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11. 下列说法中，正确的有 （
①一个有理数，不是正数就是负数；②若a是正数，则－a一定是负数；③自然数一定是正数；④整数包括正整数和负整数；⑤非正数就是负数和0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①一个有理数，不是正数就是负数；②若a是正数，则－a一定是负数；③自然数一定是正数；④整数包括正整数和负整数；⑤非正数就是负数和0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
11.B
解析
【分析】
本题考查有理数、整数、自然数、非正数等数的分类相关基础概念，解题思路是逐个对5个说法结合对应概念的定义判断正误，最后统计正确说法的数量即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析每个说法：
①有理数包括正有理数、负有理数和0，因此一个有理数除了正数、负数外还有0，该说法错误；
②正数的相反数是负数，若a是正数，则-a是a的相反数，一定是负数，该说法正确；
③自然数包含0和正整数，0不是正数，因此自然数不一定是正数，该说法错误；
④整数包括正整数、0和负整数，选项遗漏了0，该说法错误；
⑤非正数指小于等于0的数，即负数和0，该说法正确。
综上，正确的说法是②和⑤，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类，相反数，非正数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略0在各类数的分类中的归属，做题时要牢记0的特殊性，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数、整数、自然数、非正数等数的分类相关基础概念，解题思路是逐个对5个说法结合对应概念的定义判断正误，最后统计正确说法的数量即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析每个说法：
①有理数包括正有理数、负有理数和0，因此一个有理数除了正数、负数外还有0，该说法错误；
②正数的相反数是负数，若a是正数，则-a是a的相反数，一定是负数，该说法正确；
③自然数包含0和正整数，0不是正数，因此自然数不一定是正数，该说法错误；
④整数包括正整数、0和负整数，选项遗漏了0，该说法错误；
⑤非正数指小于等于0的数，即负数和0，该说法正确。
综上，正确的说法是②和⑤，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类，相反数，非正数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略0在各类数的分类中的归属，做题时要牢记0的特殊性，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
12.在体育课的跳远比赛中，以1.80 m为标准，若小涵跳出了2.00 m，可记作+0.20 m，则小文跳出了1.77 m，应记作（
A.－0.03 m
B.＋0.03 m
C.＋1.87 m
D.－1.87 m
A
）A.－0.03 m
B.＋0.03 m
C.＋1.87 m
D.－1.87 m
答案
12.A
解析
【分析】
本题考查正负数的实际应用，解题思路如下：首先明确题目中的标准量是1.80m，规则是超过标准的部分记为正，那么低于标准的部分自然记为负；接下来只需要计算小文的跳远成绩和标准量的差值，根据差值的正负就能确定对应的记法。
【解析】
解：已知跳远比赛以1.80m为标准，超出标准的部分记为正，不足标准的部分记为负。
小文跳出了1.77m，计算其与标准量的差值：
$1.77 - 1.80 = -0.03\ \mathrm{m}$
因此小文的成绩应记作-0.03m，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正负数的意义；有理数的减法
【点评】
本题结合体育比赛场景考查正负数的应用，解题核心是理解“正”和“负”的相对性，明确一对相反意义的量的规定，计算难度很低，只要掌握规则即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查正负数的实际应用，解题思路如下：首先明确题目中的标准量是1.80m，规则是超过标准的部分记为正，那么低于标准的部分自然记为负；接下来只需要计算小文的跳远成绩和标准量的差值，根据差值的正负就能确定对应的记法。
【解析】
解：已知跳远比赛以1.80m为标准，超出标准的部分记为正，不足标准的部分记为负。
小文跳出了1.77m，计算其与标准量的差值：
$1.77 - 1.80 = -0.03\ \mathrm{m}$
因此小文的成绩应记作-0.03m，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正负数的意义；有理数的减法
【点评】
本题结合体育比赛场景考查正负数的应用，解题核心是理解“正”和“负”的相对性，明确一对相反意义的量的规定，计算难度很低，只要掌握规则即可得分。
【难度系数】
0.9
13. 在有理数 $3.14, 3, -\frac{1}{2}, 0, +0.003, -3\frac{1}{3}, -104, 6005$ 中，负分数的个数为 $x$，正整数的个数为 $y$，则 $x+y$ 的值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
13.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确负分数和正整数的定义，解题分三步：第一步先回忆有理数的分类标准，明确负分数是小于0的分数（包含负的有限小数、负的无限循环小数、负的分数形式的数），正整数是大于0的整数；第二步逐个判断给出的有理数所属类型，分别统计出负分数的个数x和正整数的个数y；第三步计算x+y的值，对应选出正确选项即可。
【解析】
逐个分析题干给出的有理数：
1. $3.14$：是正有限小数，属于正分数；
2. $3$：是大于0的整数，属于正整数；
3. $-\frac{1}{2}$：是小于0的分数，属于负分数；
4. $0$：既不是正数也不是负数，属于整数；
5. $+0.003$：是正有限小数，属于正分数；
