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8. 已知关于$x$，$y$的多项式$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2 + xy -4x^3 +1$($m$是自然数).
(1)当$m=1$时，该多项式的次数是
(2)该多项式的次数最小是
(3)当$m=0$，$x=1$，$y=-2$时，求该多项式的值.
(1)当$m=1$时，该多项式的次数是
4
；(2)该多项式的次数最小是
3
；(3)当$m=0$，$x=1$，$y=-2$时，求该多项式的值.
答案
8. (1)4 解析 当$m=1$时，该多项式为$\frac{1}{5}x^2 · y^2 + xy -4x^3 +1$，次数为4.
(2)3
(3)解 当$m=0$，$x=1$，$y=-2$时，该多项式的值为$\frac{1}{5} × 1^{0+1} × (-2)^2 + 1 × (-2)-4 × 1^3 +1=\frac{4}{5}-2-4+1=-\frac{21}{5}$.
(2)3
(3)解 当$m=0$，$x=1$，$y=-2$时，该多项式的值为$\frac{1}{5} × 1^{0+1} × (-2)^2 + 1 × (-2)-4 × 1^3 +1=\frac{4}{5}-2-4+1=-\frac{21}{5}$.
解析
【分析】
本题考查整式的相关概念及代数式求值，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数为所有字母的指数和。当m=1时，先计算第一项的次数，再对比其余项的次数，取最高值即为多项式的次数。
2. 解决第(2)问：先表示出第一项的次数为$(m+1)+2=m+3$，m是自然数，最小可取0，此时第一项次数为3，而多项式中已有次数为3的项$-4x^3$，因此多项式的最小次数为3。
3. 解决第(3)问：将$m=0$，$x=1$，$y=-2$直接代入多项式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 当$m=1$时，第一项为$\frac{1}{5}x^{1+1}y^2=\frac{1}{5}x^2y^2$，该项的次数为$2+2=4$；其余项的次数分别为：$xy$的次数是$1+1=2$，$-4x^3$的次数是3，常数项1的次数是0。最高次数为4，因此该多项式的次数是4。
(2) 第一项的次数为$(m+1)+2=m+3$，已知m是自然数，故$m≥0$，因此第一项的次数最小为$0+3=3$，此时与多项式中$-4x^3$的次数相同，为多项式的最高次数，因此该多项式的次数最小是3。
(3) 把$m=0$，$x=1$，$y=-2$代入多项式得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{5} × 1^{0+1} × (-2)^2 + 1 × (-2)-4 × 1^3 +1\\=&\frac{1}{5}×1×4 -2 -4×1 +1\\=&\frac{4}{5} -2 -4 +1\\=&-\frac{21}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{5}}$
【知识点】
多项式的次数；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对多项式次数概念的理解和代入求值的运算能力，解题时需注意单项式次数的计算方法，代入求值时要严格遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查整式的相关概念及代数式求值，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数为所有字母的指数和。当m=1时，先计算第一项的次数，再对比其余项的次数，取最高值即为多项式的次数。
2. 解决第(2)问：先表示出第一项的次数为$(m+1)+2=m+3$，m是自然数，最小可取0，此时第一项次数为3，而多项式中已有次数为3的项$-4x^3$，因此多项式的最小次数为3。
3. 解决第(3)问：将$m=0$，$x=1$，$y=-2$直接代入多项式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 当$m=1$时，第一项为$\frac{1}{5}x^{1+1}y^2=\frac{1}{5}x^2y^2$，该项的次数为$2+2=4$；其余项的次数分别为：$xy$的次数是$1+1=2$，$-4x^3$的次数是3，常数项1的次数是0。最高次数为4，因此该多项式的次数是4。
(2) 第一项的次数为$(m+1)+2=m+3$，已知m是自然数，故$m≥0$，因此第一项的次数最小为$0+3=3$，此时与多项式中$-4x^3$的次数相同，为多项式的最高次数，因此该多项式的次数最小是3。
(3) 把$m=0$，$x=1$，$y=-2$代入多项式得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{5} × 1^{0+1} × (-2)^2 + 1 × (-2)-4 × 1^3 +1\\=&\frac{1}{5}×1×4 -2 -4×1 +1\\=&\frac{4}{5} -2 -4 +1\\=&-\frac{21}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{21}{5}}$
【知识点】
多项式的次数；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对多项式次数概念的理解和代入求值的运算能力，解题时需注意单项式次数的计算方法，代入求值时要严格遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.85
9. 已知关于 $ x $ 的多项式 $ 2y^2 - 5x^3 + (a + b)x^4 - 5xy $ 的次数是 3.
