登录
5. 如图，学校要利用围墙建一个长方形的自行车存车场，其他三面用护栏围起来，虚线部分为存车场的门(门亦是由护栏构成)。其中与围墙垂直的一边长为$(m + 4n)\mathrm{m}$，与围墙平行的一边的长(含门)比与围墙垂直的一边长$(m - n)\mathrm{m}$。
(1)与围墙平行的一边的长(含门)为
(2)求护栏的总长度。
(3)当$m = 32$，$n = 12$，护栏的售价为70元/m时，求建此存车场所需的费用。
(1)与围墙平行的一边的长(含门)为
$(2m+3n)$
$\mathrm{m}$。(用含$m$，$n$的式子表示)(2)求护栏的总长度。
(3)当$m = 32$，$n = 12$，护栏的售价为70元/m时，求建此存车场所需的费用。
答案
5. (1)$(2m+3n)$ 解析 依题意得$(m+4n)+(m-n)=(2m+3n)\mathrm{m}$。
(2)解 护栏的总长度为 $2(m + 4n)+(2m + 3n)=(4m + 11n)\mathrm{m}$。
(3)解 由(2)知，护栏的总长度是$(4m + 11n)\mathrm{m}$，则依题意得$(4× 32 + 11× 12)× 70=260× 70=18200$(元)。
所以当$m = 32$，$n = 12$，护栏的售价为70元/m时，建此存车场所需的费用是18200元。
(2)解 护栏的总长度为 $2(m + 4n)+(2m + 3n)=(4m + 11n)\mathrm{m}$。
(3)解 由(2)知，护栏的总长度是$(4m + 11n)\mathrm{m}$，则依题意得$(4× 32 + 11× 12)× 70=260× 70=18200$(元)。
所以当$m = 32$，$n = 12$，护栏的售价为70元/m时，建此存车场所需的费用是18200元。
解析
【分析】
第(1)问：已知与围墙垂直的边长为$(m + 4n)\mathrm{m}$，平行边比垂直边长$(m - n)\mathrm{m}$，直接将两个代数式相加，做整式加法运算即可得到平行边的长度。
第(2)问：存车场一面靠围墙，护栏需要围2个垂直边和1个平行边（门属于护栏，不需要扣除长度），因此总护栏长度为2倍垂直边长加平行边长，合并同类项化简即可。
第(3)问：先将$m=32$、$n=12$代入第(2)问得到的总长度代数式，算出护栏总长度，再乘每米护栏的售价，即可求出总费用。
【解析】
(1) 依题意，与围墙平行的边长（含门）为：
$(m+4n)+(m-n)=m+4n+m-n=2m+3n$（$\mathrm{m}$）
(2) 护栏总长度为2个垂直边长度加1个平行边长度：
$2(m+4n)+(2m+3n)=2m+8n+2m+3n=4m+11n$（$\mathrm{m}$）
(3) 把$m=32$，$n=12$代入$4m+11n$，计算护栏总长度：
$4×32 + 11×12 = 128 + 132 = 260$（$\mathrm{m}$）
总费用为：
$260×70 = 18200$（元）
【答案】
(1) $\boxed{2m+3n}$
(2) $\boxed{(4m+11n)\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{18200}$元
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是准确梳理各边长的数量关系，计算时要注意整式加减中合并同类项、去括号的规则，代入数值求值时要保证运算准确。
【难度系数】
0.8
第(1)问：已知与围墙垂直的边长为$(m + 4n)\mathrm{m}$，平行边比垂直边长$(m - n)\mathrm{m}$，直接将两个代数式相加，做整式加法运算即可得到平行边的长度。
第(2)问：存车场一面靠围墙，护栏需要围2个垂直边和1个平行边（门属于护栏，不需要扣除长度），因此总护栏长度为2倍垂直边长加平行边长，合并同类项化简即可。
第(3)问：先将$m=32$、$n=12$代入第(2)问得到的总长度代数式，算出护栏总长度，再乘每米护栏的售价，即可求出总费用。
【解析】
(1) 依题意，与围墙平行的边长（含门）为：
$(m+4n)+(m-n)=m+4n+m-n=2m+3n$（$\mathrm{m}$）
(2) 护栏总长度为2个垂直边长度加1个平行边长度：
$2(m+4n)+(2m+3n)=2m+8n+2m+3n=4m+11n$（$\mathrm{m}$）
(3) 把$m=32$，$n=12$代入$4m+11n$，计算护栏总长度：
$4×32 + 11×12 = 128 + 132 = 260$（$\mathrm{m}$）
总费用为：
$260×70 = 18200$（元）
【答案】
(1) $\boxed{2m+3n}$
(2) $\boxed{(4m+11n)\mathrm{m}}$
(3) $\boxed{18200}$元
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是准确梳理各边长的数量关系，计算时要注意整式加减中合并同类项、去括号的规则，代入数值求值时要保证运算准确。