6. $-3\frac{1}{3}$：是小于0的分数，属于负分数；
7. $-104$：是小于0的整数，属于负整数；
8. $6005$：是大于0的整数，属于正整数。
由此可得负分数的个数$x=2$，正整数的个数$y=2$，所以$x+y=2+2=4$。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；负分数的定义；正整数的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确区分不同类型的有理数，需要注意有限小数和无限循环小数都归为分数类，0既不属于正数也不属于负数，避免分类时混淆概念导致计数错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确负分数和正整数的定义，解题分三步：第一步先回忆有理数的分类标准，明确负分数是小于0的分数（包含负的有限小数、负的无限循环小数、负的分数形式的数），正整数是大于0的整数；第二步逐个判断给出的有理数所属类型，分别统计出负分数的个数x和正整数的个数y；第三步计算x+y的值，对应选出正确选项即可。
【解析】
逐个分析题干给出的有理数：
1. $3.14$：是正有限小数，属于正分数；
2. $3$：是大于0的整数，属于正整数；
3. $-\frac{1}{2}$：是小于0的分数，属于负分数；
4. $0$：既不是正数也不是负数，属于整数；
5. $+0.003$：是正有限小数，属于正分数；
6. $-3\frac{1}{3}$：是小于0的分数，属于负分数；
7. $-104$：是小于0的整数，属于负整数；
8. $6005$：是大于0的整数，属于正整数。
由此可得负分数的个数$x=2$，正整数的个数$y=2$，所以$x+y=2+2=4$。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；负分数的定义；正整数的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确区分不同类型的有理数，需要注意有限小数和无限循环小数都归为分数类，0既不属于正数也不属于负数，避免分类时混淆概念导致计数错误。
【难度系数】
0.8
14.把下列各数分别填入相应的集合里：
$-18,3.1416,0,2.001,-\frac{3}{5},-0.142857,95\%$.
整数集合:$\{\dots\}$.
正分数集合:$\{\dots\}$.
负分数集合:$\{\dots\}$.
非正数集合:$\{\dots\}$.
非负数集合:$\{\dots\}$.
$-18,3.1416,0,2.001,-\frac{3}{5},-0.142857,95\%$.
整数集合:$\{\dots\}$.
正分数集合:$\{\dots\}$.
负分数集合:$\{\dots\}$.
非正数集合:$\{\dots\}$.
非负数集合:$\{\dots\}$.
答案
14.整数集合:$\{-18,0\ \dots\}$
正分数集合:$\{3.1416,2.001,95\%\ \dots\}$
负分数集合:$\{-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非正数集合:$\{-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非负数集合:$\{3.1416,0,2.001,95\%\ \dots\}$
正分数集合:$\{3.1416,2.001,95\%\ \dots\}$
负分数集合:$\{-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非正数集合:$\{-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非负数集合:$\{3.1416,0,2.001,95\%\ \dots\}$
解析
【分析】
解题前首先明确各类集合的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②分数包含正分数和负分数，有限小数、百分数都可以转化为分数形式，属于分数范畴；③非正数指小于等于0的数，包含0和所有负数；④非负数指大于等于0的数，包含0和所有正数。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可，尤其注意0的归属，它既是整数，也同时属于非正数和非负数。
【解析】
先列出所有待分类的数：$-18,3.1416,0,2.001,-\frac{3}{5},-0.142857,95\%$
1. 整数判断：$-18$是负整数，$0$是整数，其余数均不属于整数，因此整数集合填入这两个数；
2. 正分数判断：大于0的分数即为正分数，$3.1416$、$2.001$是正有限小数，$95\%=\frac{95}{100}$是正的百分数，三者都属于正分数；
3. 负分数判断：小于0的分数即为负分数，$-\frac{3}{5}$是负分数，$-0.142857$是负有限小数，二者都属于负分数；
4. 非正数判断：筛选所有≤0的数，即$-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857$；
5. 非负数判断：筛选所有≥0的数，即$3.1416,0,2.001,95\%$。
【答案】
整数集合:$\{-18,0\ \dots\}$
正分数集合:$\{3.1416,2.001,95\%\ \dots\}$
负分数集合:$\{-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非正数集合:$\{-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非负数集合:$\{3.1416,0,2.001,95\%\ \dots\}$
【知识点】
有理数的分类；整数与分数的定义；非正/非负数的概念
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握不同类型数的定义，要注意0的特殊性，以及有限小数、百分数属于分数的范畴，分类时要做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确各类集合的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②分数包含正分数和负分数，有限小数、百分数都可以转化为分数形式，属于分数范畴；③非正数指小于等于0的数，包含0和所有负数；④非负数指大于等于0的数，包含0和所有正数。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可，尤其注意0的归属，它既是整数，也同时属于非正数和非负数。
