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7. 已知$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$，且满足$a^2 + 2b^2 - 2b(a + c) + c^2 = 0$，判断此三角形的形状为（
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
D
）A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
7. D
解析
【分析】
本题已知三角形三边满足的等式，需要判断三角形形状，解题核心是利用完全平方公式对等式变形。首先将等式展开整理后，分组凑完全平方形式，再根据平方数的非负性，几个非负数相加和为0则每个非负数都为0，即可推出三边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
先对已知等式变形：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 - 2b(a + c) + c^2 &= 0\\a^2 + 2b^2 - 2ab - 2bc + c^2 &= 0\\(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) &= 0\\(a - b)^2 + (b - c)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数相加和为0，只能是各自都为0：
$\therefore a - b = 0$，$b - c = 0$
即$a = b$，$b = c$，可得$a = b = c$
因此$△ ABC$是等边三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式分解因式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是判断三角形形状的典型题型，解题关键是对给出的三边等式合理分组，利用完全平方公式因式分解，再结合非负数的性质得到三边的等量关系，重在考察因式分解的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形三边满足的等式，需要判断三角形形状，解题核心是利用完全平方公式对等式变形。首先将等式展开整理后，分组凑完全平方形式，再根据平方数的非负性，几个非负数相加和为0则每个非负数都为0，即可推出三边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
先对已知等式变形：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 - 2b(a + c) + c^2 &= 0\\a^2 + 2b^2 - 2ab - 2bc + c^2 &= 0\\(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) &= 0\\(a - b)^2 + (b - c)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数相加和为0，只能是各自都为0：
$\therefore a - b = 0$，$b - c = 0$
即$a = b$，$b = c$，可得$a = b = c$
因此$△ ABC$是等边三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式分解因式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是判断三角形形状的典型题型，解题关键是对给出的三边等式合理分组，利用完全平方公式因式分解，再结合非负数的性质得到三边的等量关系，重在考察因式分解的灵活运用。
【难度系数】
0.7
8. 若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,求$m,n$的值.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$(m^2 -2mn +n^2)+(\_\_\_\_\_\_)=0$,
即$(\_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)^2=0$,
根据非负数的性质,得
$m=n=\_\_\_\_\_\_$.
补全上述解答过程,并解答下面的问题.
设等腰三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,求$△ ABC$的周长.
解:∵ $m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$(m^2 -2mn +n^2)+(\_\_\_\_\_\_)=0$,
即$(\_\_\_\_\_\_)^2 + (\_\_\_\_\_\_)^2=0$,
根据非负数的性质,得
$m=n=\_\_\_\_\_\_$.
补全上述解答过程,并解答下面的问题.
设等腰三角形$ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,求$△ ABC$的周长.
答案
8. $n^2-8n+16$ $m-n$ $n-4$ 4
$△ ABC$的周长是7或8.
$△ ABC$的周长是7或8.
