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11. (★★)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径长为 【 】
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
B
解析
【分析】
这是圆在实际生活中的应用问题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径。首先明确已知条件：D是AB中点且CD过圆心，根据垂径定理可推出CD垂直AB，AD长度为AB的一半；接着设圆的半径为r，将直角三角形OAD的三边用含r的式子表示，最后通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
$\because$ CD过圆心O，D为AB的中点，
$\therefore$ 由垂径定理得：$CD⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
$\because$ OA、OC均为圆的半径，$CD=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开整理：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
消去$r^2$后解得：$5r=6.5$，$r=1.3$。
即拱门所在圆的半径长为$1.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，列方程解几何题
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质，解题关键是通过辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是垂径定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是圆在实际生活中的应用问题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径。首先明确已知条件：D是AB中点且CD过圆心，根据垂径定理可推出CD垂直AB，AD长度为AB的一半；接着设圆的半径为r，将直角三角形OAD的三边用含r的式子表示，最后通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
$\because$ CD过圆心O，D为AB的中点，
$\therefore$ 由垂径定理得：$CD⊥ AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
$\because$ OA、OC均为圆的半径，$CD=2.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开整理：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
消去$r^2$后解得：$5r=6.5$，$r=1.3$。
即拱门所在圆的半径长为$1.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，列方程解几何题
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质，解题关键是通过辅助线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是垂径定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
12. (★★)已知$\odot O$的直径是50 cm，弦$AB// CD$，且$AB=40$ cm，$CD=48$ cm，则弦AB与CD之间的距离为。
答案
解：
已知⊙O的直径为50 cm，则⊙O的半径为25 cm。
过点O作OM⊥AB于点M，
∵ AB//CD，∴ OM⊥CD，设OM交CD于点N。
由垂径定理得：
$AM = \frac{1}{2} AB = 20\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2} CD = 24\ \mathrm{cm}$。
在Rt△AOM中，
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\ \mathrm{cm}$。
在Rt△CON中，
$ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，
$MN = OM + ON = 15 + 7 = 22\ \mathrm{cm}$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，
$MN = OM - ON = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB与CD之间的距离为$\boldsymbol{22\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
已知⊙O的直径为50 cm，则⊙O的半径为25 cm。
过点O作OM⊥AB于点M，
∵ AB//CD，∴ OM⊥CD，设OM交CD于点N。
由垂径定理得：
$AM = \frac{1}{2} AB = 20\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2} CD = 24\ \mathrm{cm}$。
在Rt△AOM中，
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\ \mathrm{cm}$。
在Rt△CON中，
$ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，
$MN = OM + ON = 15 + 7 = 22\ \mathrm{cm}$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，
$MN = OM - ON = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB与CD之间的距离为$\boldsymbol{22\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
首先根据圆的直径求出半径，要求两条平行弦的距离，需结合垂径定理求解：过圆心作两条平行弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再通过勾股定理分别计算两条弦到圆心的距离；由于平行弦与圆心的位置关系有两种（在圆心同侧、在圆心两侧），需分情况计算两弦的距离，避免漏解。
【解析】
已知$\odot O$的直径为50 cm，则$\odot O$的半径$OA=OC=25$ cm。
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，
$\because AB // CD$，$\therefore OM ⊥ CD$，设OM交CD于点N。
由垂径定理得：
$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 40 = 20\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 48 = 24\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CON$中，由勾股定理得：
$ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦的距离$MN = OM + ON = 15 + 7 = 22\ \mathrm{cm}$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦的距离$MN = OM - ON = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8 cm或22 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离的常考题型，易错点是忽略平行弦相对于圆心的两种位置关系，导致漏解；解题时要结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形边长问题，再分类计算即可。
【难度系数】
0.6
首先根据圆的直径求出半径，要求两条平行弦的距离，需结合垂径定理求解：过圆心作两条平行弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再通过勾股定理分别计算两条弦到圆心的距离；由于平行弦与圆心的位置关系有两种（在圆心同侧、在圆心两侧），需分情况计算两弦的距离，避免漏解。
【解析】
已知$\odot O$的直径为50 cm，则$\odot O$的半径$OA=OC=25$ cm。
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，
$\because AB // CD$，$\therefore OM ⊥ CD$，设OM交CD于点N。
由垂径定理得：
$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 40 = 20\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 48 = 24\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CON$中，由勾股定理得：
$ON = \sqrt{OC^2 - CN^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦的距离$MN = OM + ON = 15 + 7 = 22\ \mathrm{cm}$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦的距离$MN = OM - ON = 15 - 7 = 8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8 cm或22 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离的常考题型，易错点是忽略平行弦相对于圆心的两种位置关系，导致漏解；解题时要结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形边长问题，再分类计算即可。
【难度系数】
0.6
13. (★★)如图所示的拱桥,用$\overset{\frown}{AB}$表示桥拱.