【解析】
先列出所有待分类的数：$-18,3.1416,0,2.001,-\frac{3}{5},-0.142857,95\%$
1. 整数判断：$-18$是负整数，$0$是整数，其余数均不属于整数，因此整数集合填入这两个数；
2. 正分数判断：大于0的分数即为正分数，$3.1416$、$2.001$是正有限小数，$95\%=\frac{95}{100}$是正的百分数，三者都属于正分数；
3. 负分数判断：小于0的分数即为负分数，$-\frac{3}{5}$是负分数，$-0.142857$是负有限小数，二者都属于负分数；
4. 非正数判断：筛选所有≤0的数，即$-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857$；
5. 非负数判断：筛选所有≥0的数，即$3.1416,0,2.001,95\%$。
【答案】
整数集合:$\{-18,0\ \dots\}$
正分数集合:$\{3.1416,2.001,95\%\ \dots\}$
负分数集合:$\{-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非正数集合:$\{-18,0,-\frac{3}{5},-0.142857\ \dots\}$
非负数集合:$\{3.1416,0,2.001,95\%\ \dots\}$
【知识点】
有理数的分类；整数与分数的定义；非正/非负数的概念
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握不同类型数的定义，要注意0的特殊性，以及有限小数、百分数属于分数的范畴，分类时要做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.85
15.某天10时、12时、14时、16时的气温如图所示.记12时的时间为0,12时以后的时间为正,请用正数和负数表示余下的三个时间及其气温,并填入下表.
时间/时
气温/℃
时间/时
−2
0 +2
+4
气温/℃
12
14 16
15
答案
15.−2 +2 +4 12 16 15
解析
【分析】
解题首先要明确题中正负数的规定：以12时为基准记为0，12时之后的时间记为正，那么12时之前的时间就记为负。第一步先计算其余三个时间和12时的时间差，得到对应的时间表示；第二步正确读取每个时刻温度计的示数，对应填入气温栏即可。
【解析】
1. 计算各时间的表示：
10时比12时早2小时，所以记为$\boldsymbol{-2}$；
14时比12时晚2小时，所以记为$\boldsymbol{+2}$；
16时比12时晚4小时，所以记为$\boldsymbol{+4}$。
2. 读取温度计示数：
10时温度计液柱顶端对齐$12° C$，所以气温为$\boldsymbol{12° C}$；
14时温度计液柱顶端对齐$16° C$，所以气温为$\boldsymbol{16° C}$；
16时温度计液柱顶端在$14° C$和$16° C$中间，为$\boldsymbol{15° C}$。
按表格顺序依次填入对应数值即可。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{+2}$；$\boldsymbol{+4}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{15}$
【知识点】
正负数的意义；温度计读数；有理数的应用
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用，解题核心是找准正负数的分界基准，明确正负的对应含义，同时要注意读数时看清温度计的分度值，避免读数错误。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确题中正负数的规定：以12时为基准记为0，12时之后的时间记为正，那么12时之前的时间就记为负。第一步先计算其余三个时间和12时的时间差，得到对应的时间表示；第二步正确读取每个时刻温度计的示数，对应填入气温栏即可。
【解析】
1. 计算各时间的表示：
10时比12时早2小时，所以记为$\boldsymbol{-2}$；
14时比12时晚2小时，所以记为$\boldsymbol{+2}$；
16时比12时晚4小时，所以记为$\boldsymbol{+4}$。
2. 读取温度计示数：
10时温度计液柱顶端对齐$12° C$，所以气温为$\boldsymbol{12° C}$；
14时温度计液柱顶端对齐$16° C$，所以气温为$\boldsymbol{16° C}$；
16时温度计液柱顶端在$14° C$和$16° C$中间，为$\boldsymbol{15° C}$。
按表格顺序依次填入对应数值即可。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{+2}$；$\boldsymbol{+4}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{15}$
【知识点】
正负数的意义；温度计读数；有理数的应用
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用，解题核心是找准正负数的分界基准，明确正负的对应含义，同时要注意读数时看清温度计的分度值，避免读数错误。
【难度系数】
0.85
16. 一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%.
(1)±10%的含义是什么？
(2)请计算出该商品的最高价格和最低价格.
(3)若以标准价格为基准，商品的价格超过标准价格记作“＋”，低于标准价格记作“－”，则该商品的价格浮动范围又可以怎样表示？
(1)±10%的含义是什么？
(2)请计算出该商品的最高价格和最低价格.
(3)若以标准价格为基准，商品的价格超过标准价格记作“＋”，低于标准价格记作“－”，则该商品的价格浮动范围又可以怎样表示？
答案
16.解:(1)$+10\%$表示比标准价格高$10\%$，$-10\%$表示比标准价格低$10\%$.
