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8.学校计划用200元钱购买A,B两种奖品(两种都要买),A种奖品每个15元,B种奖品每个25元,在钱全部用完的情况下,购买方案有（
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
A
）A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
8.A
解析
【分析】这是利用二元一次方程的正整数解解决实际方案类的问题，解题思路如下：第一步，设购买A、B两种奖品的数量分别为x个、y个，根据总花费列等式；第二步，化简方程，结合“两种都要买”的条件，明确x、y都是正整数；第三步，将方程变形为用一个未知数表示另一个的形式，根据整除要求筛选符合条件的正整数解，解的个数就是购买方案的数量。
【解析】设购买A种奖品x个，B种奖品y个，由两种都要买可知，x、y均为正整数。
根据总费用为200元可列方程：
$15x + 25y = 200$
两边同时除以5化简得：
$3x + 5y = 40$
将方程变形为用y表示x的形式：
$x=\frac{40-5y}{3}$
因为x是正整数，所以$40-5y$必须是3的正倍数，且$40-5y＞0$，即$y＜8$。
对y取1到7的正整数逐一验证：
y=1时，$x=\frac{35}{3}$，不是整数，舍去；
y=2时，$x=10$，符合要求；
y=3时，$x=\frac{25}{3}$，不是整数，舍去；
y=4时，$x=\frac{20}{3}$，不是整数，舍去；
y=5时，$x=5$，符合要求；
y=6时，$x=\frac{10}{3}$，不是整数，舍去；
y=7时，$x=\frac{5}{3}$，不是整数，舍去。
综上，符合条件的正整数解共有2组，对应2种购买方案。
【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用；正整数解求解
【点评】本题结合生活中的购物场景，考查列方程、结合实际限制条件求解正整数解的能力，解题时要注意“两种都要买”的隐含限制，避免出现某类奖品数量为0的无效解。
【难度系数】0.7
【解析】设购买A种奖品x个，B种奖品y个，由两种都要买可知，x、y均为正整数。
根据总费用为200元可列方程：
$15x + 25y = 200$
两边同时除以5化简得：
$3x + 5y = 40$
将方程变形为用y表示x的形式：
$x=\frac{40-5y}{3}$
因为x是正整数，所以$40-5y$必须是3的正倍数，且$40-5y＞0$，即$y＜8$。
对y取1到7的正整数逐一验证：
y=1时，$x=\frac{35}{3}$，不是整数，舍去；
y=2时，$x=10$，符合要求；
y=3时，$x=\frac{25}{3}$，不是整数，舍去；
y=4时，$x=\frac{20}{3}$，不是整数，舍去；
y=5时，$x=5$，符合要求；
y=6时，$x=\frac{10}{3}$，不是整数，舍去；
y=7时，$x=\frac{5}{3}$，不是整数，舍去。
综上，符合条件的正整数解共有2组，对应2种购买方案。
【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用；正整数解求解
【点评】本题结合生活中的购物场景，考查列方程、结合实际限制条件求解正整数解的能力，解题时要注意“两种都要买”的隐含限制，避免出现某类奖品数量为0的无效解。
【难度系数】0.7
9. 用图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成图2中竖式和横式两种无盖纸盒。现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，那么$m+n$的值可能是（
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
D
）A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案
9.D
解析
【分析】
首先明确两种无盖纸盒所需的正方形、长方形纸板数量：竖式无盖纸盒需要1张正方形纸板做底面、4张长方形纸板做侧面；横式无盖纸盒需要2张正方形纸板做底面、3张长方形纸板做侧面。设制作竖式纸盒x个，横式纸盒y个，分别表示出正方形纸板总数m和长方形纸板总数n，将两个表达式相加即可得到m+n的表达式，判断其倍数特征，再对应选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
设制作竖式无盖纸盒$x$个，横式无盖纸盒$y$个。
根据正方形纸板总数可得：$m = x + 2y$ ①
根据长方形纸板总数可得：$n = 4x + 3y$ ②
将①+②得：$m + n = (x+2y)+(4x+3y) = 5x + 5y = 5(x+y)$
因为$x$、$y$均为正整数，所以$m+n$是5的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $2022÷5=404······2$，不是5的倍数，不符合；
B. $2023÷5=404······3$，不是5的倍数，不符合；
C. $2024÷5=404······4$，不是5的倍数，不符合；
D. $2025÷5=405$，是5的倍数，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程应用，整数倍数特征
【点评】
本题属于方案配比类问题，解题核心是通过设未知数建立纸板数量的关系式，利用整体思想得到$m+n$的倍数特征，不需要单独求解未知数的取值，能有效考查学生的逻辑分析能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.65
首先明确两种无盖纸盒所需的正方形、长方形纸板数量：竖式无盖纸盒需要1张正方形纸板做底面、4张长方形纸板做侧面；横式无盖纸盒需要2张正方形纸板做底面、3张长方形纸板做侧面。设制作竖式纸盒x个，横式纸盒y个，分别表示出正方形纸板总数m和长方形纸板总数n，将两个表达式相加即可得到m+n的表达式，判断其倍数特征，再对应选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
设制作竖式无盖纸盒$x$个，横式无盖纸盒$y$个。
根据正方形纸板总数可得：$m = x + 2y$ ①
根据长方形纸板总数可得：$n = 4x + 3y$ ②
将①+②得：$m + n = (x+2y)+(4x+3y) = 5x + 5y = 5(x+y)$
因为$x$、$y$均为正整数，所以$m+n$是5的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $2022÷5=404······2$，不是5的倍数，不符合；
B. $2023÷5=404······3$，不是5的倍数，不符合；
C. $2024÷5=404······4$，不是5的倍数，不符合；
D. $2025÷5=405$，是5的倍数，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程应用，整数倍数特征
【点评】
本题属于方案配比类问题，解题核心是通过设未知数建立纸板数量的关系式，利用整体思想得到$m+n$的倍数特征，不需要单独求解未知数的取值，能有效考查学生的逻辑分析能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.65
10. 甲、乙两厂生产同一种水泥，都计划把全年生产的水泥销往A市，这样两厂的水泥就能占A市市场同类水泥需求量的$\frac{4}{5}$。然而实际情况并不理想，甲厂仅有$\frac{1}{2}$的水泥、乙厂仅有$\frac{2}{3}$的水泥销往A市，两厂的水泥仅占了A市市场同类水泥需求量的$\frac{1}{2}$。求甲厂该水泥的年产量与乙厂该水泥的年产量的比。
答案
10. 设甲厂该水泥的年产量为x,乙厂该水泥的年产量为y.
