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3.已知抛物线$y=x^2+ax+b$与$x$轴交于$A(1,0),B(3,0)$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)填空:$a=$
(2)如图,已知点$E(\frac{5}{2},0)$,过点$E$的直线与抛物线交于点$M,N$,且点$M,N$关于点$E$对称,求直线$MN$的表达式.
(1)填空:$a=$
-4
, $b=$3
.(2)如图,已知点$E(\frac{5}{2},0)$,过点$E$的直线与抛物线交于点$M,N$,且点$M,N$关于点$E$对称,求直线$MN$的表达式.
答案
3.解:(1)$-4,3$.
(2)由(1)得抛物线解析式为$y=x^2 -4x +3$,设$M$,$N$的横坐标为$m$,$n$,直线$MN$过点$E(\frac{5}{2},0)$,
设直线$MN$的解析式为$y=k(x-\frac{5}{2})$,联立两个解析式并整理,得$x^2 -(4+k)x +(3+\frac{5}{2}k)=0$,则$m+n=4+k$,
∵点$M$,$N$关于点$E$对称,则$m+n=2×\frac{5}{2}=5$,
∴$k=1$,即直线$MN$的解析式为$y=x-\frac{5}{2}$.
(2)由(1)得抛物线解析式为$y=x^2 -4x +3$,设$M$,$N$的横坐标为$m$,$n$,直线$MN$过点$E(\frac{5}{2},0)$,
设直线$MN$的解析式为$y=k(x-\frac{5}{2})$,联立两个解析式并整理,得$x^2 -(4+k)x +(3+\frac{5}{2}k)=0$,则$m+n=4+k$,
∵点$M$,$N$关于点$E$对称,则$m+n=2×\frac{5}{2}=5$,
∴$k=1$,即直线$MN$的解析式为$y=x-\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
(2) 首先根据(1)的结果写出抛物线的完整解析式；因为直线MN过点E，可设直线MN的点斜式解析式，将其与抛物线解析式联立，得到关于x的一元二次方程；又因为M、N关于E对称，说明E是线段MN的中点，根据中点坐标性质，M、N两点的横坐标之和等于E点横坐标的2倍，再结合一元二次方程根与系数的关系求出直线的斜率k，即可得到直线MN的表达式。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=x^2+ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}1+a+b=0 \\9+3a+b=0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8+2a=0$，解得$a=-4$；
将$a=-4$代入$1+a+b=0$，得$1-4+b=0$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$。
设直线MN的解析式为$y=k(x-\frac{5}{2})$（$k≠0$），联立直线与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4x+3 \\y=k(x-\frac{5}{2})\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-(4+k)x+3+\frac{5}{2}k=0$
设M的横坐标为$m$，N的横坐标为$n$，根据根与系数的关系得$m+n=4+k$。
∵M、N关于点E对称，
∴E是MN中点，由中点性质得$\frac{m+n}{2}=\frac{5}{2}$，即$m+n=5$。
∴$4+k=5$，解得$k=1$，代入所设直线解析式得$y=x-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $-4$，$3$
(2) $y=x-\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数关系，中点坐标性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题核心是利用待定系数法结合方程思想求参数，同时结合对称的性质转化为中点坐标关系，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
(2) 首先根据(1)的结果写出抛物线的完整解析式；因为直线MN过点E，可设直线MN的点斜式解析式，将其与抛物线解析式联立，得到关于x的一元二次方程；又因为M、N关于E对称，说明E是线段MN的中点，根据中点坐标性质，M、N两点的横坐标之和等于E点横坐标的2倍，再结合一元二次方程根与系数的关系求出直线的斜率k，即可得到直线MN的表达式。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入抛物线$y=x^2+ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}1+a+b=0 \\9+3a+b=0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8+2a=0$，解得$a=-4$；
将$a=-4$代入$1+a+b=0$，得$1-4+b=0$，解得$b=3$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$。
设直线MN的解析式为$y=k(x-\frac{5}{2})$（$k≠0$），联立直线与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=x^2-4x+3 \\y=k(x-\frac{5}{2})\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2-(4+k)x+3+\frac{5}{2}k=0$
设M的横坐标为$m$，N的横坐标为$n$，根据根与系数的关系得$m+n=4+k$。
∵M、N关于点E对称，
∴E是MN中点，由中点性质得$\frac{m+n}{2}=\frac{5}{2}$，即$m+n=5$。
∴$4+k=5$，解得$k=1$，代入所设直线解析式得$y=x-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $-4$，$3$
(2) $y=x-\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数关系，中点坐标性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题核心是利用待定系数法结合方程思想求参数，同时结合对称的性质转化为中点坐标关系，考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,二次函数$y=(x-1)(x-a)$($a$为常数)的图象的对称轴为直线$x=2$.