(1)直接写出 $ a $ 与 $ b $ 的关系；
(2)当 $ x = 1 $，$ y = 2 $ 时，求该多项式的值.
(1)直接写出 $ a $ 与 $ b $ 的关系；
(2)当 $ x = 1 $，$ y = 2 $ 时，求该多项式的值.
答案
9. 解 (1)$a+b=0$.
(2)原多项式$=2y^2 - 5x^3 - 5xy = 2 × 2^2 -5 × 1^3 -5 × 1 × 2=-7$.
(2)原多项式$=2y^2 - 5x^3 - 5xy = 2 × 2^2 -5 × 1^3 -5 × 1 × 2=-7$.
解析
【分析】
(1)解题思路：首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。观察题干给出的多项式，各项次数分别为：$2y^2$是2次，$-5x^3$是3次，$(a+b)x^4$是4次，$-5xy$是2次。已知多项式次数是3，说明不存在4次项，即4次项的系数必须为0，由此可推出a和b的关系。
(2)解题思路：结合第一问得到的$a+b=0$，可将原式中4次项消去，化简多项式后，将$x=1$、$y=2$代入化简后的式子，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据多项式次数的定义，多项式的次数为最高次项的次数。
已知该多项式次数为3，而项$(a+b)x^4$的次数为4，要使最高次为3，需让4次项的系数为0，即：
$a+b=0$
(2) 由(1)知$a+b=0$，因此原多项式可化简为：
$2y^2 - 5x^3 - 5xy$
将$x=1$，$y=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=2× 2^2 -5× 1^3 -5× 1× 2\\&=2×4 -5×1 -10\\&=8-5-10\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
(1)$a+b=0$；(2)$-7$
【知识点】
多项式的次数；代数式求值；整式的概念
【点评】
本题核心考查对多项式次数概念的掌握，解题的关键是明确“若某一高次项在多项式中不存在，则该项的系数为0”，代入求值时要严格遵循有理数运算顺序，避免因运算顺序错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
(1)解题思路：首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。观察题干给出的多项式，各项次数分别为：$2y^2$是2次，$-5x^3$是3次，$(a+b)x^4$是4次，$-5xy$是2次。已知多项式次数是3，说明不存在4次项，即4次项的系数必须为0，由此可推出a和b的关系。
(2)解题思路：结合第一问得到的$a+b=0$，可将原式中4次项消去，化简多项式后，将$x=1$、$y=2$代入化简后的式子，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据多项式次数的定义，多项式的次数为最高次项的次数。
已知该多项式次数为3，而项$(a+b)x^4$的次数为4，要使最高次为3，需让4次项的系数为0，即：
$a+b=0$
(2) 由(1)知$a+b=0$，因此原多项式可化简为：
$2y^2 - 5x^3 - 5xy$
将$x=1$，$y=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=2× 2^2 -5× 1^3 -5× 1× 2\\&=2×4 -5×1 -10\\&=8-5-10\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
(1)$a+b=0$；(2)$-7$
【知识点】
多项式的次数；代数式求值；整式的概念
【点评】
本题核心考查对多项式次数概念的掌握，解题的关键是明确“若某一高次项在多项式中不存在，则该项的系数为0”，代入求值时要严格遵循有理数运算顺序，避免因运算顺序错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
1. 已知$223x^ny$与$224x^3y^m$是同类项，则$(m-n)^2$的值为(
A.4
B.$-8$
C.16
D.8
A
)A.4
B.$-8$
C.16
D.8
答案
1. A 解析 因为 $223x^{n}y$ 与 $224x^{3}y^{m}$是同类项，所以 $n=3, m=1$，所以$(m-n)^2=(1-3)^2=(-2)^2=4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合题目给出的两个同类项，我们可以先分别对应x、y两个字母的指数，求出m和n的值，再将m、n代入式子$(m-n)^2$计算结果即可。第一步找x的指数：第一个单项式中x的指数是n，第二个中x的指数是3，二者相等就能得到n的值；第二步找y的指数：第一个单项式中y没有写指数，默认指数是1，第二个中y的指数是m，二者相等就能得到m的值；最后代入计算乘方即可。