(1)若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O(简要写出作法,保留作图痕迹).
(2)若拱桥的跨度(弦AB的长)为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点到弦AB的距离)为4 m,求拱桥的半径长R.
(1)若$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O(简要写出作法,保留作图痕迹).
(2)若拱桥的跨度(弦AB的长)为16 m,拱高($\overset{\frown}{AB}$的中点到弦AB的距离)为4 m,求拱桥的半径长R.
答案
解：
(1) 作法：
① 连接AB，作弦AB的垂直平分线；
② 弦AB的垂直平分线与直线EF的交点即为所求的圆心O。
（保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹，交点标记为O）
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，$\overset{\frown}{AB}$的中点为C，连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理得$OC⊥ AB$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$，
由题意得拱高$CD=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OC=R$，
$\therefore OD=OC-CD=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-4)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-8R+16$，
化简得$8R=80$，
解得$R=10$。
答：拱桥的半径长为10 m。
(1) 作法：
① 连接AB，作弦AB的垂直平分线；
② 弦AB的垂直平分线与直线EF的交点即为所求的圆心O。
（保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹，交点标记为O）
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，$\overset{\frown}{AB}$的中点为C，连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理得$OC⊥ AB$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$，
由题意得拱高$CD=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OC=R$，
$\therefore OD=OC-CD=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-4)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-8R+16$，
化简得$8R=80$，
解得$R=10$。
答：拱桥的半径长为10 m。
解析
【分析】
(1) 找圆心的核心依据是：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。已知EF是弦CD的垂直平分线，说明圆心在EF上，因此只需再作出弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是要找的圆心O。
(2) 求半径可结合垂径定理构造直角三角形求解：弧中点与圆心的连线垂直平分对应弦，因此可将半径、弦长的一半、（半径-拱高）作为直角三角形的三边，利用勾股定理列方程即可算出半径。
【解析】
(1) 作法：
① 连接AB，用尺规作弦AB的垂直平分线；
② 弦AB的垂直平分线与直线EF的交点即为所求的圆心O。（作图保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹，交点标记为O）
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，$\overset{\frown}{AB}$的中点为C，连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理得$OC⊥ AB$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$，
由题意得拱高$CD=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OC=R$，
$\therefore OD=OC-CD=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-4)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-8R+16$，
化简得$8R=80$，
解得$R=10$。
【答案】
(1) 见上述作法，作图略；
(2) 拱桥的半径长为10 m。
【知识点】
垂径定理、尺规作图、勾股定理
【点评】
本题结合实际拱桥场景考查圆的相关性质与几何计算，第一问作图核心是掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，第二问是垂径定理的典型应用，需要学会构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 找圆心的核心依据是：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。已知EF是弦CD的垂直平分线，说明圆心在EF上，因此只需再作出弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是要找的圆心O。
(2) 求半径可结合垂径定理构造直角三角形求解：弧中点与圆心的连线垂直平分对应弦，因此可将半径、弦长的一半、（半径-拱高）作为直角三角形的三边，利用勾股定理列方程即可算出半径。
【解析】
(1) 作法：
① 连接AB，用尺规作弦AB的垂直平分线；
② 弦AB的垂直平分线与直线EF的交点即为所求的圆心O。（作图保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹，交点标记为O）
(2) 设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，$\overset{\frown}{AB}$的中点为C，连接OC，交AB于点D，连接OA。
由垂径定理得$OC⊥ AB$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$，
由题意得拱高$CD=4\ \mathrm{m}$，且$OA=OC=R$，
$\therefore OD=OC-CD=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-4)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-8R+16$，