解析
【分析】
第一部分补全解题过程需用到配方法，观察原式中$2n^2$可拆分为$n^2+n^2$，将原式分组为两个完全平方式的和，利用“若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质即可求出$m$、$n$的值。第二部分求三角形周长，首先对给定的含$a$、$b$的等式用同样的配方法变形，求出$a$、$b$的值，再结合等腰三角形腰长相等的性质分两种情况讨论，最后验证每组边长是否符合三角形三边关系，计算对应周长即可。
【解析】
补全解答过程：
$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
将$2n^2$拆分为$n^2+n^2$，分组得：
$(m^2 -2mn +n^2)+(n^2-8n+16)=0$，
根据完全平方公式，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\because$平方数是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，
$\therefore m-n=0$，$n-4=0$，解得$n=4$，$m=n=4$。
求解$△ ABC$的周长：
已知$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，
将13拆分为$4+9$，分组配方得：
$(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)=0$，
即$(a-2)^2 + (b-3)^2=0$，
根据非负数的性质得：$a-2=0$，$b-3=0$，
$\therefore a=2$，$b=3$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，三边长为$a,b,c$，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，则三边长为2、2、3，$\because 2+2＞3$，满足三角形三边关系，周长为$2+2+3=7$；
2. 若腰长为3，则三边长为3、3、2，$\because 2+3＞3$，满足三角形三边关系，周长为$3+3+2=8$。
【答案】
补全的空依次为：$\boldsymbol{n^2-8n+16}$；$\boldsymbol{m-n}$；$\boldsymbol{n-4}$；$\boldsymbol{4}$；$△ ABC$的周长是$\boldsymbol{7或8}$。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，在计算等腰三角形周长时要注意分类讨论腰长的两种情况，同时必须验证三边是否符合三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
第一部分补全解题过程需用到配方法，观察原式中$2n^2$可拆分为$n^2+n^2$，将原式分组为两个完全平方式的和，利用“若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质即可求出$m$、$n$的值。第二部分求三角形周长，首先对给定的含$a$、$b$的等式用同样的配方法变形，求出$a$、$b$的值，再结合等腰三角形腰长相等的性质分两种情况讨论，最后验证每组边长是否符合三角形三边关系，计算对应周长即可。
【解析】
补全解答过程：
$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
将$2n^2$拆分为$n^2+n^2$，分组得：
$(m^2 -2mn +n^2)+(n^2-8n+16)=0$，
根据完全平方公式，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\because$平方数是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，
$\therefore m-n=0$，$n-4=0$，解得$n=4$，$m=n=4$。
求解$△ ABC$的周长：
已知$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，
将13拆分为$4+9$，分组配方得：
$(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)=0$，
即$(a-2)^2 + (b-3)^2=0$，
根据非负数的性质得：$a-2=0$，$b-3=0$，
$\therefore a=2$，$b=3$。
$\because △ ABC$是等腰三角形，三边长为$a,b,c$，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，则三边长为2、2、3，$\because 2+2＞3$，满足三角形三边关系，周长为$2+2+3=7$；
2. 若腰长为3，则三边长为3、3、2，$\because 2+3＞3$，满足三角形三边关系，周长为$3+3+2=8$。
【答案】
补全的空依次为：$\boldsymbol{n^2-8n+16}$；$\boldsymbol{m-n}$；$\boldsymbol{n-4}$；$\boldsymbol{4}$；$△ ABC$的周长是$\boldsymbol{7或8}$。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题核心考查配方法的灵活运用，解题时需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，在计算等腰三角形周长时要注意分类讨论腰长的两种情况，同时必须验证三边是否符合三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形.
(1)用含字母a,b的代数式表示图①中阴影部分的面积为________（写成平方差的形式）；
(2)将图①的阴影部分沿斜线剪开后,拼成了一个如图②所示的长方形,用含字母a,b的代数式表示此长方形的面积为________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较(1)(2)的结果,请你写出一个非常熟悉的乘法公式:________；
(4)①结合(3)的公式,计算:$120^2 - 118×122$；
②结合(3)的公式,先计算下面这个算式(用乘方的形式表示结果),并直接写出这个结果的个位数字:$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×…×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1$.
(1)用含字母a,b的代数式表示图①中阴影部分的面积为________（写成平方差的形式）；
(2)将图①的阴影部分沿斜线剪开后,拼成了一个如图②所示的长方形,用含字母a,b的代数式表示此长方形的面积为________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较(1)(2)的结果,请你写出一个非常熟悉的乘法公式:________；
(4)①结合(3)的公式,计算:$120^2 - 118×122$；
②结合(3)的公式,先计算下面这个算式(用乘方的形式表示结果),并直接写出这个结果的个位数字:$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×…×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1$.