根据题意,得$(x + y) ÷ \frac{4}{5} = (\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y) ÷ \frac{1}{2}$,
整理得$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$.
答:甲厂该水泥的年产量与乙厂该水泥的年产量的比为1:3.
根据题意,得$(x + y) ÷ \frac{4}{5} = (\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y) ÷ \frac{1}{2}$,
整理得$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$.
答:甲厂该水泥的年产量与乙厂该水泥的年产量的比为1:3.
解析
【分析】
这是一道物资配比类应用题，要求甲、乙两厂年产量的比，我们可先分别设甲、乙两厂的年产量为未知数，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系：A市市场同类水泥的总需求量是固定的，不管是计划销售情况还是实际销售情况，都可以用两厂销往A市的水泥量除以对应占比表示出A市的总需求量，让两个表达式相等即可列出方程，再通过等式变形求出两个未知数的比值。
【解析】
设甲厂该水泥的年产量为$x$，乙厂该水泥的年产量为$y$。
根据A市市场需求量不变，列等式：
$(x + y) ÷ \frac{4}{5} = (\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y) ÷ \frac{1}{2}$
化简等式两边：
左边为$\frac{5(x+y)}{4}$，右边为$\frac{3x+4y}{3}$
交叉相乘得：$15(x + y) = 4(3x + 4y)$
展开得：$15x + 15y = 12x + 16y$
移项合并同类项得：$3x = y$
两边同时除以$3y$得：$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$，即$x:y=1:3$
【答案】
$1:3$
【知识点】
列方程解应用题；比例计算；等式变形
【点评】
本题是典型的配比类应用题，解题的关键是挖掘出“A市市场需求量不变”这一隐含等量关系，不需要求解未知数的具体值，通过等式变形直接得到两厂年产量的比值，能够有效考查学生的题意理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
这是一道物资配比类应用题，要求甲、乙两厂年产量的比，我们可先分别设甲、乙两厂的年产量为未知数，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系：A市市场同类水泥的总需求量是固定的，不管是计划销售情况还是实际销售情况，都可以用两厂销往A市的水泥量除以对应占比表示出A市的总需求量，让两个表达式相等即可列出方程，再通过等式变形求出两个未知数的比值。
【解析】
设甲厂该水泥的年产量为$x$，乙厂该水泥的年产量为$y$。
根据A市市场需求量不变，列等式：
$(x + y) ÷ \frac{4}{5} = (\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}y) ÷ \frac{1}{2}$
化简等式两边：
左边为$\frac{5(x+y)}{4}$，右边为$\frac{3x+4y}{3}$
交叉相乘得：$15(x + y) = 4(3x + 4y)$
展开得：$15x + 15y = 12x + 16y$
移项合并同类项得：$3x = y$
两边同时除以$3y$得：$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$，即$x:y=1:3$
【答案】
$1:3$
【知识点】
列方程解应用题；比例计算；等式变形
【点评】
本题是典型的配比类应用题，解题的关键是挖掘出“A市市场需求量不变”这一隐含等量关系，不需要求解未知数的具体值，通过等式变形直接得到两厂年产量的比值，能够有效考查学生的题意理解能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
11.用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18 t;用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11 t.某物流公司现有27 t货物,计划两种车型都要租,其中A型车a辆,B型车b辆,要求一次运完,且每辆车都恰好载满货物.
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可运货多少吨?
(2)若A型车每辆租金为100元/次,B型车每辆租金为120元/次,请你帮物流公司设计一种租车费用最少的方案,并求出此时的租车费用.
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次分别可运货多少吨?
(2)若A型车每辆租金为100元/次,B型车每辆租金为120元/次,请你帮物流公司设计一种租车费用最少的方案,并求出此时的租车费用.