【解析】
因为$223x^ny$与$224x^3y^m$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等：
x的指数对应相等，可得$n=3$；
y的指数对应相等，第一个单项式中y的指数为1，可得$m=1$；
将$m=1$，$n=3$代入$(m-n)^2$得：
$(m-n)^2=(1-3)^2=(-2)^2=4$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项判定规则的应用，解题时要注意单独的字母的指数默认是1，不要因忽略隐含的指数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合题目给出的两个同类项，我们可以先分别对应x、y两个字母的指数，求出m和n的值，再将m、n代入式子$(m-n)^2$计算结果即可。第一步找x的指数：第一个单项式中x的指数是n，第二个中x的指数是3，二者相等就能得到n的值；第二步找y的指数：第一个单项式中y没有写指数，默认指数是1，第二个中y的指数是m，二者相等就能得到m的值；最后代入计算乘方即可。
【解析】
因为$223x^ny$与$224x^3y^m$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等：
x的指数对应相等，可得$n=3$；
y的指数对应相等，第一个单项式中y的指数为1，可得$m=1$；
将$m=1$，$n=3$代入$(m-n)^2$得：
$(m-n)^2=(1-3)^2=(-2)^2=4$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项判定规则的应用，解题时要注意单独的字母的指数默认是1，不要因忽略隐含的指数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 合并下列各式中的同类项：
(1) $-3x^2y + 2x^2y + 3xy^2 - 2xy^2$；
(2) $4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 4b^2$。
(1) $-3x^2y + 2x^2y + 3xy^2 - 2xy^2$；
(2) $4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 4b^2$。
答案
2. 解 (1) 原式$=(-3x^2y + 2x^2y)+(3xy^2 - 2xy^2)=-x^2y+xy^2$。
(2)原式$=(4a^2 - 4a^2)+(3b^2 - 4b^2)+2ab=2ab - b^2$。
(2)原式$=(4a^2 - 4a^2)+(3b^2 - 4b^2)+2ab=2ab - b^2$。
解析
【分析】
解决合并同类项问题需遵循固定思路：第一步先识别同类项，即所含字母相同、且相同字母的指数也分别相同的项；第二步利用加法运算律将同类项分组集中；第三步按照合并同类项法则计算：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，没有同类项的项直接保留在结果中即可。
本题(1)中，$-3x^2y$与$2x^2y$是同类项，$3xy^2$与$-2xy^2$是同类项，分别合并即可；(2)中$4a^2$与$-4a^2$是同类项，$3b^2$与$-4b^2$是同类项，$2ab$无同类项直接保留，分组计算即可。
【解析】
(1) 先分组再合并同类项：
原式$=(-3x^2y + 2x^2y)+(3xy^2 - 2xy^2)$
$=(-3+2)x^2y+(3-2)xy^2$
$=-x^2y+xy^2$
(2) 先分组再合并同类项：
原式$=(4a^2 - 4a^2)+(3b^2 - 4b^2)+2ab$
$=(4-4)a^2+(3-4)b^2+2ab$
$=2ab - b^2$
【答案】
(1) $-x^2y+xy^2$；(2) $2ab - b^2$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础练习题，解题关键是准确区分同类项，合并时要注意各项系数的符号，避免符号运算错误，无同类项的项不要漏写。
【难度系数】
0.8
解决合并同类项问题需遵循固定思路：第一步先识别同类项，即所含字母相同、且相同字母的指数也分别相同的项；第二步利用加法运算律将同类项分组集中；第三步按照合并同类项法则计算：同类项的系数相加，所得结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变，没有同类项的项直接保留在结果中即可。
本题(1)中，$-3x^2y$与$2x^2y$是同类项，$3xy^2$与$-2xy^2$是同类项，分别合并即可；(2)中$4a^2$与$-4a^2$是同类项，$3b^2$与$-4b^2$是同类项，$2ab$无同类项直接保留，分组计算即可。