答案
9. (1)$a^2-b^2$
(2)$(a+b)(a-b)$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(4)①4 ②$2^{64}$ 6
(2)$(a+b)(a-b)$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(4)①4 ②$2^{64}$ 6
解析
【分析】
本题围绕平方差公式的推导与应用展开：(1)求阴影面积可直接用大正方形面积减去空白小正方形面积；(2)先确定拼成的长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算；(3)根据两图阴影面积相等，即可得到对应的乘法公式；(4)①将$118×122$变形为符合平方差公式的形式，代入计算简化运算；②给原式前面乘$(2-1)$（数值为1，不改变原式结果），反复运用平方差公式即可化简，再根据2的幂次的个位循环规律求个位数字。
【解析】
(1) 图①中，大正方形面积为$a^2$，空白小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$。
(2) 观察拼成的长方形，可知长为$a+b$，宽为$a-b$，因此长方形面积 = 长×宽 = $(a+b)(a-b)$。
(3) 由于两图阴影部分面积相等，因此可得乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) ① 先对$118×122$变形：$118=120-2$，$122=120+2$，根据平方差公式得：
$118×122=(120-2)(120+2)=120^2 - 2^2=120^2 - 4$
代入原式：
$120^2 - 118×122=120^2 - (120^2 - 4)=4$
② 在原式前乘$(2-1)=1$，不改变原式结果，依次运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&\dots\\&=2^{64}-1+1\\&=2^{64}\end{aligned}$
求$2^{64}$的个位数字：2的幂次的个位按2、4、8、6循环，周期为4，$64÷4=16$，无余数，因此个位数字为循环的最后一个数6。
【答案】
(1)$a^2-b^2$
(2)$(a+b)(a-b)$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(4)①$4$；②$2^{64}$，个位数字为$6$
【知识点】
平方差公式，面积法推导公式，平方差公式巧算
【点评】
本题通过几何图形的面积推导平方差公式，再延伸到公式的实际应用，既考查了数形结合的思想，也考查了对公式的灵活运用能力，巧算部分需掌握构造平方差公式的技巧，是一道兼顾基础和拓展的典型题。
【难度系数】
0.7
本题围绕平方差公式的推导与应用展开：(1)求阴影面积可直接用大正方形面积减去空白小正方形面积；(2)先确定拼成的长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算；(3)根据两图阴影面积相等，即可得到对应的乘法公式；(4)①将$118×122$变形为符合平方差公式的形式，代入计算简化运算；②给原式前面乘$(2-1)$（数值为1，不改变原式结果），反复运用平方差公式即可化简，再根据2的幂次的个位循环规律求个位数字。
【解析】
(1) 图①中，大正方形面积为$a^2$，空白小正方形面积为$b^2$，因此阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = $a^2 - b^2$。
(2) 观察拼成的长方形，可知长为$a+b$，宽为$a-b$，因此长方形面积 = 长×宽 = $(a+b)(a-b)$。
(3) 由于两图阴影部分面积相等，因此可得乘法公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(4) ① 先对$118×122$变形：$118=120-2$，$122=120+2$，根据平方差公式得：
$118×122=(120-2)(120+2)=120^2 - 2^2=120^2 - 4$
代入原式：
$120^2 - 118×122=120^2 - (120^2 - 4)=4$
② 在原式前乘$(2-1)=1$，不改变原式结果，依次运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&=(2^4-1)(2^4+1)\dots(2^{32}+1)+1\\&\dots\\&=2^{64}-1+1\\&=2^{64}\end{aligned}$
求$2^{64}$的个位数字：2的幂次的个位按2、4、8、6循环，周期为4，$64÷4=16$，无余数，因此个位数字为循环的最后一个数6。
【答案】
(1)$a^2-b^2$
(2)$(a+b)(a-b)$
(3)$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
(4)①$4$；②$2^{64}$，个位数字为$6$
【知识点】
平方差公式，面积法推导公式，平方差公式巧算
【点评】
本题通过几何图形的面积推导平方差公式，再延伸到公式的实际应用，既考查了数形结合的思想，也考查了对公式的灵活运用能力，巧算部分需掌握构造平方差公式的技巧，是一道兼顾基础和拓展的典型题。
【难度系数】
0.7