(1)求$a$的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
(1)求$a$的值.
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
答案
4.解:(1)抛物线与$x$轴的交点坐标是$(1,0)$和$(a,0)$.
∵对称轴为直线$x=2$,
∴$\frac{1+a}{2}=2$,解得$a=3$.
(2)由(1)知,$a=3$,则该抛物线表达式是$y=x^2 -4x +3$,
∵抛物线向下平移3个单位后经过原点,
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是$y=x^2 -4x$.
∵对称轴为直线$x=2$,
∴$\frac{1+a}{2}=2$,解得$a=3$.
(2)由(1)知,$a=3$,则该抛物线表达式是$y=x^2 -4x +3$,
∵抛物线向下平移3个单位后经过原点,
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是$y=x^2 -4x$.
解析
【分析】
(1) 对于二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$，其与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。本题已知对称轴为$x=2$，交点横坐标分别为1和$a$，代入公式即可求出$a$的值。
(2) 先将$a$代入原解析式得到原函数的一般式，二次函数上下平移时仅常数项变化，遵循“上加下减”的规律。要使平移后图象过原点，将点$(0,0)$代入平移后的解析式即可求出平移距离，进而得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-1)(x-a)$与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(a,0)$，
∵抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴$\frac{1+a}{2}=2$，
解得$a=3$。
(2) 将$a=3$代入原解析式，得：
$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$，
设向下平移$m$个单位后图象过原点，平移后的解析式为$y=x^2-4x+3-m$，
把$(0,0)$代入上式，得$0=3-m$，解得$m=3$，
∴平移后图象对应的二次函数表达式为$y=x^2-4x$。
【答案】
(1) $a=3$；(2) $y=x^2-4x$
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数图象平移；二次函数解析式求解
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查交点式的性质和图象平移规律，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 对于二次函数交点式$y=(x-x_1)(x-x_2)$，其与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，对称轴为两点横坐标的平均值，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。本题已知对称轴为$x=2$，交点横坐标分别为1和$a$，代入公式即可求出$a$的值。
(2) 先将$a$代入原解析式得到原函数的一般式，二次函数上下平移时仅常数项变化，遵循“上加下减”的规律。要使平移后图象过原点，将点$(0,0)$代入平移后的解析式即可求出平移距离，进而得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-1)(x-a)$与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(a,0)$，
∵抛物线对称轴为直线$x=2$，
∴$\frac{1+a}{2}=2$，
解得$a=3$。
(2) 将$a=3$代入原解析式，得：
$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$，
设向下平移$m$个单位后图象过原点，平移后的解析式为$y=x^2-4x+3-m$，
把$(0,0)$代入上式，得$0=3-m$，解得$m=3$，
∴平移后图象对应的二次函数表达式为$y=x^2-4x$。
【答案】
(1) $a=3$；(2) $y=x^2-4x$
【知识点】
二次函数对称轴性质；二次函数图象平移；二次函数解析式求解
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查交点式的性质和图象平移规律，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