【解析】
(1) 先分组再合并同类项：
原式$=(-3x^2y + 2x^2y)+(3xy^2 - 2xy^2)$
$=(-3+2)x^2y+(3-2)xy^2$
$=-x^2y+xy^2$
(2) 先分组再合并同类项：
原式$=(4a^2 - 4a^2)+(3b^2 - 4b^2)+2ab$
$=(4-4)a^2+(3-4)b^2+2ab$
$=2ab - b^2$
【答案】
(1) $-x^2y+xy^2$；(2) $2ab - b^2$
【知识点】
同类项的识别；合并同类项法则
【点评】
本题是合并同类项的基础练习题，解题关键是准确区分同类项，合并时要注意各项系数的符号，避免符号运算错误，无同类项的项不要漏写。
【难度系数】
0.8
3. 化简：
(1)$6ab - b^2 - 3(a^2 + 2ab - 3b^2)$；
(2)$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)$。
4. 下面是小梅同学进行整式化简的过程，解答相应的问题：
$3x^2y + 2xy - 2(xy + x^2y)$
$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)$ (第一步)
$=3x^2y + 2xy - 2xy + 2x^2y$ (第二步)
$=5x^2y.$ (第三步)
(1)填空：
①在以上化简步骤中，第一步的依据是
②在以上化简步骤中，第
(2)请写出该整式正确的化简过程，并计算当$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$时该整式的值。
(1)$6ab - b^2 - 3(a^2 + 2ab - 3b^2)$；
(2)$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)$。
4. 下面是小梅同学进行整式化简的过程，解答相应的问题：
$3x^2y + 2xy - 2(xy + x^2y)$
$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)$ (第一步)
$=3x^2y + 2xy - 2xy + 2x^2y$ (第二步)
$=5x^2y.$ (第三步)
(1)填空：
①在以上化简步骤中，第一步的依据是
分配律
；②在以上化简步骤中，第
二
步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号
。(2)请写出该整式正确的化简过程，并计算当$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$时该整式的值。
答案
3. 解 (1)$6ab - b^2 - 3(a^2 + 2ab - 3b^2)=6ab - b^2 - 3a^2 - 6ab + 9b^2=8b^2 - 3a^2$。
(2)$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)=6a^2 + a - 6 - 6 + 4a - 6a^2=5a - 12$。
4. (1)①分配律 ②二 括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号
(2)解 原式$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)=3x^2y + 2xy - 2xy - 2x^2y=x^2y$。当$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$时，原式$=(-1)^2 × (-\dfrac{1}{10})=-\dfrac{1}{10}$。
(2)$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)=6a^2 + a - 6 - 6 + 4a - 6a^2=5a - 12$。
4. (1)①分配律 ②二 括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号
(2)解 原式$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)=3x^2y + 2xy - 2xy - 2x^2y=x^2y$。当$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$时，原式$=(-1)^2 × (-\dfrac{1}{10})=-\dfrac{1}{10}$。
解析
【分析】
这组题目围绕整式加减运算展开，核心解题步骤是去括号和合并同类项。第3题化简时，首先利用乘法分配律把括号外的系数乘到括号内每一项，再根据去括号法则去掉括号（括号前是负号时，括号内所有项都要变号），最后合并同类项即可。第4题首先判断运算依据和错误步骤：第一步用乘法分配律展开括号，第二步去括号时括号前是负号，小梅未改变括号内所有项的符号导致错误；正确化简后将x、y的取值代入计算即可得到结果。