【难度系数】
0.8
6. 在化简代数式 $3(4x^2 + 6xy) - ■(x^2 + xy - 2)$时，小明一不小心将墨水滴在了作业本上，使得$(x^2 + xy - 2)$前面的系数看不清了。于是小明打电话询问李老师。李老师为了测试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有$y$。”请你通过李老师的提示，帮小明解决以下问题。
(1)求■的值；
(2)求出该题的标准答案。
(1)求■的值；
(2)求出该题的标准答案。
答案
6. 解 (1)设看不清的系数为$a$。则$3(4x^2 + 6xy)-a(x^2 + xy - 2)=12x^2 + 18xy - ax^2 - axy + 2a=(12 - a)x^2 + (18 - a)xy + 2a$。因为该题标准答案的结果不含有$y$，所以$18 - a=0$，所以$a=18$。
(2)$3(4x^2 + 6xy)-18(x^2 + xy - 2)=12x^2 + 18xy - 18x^2 - 18xy + 36=-6x^2 + 36$。
(2)$3(4x^2 + 6xy)-18(x^2 + xy - 2)=12x^2 + 18xy - 18x^2 - 18xy + 36=-6x^2 + 36$。
解析
【分析】
解题思路如下：(1)先设看不清的系数为a，按照整式去括号法则展开原式，再合并同类项整理式子；题目说明结果不含y，即所有含y的项的系数为0，本题中含y的项只有xy项，因此令xy项的系数等于0，列方程即可求出■的值。(2)把第一问求出的系数代入原式，按整式加减运算法则化简，就能得到标准答案。
【解析】
(1) 设看不清的系数为$a$，对原式展开并合并同类项：
$\begin{split}3(4x^2 + 6xy)-a(x^2 + xy - 2)&=12x^2 + 18xy - ax^2 - axy + 2a\\&=(12 - a)x^2 + (18 - a)xy + 2a\end{split}$
因为化简结果不含有$y$，所以含$y$的项的系数为0，即：
$18 - a=0$
解得$a=18$，即■的值为18。
(2) 将$a=18$代入原式化简：
$\begin{split}3(4x^2 + 6xy)-18(x^2 + xy - 2)&=12x^2 + 18xy - 18x^2 - 18xy + 36\\&=-6x^2 + 36\end{split}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{-6x^2 + 36}$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、多项式系数应用
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，核心考点是“多项式不含某一项则该项的系数为0”，解题时先设未知系数，通过去括号、合并同类项整理式子，再根据条件列方程求解未知系数，最后代入化简即可，能有效考察对整式加减运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：(1)先设看不清的系数为a，按照整式去括号法则展开原式，再合并同类项整理式子；题目说明结果不含y，即所有含y的项的系数为0，本题中含y的项只有xy项，因此令xy项的系数等于0，列方程即可求出■的值。(2)把第一问求出的系数代入原式，按整式加减运算法则化简，就能得到标准答案。
【解析】
(1) 设看不清的系数为$a$，对原式展开并合并同类项：
$\begin{split}3(4x^2 + 6xy)-a(x^2 + xy - 2)&=12x^2 + 18xy - ax^2 - axy + 2a\\&=(12 - a)x^2 + (18 - a)xy + 2a\end{split}$
因为化简结果不含有$y$，所以含$y$的项的系数为0，即：
$18 - a=0$
解得$a=18$，即■的值为18。
(2) 将$a=18$代入原式化简：
$\begin{split}3(4x^2 + 6xy)-18(x^2 + xy - 2)&=12x^2 + 18xy - 18x^2 - 18xy + 36\\&=-6x^2 + 36\end{split}$
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{-6x^2 + 36}$
【知识点】
整式的加减、合并同类项、多项式系数应用
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，核心考点是“多项式不含某一项则该项的系数为0”，解题时先设未知系数，通过去括号、合并同类项整理式子，再根据条件列方程求解未知系数，最后代入化简即可，能有效考察对整式加减运算法则的掌握程度。
【难度系数】
0.75
