)$，$(7，24，25)$，…。分析上面勾股数组可以发现，$4=1×(3+1)$，$12=2×(5+1)$，$24=3×(7+1)$，…。分析上面的规律，第4个勾股数组为
(9，40，41)
。答案
5.(9，40，41)
解析
【分析】
我们要推导第4个勾股数组，可分别观察每组三个数的变化规律逐步求解：①先看每组的第一个数：给出的前3组第一个数为3、5、7，是连续的奇数，相邻两个数差2，因此第4组的第一个数可直接推出；②再看每组的第二个数：题目已给出规律提示，第n组的第二个数等于n乘（该组第一个数+1），代入第4组对应的n值即可算出第二个数；③最后看第三个数：观察前3组可知每组第三个数都比同组第二个数大1，据此可算出第三个数，最后用勾股定理验证结果即可。
【解析】
1. 求第4组的第一个数：
前3组第一个数依次为3、5、7，后一个数比前一个大2，因此第4组第一个数为 $7+2=9$。
2. 求第4组的第二个数：
观察已知规律：第1组$4=1×(3+1)$，第2组$12=2×(5+1)$，第3组$24=3×(7+1)$，可得第n组第二个数$=n×(该组第一个数+1)$，第4组对应$n=4$，代入得：
第二个数$=4×(9+1)=4×10=40$。
3. 求第4组的第三个数：
观察前3组第三个数：$5=4+1$，$13=12+1$，$25=24+1$，可得第三个数=同组第二个数+1，因此第4组第三个数为$40+1=41$。
4. 验证：$9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$，满足勾股定理，结果正确。
【答案】
$(9，40，41)$
【知识点】
勾股数，规律探究，勾股定理
【点评】
本题侧重考查数字规律的归纳能力，解题时结合题干给出的提示信息分步推导即可，得到结果后可通过勾股定理反向验证，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
我们要推导第4个勾股数组，可分别观察每组三个数的变化规律逐步求解：①先看每组的第一个数：给出的前3组第一个数为3、5、7，是连续的奇数，相邻两个数差2，因此第4组的第一个数可直接推出；②再看每组的第二个数：题目已给出规律提示，第n组的第二个数等于n乘（该组第一个数+1），代入第4组对应的n值即可算出第二个数；③最后看第三个数：观察前3组可知每组第三个数都比同组第二个数大1，据此可算出第三个数，最后用勾股定理验证结果即可。
【解析】
1. 求第4组的第一个数：
前3组第一个数依次为3、5、7，后一个数比前一个大2，因此第4组第一个数为 $7+2=9$。
2. 求第4组的第二个数：
观察已知规律：第1组$4=1×(3+1)$，第2组$12=2×(5+1)$，第3组$24=3×(7+1)$，可得第n组第二个数$=n×(该组第一个数+1)$，第4组对应$n=4$，代入得：
第二个数$=4×(9+1)=4×10=40$。
3. 求第4组的第三个数：
观察前3组第三个数：$5=4+1$，$13=12+1$，$25=24+1$，可得第三个数=同组第二个数+1，因此第4组第三个数为$40+1=41$。
4. 验证：$9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$，满足勾股定理，结果正确。
【答案】
$(9，40，41)$
【知识点】
勾股数，规律探究，勾股定理
【点评】
本题侧重考查数字规律的归纳能力，解题时结合题干给出的提示信息分步推导即可，得到结果后可通过勾股定理反向验证，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
6. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验。同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降。实验初始状态如图1所示(AC⊥BC)，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是8 dm，AB＋BC＝16 dm。(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一点)
(1)求AB的长；
(2)如图2，若滑块B水平向左滑动9 dm，求物体C上升的高度。
(1)求AB的长；
(2)如图2，若滑块B水平向左滑动9 dm，求物体C上升的高度。
答案
6.(1)AB的长为10 dm。
(2)物体C上升的高度为7 dm。
(2)物体C上升的高度为7 dm。
解析
【分析】
(1) 初始状态下AC⊥BC，可知△ABC是直角三角形，已知AC的长度和AB与BC的长度和，我们可以设AB的长度为未知数，用含未知数的式子表示BC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 滑块B水平向左滑动后，先算出滑动后B点到AC的水平距离，再次用勾股定理求出此时AB的长度，由于绳子总长不变，AB段增加的长度就是物体C上升的高度。
【解析】
(1) 设AB的长为$x$ dm，由$AB+BC=16$ dm，可得$BC=(16-x)$ dm。
已知$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=8$ dm，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值：$x^2=8^2+(16-x)^2$
展开计算：$x^2=64+256-32x+x^2$
消去$x^2$后解得：$32x=320$，即$x=10$
(2) 由(1)可知初始状态下$BC=16-10=6$ dm，滑块B向左滑动9 dm后，B点到AC的水平距离为$6+9=15$ dm。
设此时AB的长度为$x'$，由勾股定理得：
$x'^2=8^2+15^2=64+225=289$
解得$x'=17$（长度为正，舍去负根）
AB段增加的长度为$17-10=7$ dm，因为绳子总长不变，所以物体C上升的高度为7 dm。
【答案】
(1) $10$ dm；(2) $7$ dm
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际实验场景考查勾股定理的应用，解题的核心是找准直角三角形的边的数量关系，同时明确绳子长度变化和物体上升高度的对应关系，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 初始状态下AC⊥BC，可知△ABC是直角三角形，已知AC的长度和AB与BC的长度和，我们可以设AB的长度为未知数，用含未知数的式子表示BC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
(2) 滑块B水平向左滑动后，先算出滑动后B点到AC的水平距离，再次用勾股定理求出此时AB的长度，由于绳子总长不变，AB段增加的长度就是物体C上升的高度。
【解析】
(1) 设AB的长为$x$ dm，由$AB+BC=16$ dm，可得$BC=(16-x)$ dm。
已知$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=8$ dm，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值：$x^2=8^2+(16-x)^2$
展开计算：$x^2=64+256-32x+x^2$
消去$x^2$后解得：$32x=320$，即$x=10$
(2) 由(1)可知初始状态下$BC=16-10=6$ dm，滑块B向左滑动9 dm后，B点到AC的水平距离为$6+9=15$ dm。
设此时AB的长度为$x'$，由勾股定理得：
$x'^2=8^2+15^2=64+225=289$
解得$x'=17$（长度为正，舍去负根）
AB段增加的长度为$17-10=7$ dm，因为绳子总长不变，所以物体C上升的高度为7 dm。
【答案】
(1) $10$ dm；(2) $7$ dm
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际实验场景考查勾股定理的应用，解题的核心是找准直角三角形的边的数量关系，同时明确绳子长度变化和物体上升高度的对应关系，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