【解析】
第3题
(1) 先去括号，将-3乘进括号内每一项：
$6ab - b^2 - 3(a^2 + 2ab - 3b^2)=6ab - b^2 - 3a^2 - 6ab + 9b^2$
再合并同类项：$6ab-6ab=0$，$-b^2+9b^2=8b^2$，剩余项为$-3a^2$，最终得$8b^2 - 3a^2$。
(2) 先去括号，将-2乘进括号内每一项：
$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)=6a^2 + a - 6 - 6 + 4a - 6a^2$
再合并同类项：$6a^2-6a^2=0$，$a+4a=5a$，$-6-6=-12$，最终得$5a - 12$。
第4题
(1) ①第一步是把-2分别乘括号内的两项，依据是乘法分配律；
②第二步去括号时，括号前是负号，括号内的$2x^2y$应该变为$-2x^2y$，但原式写成了$+2x^2y$，因此第二步开始出错，错误原因是括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号。
(2) 正确化简过程：
原式$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)$
$=3x^2y + 2xy - 2xy - 2x^2y$
$=x^2y$
代入$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$计算：
原式$=(-1)^2 × (-\dfrac{1}{10}) = 1 × (-\dfrac{1}{10}) = -\dfrac{1}{10}$
【答案】
3. (1) $8b^2 - 3a^2$；(2) $5a - 12$
4. (1) ①乘法分配律；②二，括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号
(2) 化简结果为$x^2y$，代入求值结果为$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握乘法分配律、去括号及合并同类项的规则，就能避免常见的符号错误，为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
这组题目围绕整式加减运算展开，核心解题步骤是去括号和合并同类项。第3题化简时，首先利用乘法分配律把括号外的系数乘到括号内每一项，再根据去括号法则去掉括号（括号前是负号时，括号内所有项都要变号），最后合并同类项即可。第4题首先判断运算依据和错误步骤：第一步用乘法分配律展开括号，第二步去括号时括号前是负号，小梅未改变括号内所有项的符号导致错误；正确化简后将x、y的取值代入计算即可得到结果。
【解析】
第3题
(1) 先去括号，将-3乘进括号内每一项：
$6ab - b^2 - 3(a^2 + 2ab - 3b^2)=6ab - b^2 - 3a^2 - 6ab + 9b^2$
再合并同类项：$6ab-6ab=0$，$-b^2+9b^2=8b^2$，剩余项为$-3a^2$，最终得$8b^2 - 3a^2$。
(2) 先去括号，将-2乘进括号内每一项：
$(6a^2 + a - 6) - 2(3 - 2a + 3a^2)=6a^2 + a - 6 - 6 + 4a - 6a^2$
再合并同类项：$6a^2-6a^2=0$，$a+4a=5a$，$-6-6=-12$，最终得$5a - 12$。
第4题
(1) ①第一步是把-2分别乘括号内的两项，依据是乘法分配律；
②第二步去括号时，括号前是负号，括号内的$2x^2y$应该变为$-2x^2y$，但原式写成了$+2x^2y$，因此第二步开始出错，错误原因是括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号。
(2) 正确化简过程：
原式$=3x^2y + 2xy - (2xy + 2x^2y)$
$=3x^2y + 2xy - 2xy - 2x^2y$
$=x^2y$
代入$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{10}$计算：
原式$=(-1)^2 × (-\dfrac{1}{10}) = 1 × (-\dfrac{1}{10}) = -\dfrac{1}{10}$
【答案】
3. (1) $8b^2 - 3a^2$；(2) $5a - 12$
4. (1) ①乘法分配律；②二，括号前面是负号，去括号时没有改变括号中所有项的符号
(2) 化简结果为$x^2y$，代入求值结果为$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握乘法分配律、去括号及合并同类项的规则，就能避免常见的符号错误，为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