化简得$8R=80$，
解得$R=10$。
【答案】
(1) 见上述作法，作图略；
(2) 拱桥的半径长为10 m。
【知识点】
垂径定理、尺规作图、勾股定理
【点评】
本题结合实际拱桥场景考查圆的相关性质与几何计算，第一问作图核心是掌握弦的垂直平分线过圆心的性质，第二问是垂径定理的典型应用，需要学会构造直角三角形，结合方程思想求解线段长度，实用性较强。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)如图，AB,CD是半径长为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为。
答案
解：
由垂径定理，∵AB⊥MN，MN是⊙O的直径，
∴点A与点B关于MN对称，可得PA=PB，
因此PA+PC=PB+PC，当B、P、C三点共线时，PA+PC取得最小值，最小值为线段BC的长度。
连接OA、OC，
∵AB⊥MN，AB=8，∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵CD⊥MN，CD=6，∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△OCF中，OC=5，$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，
则BH=OE+OF=3+4=7，CH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中，$BC=\sqrt{BH^2 + CH^2}=\sqrt{7^2 + 7^2}=7\sqrt{2}$。
故PA+PC的最小值为$\boldsymbol{7\sqrt{2}}$。
由垂径定理，∵AB⊥MN，MN是⊙O的直径，
∴点A与点B关于MN对称，可得PA=PB，
因此PA+PC=PB+PC，当B、P、C三点共线时，PA+PC取得最小值，最小值为线段BC的长度。
连接OA、OC，
∵AB⊥MN，AB=8，∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵CD⊥MN，CD=6，∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△OCF中，OC=5，$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，
则BH=OE+OF=3+4=7，CH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中，$BC=\sqrt{BH^2 + CH^2}=\sqrt{7^2 + 7^2}=7\sqrt{2}$。
故PA+PC的最小值为$\boldsymbol{7\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
这是圆背景下的最短路径问题，解题思路清晰：首先利用轴对称性质转化线段，MN是直径且AB⊥MN，由垂径定理可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，求PA+PC的最小值就转化为求PB+PC的最小值；其次根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，最小值即为线段BC的长度；最后通过垂径定理和勾股定理先求出OE、OF的长度，再构造直角三角形计算BC的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥MN，MN是⊙O的直径，根据垂径定理可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，当B、P、C三点共线时，PA+PC取得最小值，最小值为线段BC的长度。
连接OA、OC，
∵AB⊥MN，AB=8，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵CD⊥MN，CD=6，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△OCF中，OC=5，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，
则BH=OE+OF=3+4=7，CH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BH^2 + CH^2}=\sqrt{7^2 + 7^2}=7\sqrt{2}$。
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何最值结合的典型题型，解题的关键是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的线段长度，再结合垂径定理、勾股定理求解，能较好地考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
这是圆背景下的最短路径问题，解题思路清晰：首先利用轴对称性质转化线段，MN是直径且AB⊥MN，由垂径定理可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，求PA+PC的最小值就转化为求PB+PC的最小值；其次根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，最小值即为线段BC的长度；最后通过垂径定理和勾股定理先求出OE、OF的长度，再构造直角三角形计算BC的长度即可。
【解析】
解：
∵AB⊥MN，MN是⊙O的直径，根据垂径定理可知点A与点B关于MN对称，因此PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，当B、P、C三点共线时，PA+PC取得最小值，最小值为线段BC的长度。
连接OA、OC，
∵AB⊥MN，AB=8，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵CD⊥MN，CD=6，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△OCF中，OC=5，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
过点B作BH⊥CD，交DC的延长线于点H，
则BH=OE+OF=3+4=7，CH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BH^2 + CH^2}=\sqrt{7^2 + 7^2}=7\sqrt{2}$。
【答案】
$7\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何最值结合的典型题型，解题的关键是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接计算的线段长度，再结合垂径定理、勾股定理求解，能较好地考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