答案
11. (1)1辆A型车载满货物一次可运货3 t,1辆B型车载满货物一次可运货4 t.
(2)根据题意,得3a + 4b = 27,整理,得$a = 9 - \frac{4}{3}b$.
因为a,b为正整数,所以$\begin{cases} a=5, \\ b=3 \end{cases}$或$\begin{cases} a=1, \\ b=6. \end{cases}$
当a=5,b=3时,租车费用为100×5 + 120×3 = 860(元);
当a=1,b=6时,租车费用为100×1 + 120×6 = 820(元).
860＞820.
答:物流公司租用1辆A型车,6辆B型车,租车费用最少,此时租车费用为820元.
(2)根据题意,得3a + 4b = 27,整理,得$a = 9 - \frac{4}{3}b$.
因为a,b为正整数,所以$\begin{cases} a=5, \\ b=3 \end{cases}$或$\begin{cases} a=1, \\ b=6. \end{cases}$
当a=5,b=3时,租车费用为100×5 + 120×3 = 860(元);
当a=1,b=6时,租车费用为100×1 + 120×6 = 820(元).
860＞820.
答:物流公司租用1辆A型车,6辆B型车,租车费用最少,此时租车费用为820元.
解析
【分析】
(1) 本题有两个未知量，即1辆A型车和1辆B型车的单次运货量，可设两个未知数，结合题目给出的两组运货总量的等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问求最省钱的租车方案，首先结合第一问求出的单车载重量和总货物质量，列出关于a、b的二元一次方程；再根据“两种车型都要租”的要求，可知a、b均为正整数，据此找出方程的所有正整数解；最后分别计算每组解对应的租车费用，比较大小就能得到费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货$x$ t，1辆B型车载满货物一次可运货$y$ t。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 18 \\ x + 2y = 11\end{cases}$
由第二个方程得$x=11-2y$，代入第一个方程：
$2(11-2y)+3y=18$
$22-4y+3y=18$
解得$y=4$，将$y=4$代入$x=11-2y$，得$x=3$。
(2) 根据总运货量为27t，可得方程：$3a+4b=27$
整理得：$a=9-\frac{4}{3}b$
因为a、b均为正整数，所以$\frac{4}{3}b$必须为正整数，且$a＞0$，即$9-\frac{4}{3}b＞0$，解得$b＜6.75$，因此b只能取3的正整数倍：
当$b=3$时，$a=9-\frac{4}{3}×3=5$，符合要求；
当$b=6$时，$a=9-\frac{4}{3}×6=1$，符合要求。
分别计算两种方案的租车费用：
当$a=5,b=3$时，费用为$100×5+120×3=860$元；
当$a=1,b=6$时，费用为$100×1+120×6=820$元。
因为$860＞820$，所以租用1辆A型车、6辆B型车费用更低。
【答案】
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3 t,1辆B型车载满货物一次可运货4 t.
(2)租用1辆A型车，6辆B型车时租车费用最少，此时租车费用为820元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是常见的生活实际应用问题，第一问侧重考察列方程组解应用题的基础能力，第二问需要结合实际场景提取正整数的隐含条件，找出所有可行方案后比较得最优解，能有效锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题有两个未知量，即1辆A型车和1辆B型车的单次运货量，可设两个未知数，结合题目给出的两组运货总量的等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问求最省钱的租车方案，首先结合第一问求出的单车载重量和总货物质量，列出关于a、b的二元一次方程；再根据“两种车型都要租”的要求，可知a、b均为正整数，据此找出方程的所有正整数解；最后分别计算每组解对应的租车费用，比较大小就能得到费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货$x$ t，1辆B型车载满货物一次可运货$y$ t。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 18 \\ x + 2y = 11\end{cases}$
由第二个方程得$x=11-2y$，代入第一个方程：
$2(11-2y)+3y=18$
$22-4y+3y=18$
解得$y=4$，将$y=4$代入$x=11-2y$，得$x=3$。
(2) 根据总运货量为27t，可得方程：$3a+4b=27$
整理得：$a=9-\frac{4}{3}b$
因为a、b均为正整数，所以$\frac{4}{3}b$必须为正整数，且$a＞0$，即$9-\frac{4}{3}b＞0$，解得$b＜6.75$，因此b只能取3的正整数倍：
当$b=3$时，$a=9-\frac{4}{3}×3=5$，符合要求；
当$b=6$时，$a=9-\frac{4}{3}×6=1$，符合要求。
分别计算两种方案的租车费用：
当$a=5,b=3$时，费用为$100×5+120×3=860$元；
当$a=1,b=6$时，费用为$100×1+120×6=820$元。
因为$860＞820$，所以租用1辆A型车、6辆B型车费用更低。
【答案】
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3 t,1辆B型车载满货物一次可运货4 t.
(2)租用1辆A型车，6辆B型车时租车费用最少，此时租车费用为820元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是常见的生活实际应用问题，第一问侧重考察列方程组解应用题的基础能力，第二问需要结合实际场景提取正整数的隐含条件，找出所有可行方案后比较得最优解，能有效锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