(2)$200×(1+10\%)=220$(元),$200×(1-10\%)=180$(元).
∴该商品的最高价格为220元，最低价格为180元.
(3)$(200\pm20)$元.
(2)$200×(1+10\%)=220$(元),$200×(1-10\%)=180$(元).
∴该商品的最高价格为220元，最低价格为180元.
(3)$(200\pm20)$元.
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：
（1）明确“±”在本题中的相对基准是标准价格200元，“+”代表高于基准，“-”代表低于基准，后面的百分数就是对应浮动的幅度。
（2）计算最高价格时，用标准价格乘（1+上浮比例），计算最低价格时用标准价格乘（1-下浮比例），代入数值就能得到结果。
（3）先算出价格浮动的最大绝对差值：标准价格×10%，再结合题目的正负记法规则，就能写出以标准价为基准的浮动范围。
【解析】
(1) 本题的±10%以标准价格200元为参照基准，$+10\%$表示比标准价格高$10\%$，$-10\%$表示比标准价格低$10\%$。
(2) 最高价格为标准价上浮10%的价格：
$200×(1+10\%)=220$（元）
最低价格为标准价下浮10%的价格：
$200×(1-10\%)=180$（元）
因此该商品的最高价格为220元，最低价格为180元。
(3) 价格浮动的最大差值为$200×10\%=20$元，结合题目规定的正负记法，价格浮动范围可表示为$(200\pm20)$元。
【答案】
(1)$+10\%$表示比标准价格高$10\%$，$-10\%$表示比标准价格低$10\%$。
(2)最高价格为220元，最低价格为180元。
(3)$(200\pm20)$元。
【知识点】
正负数的意义，百分数计算，有理数实际应用
【点评】
本题结合生活中商品价格浮动的常见场景，考查对正负数含义的理解及基础运算能力，解题核心是明确浮动比例的参照基准，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步梳理：
（1）明确“±”在本题中的相对基准是标准价格200元，“+”代表高于基准，“-”代表低于基准，后面的百分数就是对应浮动的幅度。
（2）计算最高价格时，用标准价格乘（1+上浮比例），计算最低价格时用标准价格乘（1-下浮比例），代入数值就能得到结果。
（3）先算出价格浮动的最大绝对差值：标准价格×10%，再结合题目的正负记法规则，就能写出以标准价为基准的浮动范围。
【解析】
(1) 本题的±10%以标准价格200元为参照基准，$+10\%$表示比标准价格高$10\%$，$-10\%$表示比标准价格低$10\%$。
(2) 最高价格为标准价上浮10%的价格：
$200×(1+10\%)=220$（元）
最低价格为标准价下浮10%的价格：
$200×(1-10\%)=180$（元）
因此该商品的最高价格为220元，最低价格为180元。
(3) 价格浮动的最大差值为$200×10\%=20$元，结合题目规定的正负记法，价格浮动范围可表示为$(200\pm20)$元。
【答案】
(1)$+10\%$表示比标准价格高$10\%$，$-10\%$表示比标准价格低$10\%$。
(2)最高价格为220元，最低价格为180元。
(3)$(200\pm20)$元。
【知识点】
正负数的意义，百分数计算，有理数实际应用
【点评】
本题结合生活中商品价格浮动的常见场景，考查对正负数含义的理解及基础运算能力，解题核心是明确浮动比例的参照基准，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
17. NEW 新考向·推理能力 将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题.
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A,B,C,D中的什么位置？
(3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A,B,C,D中的什么位置？
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A,B,C,D中的什么位置？
(3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A,B,C,D中的什么位置？
答案
17.解:(1)在A处的数是正数.
(2)负数排在B和D的位置.
(3)$\because2\ 025÷4=506······1$,
∴第2025个数是负数，排在B对应的位置.
(2)负数排在B和D的位置.
(3)$\because2\ 025÷4=506······1$,
∴第2025个数是负数，排在B对应的位置.
解析
【分析】
先观察数列排列特征：①数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数为负、偶数为正；②排列以4个数为一个周期循环，各位置数的特征：A位置均为4的倍数（正数），B位置为除以4余1的数（负数），C位置为除以4余2的数（正数），D位置为除以4余3的数（负数）。解题时按规律逐一分析即可：(1)直接判断A位置数的符号；(2)对应符号特征找负数所在位置；(3)用2025除以4求余数，根据余数判断符号和对应位置。
【解析】
(1)观察A位置的数为4、8……均为正偶数，因此A处的数是正数。
(2)观察排列可得，B位置的数为-1、-5、-9……，D位置的数为-3、-7……，均为负数，因此负数排在B和D的位置。
(3)由于排列以4个数为一个周期，计算得：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期中第一个数的位置为B，且2025是奇数，符号为负，因此第2025个数是负数，排在B对应的位置。
【答案】
(1)在A处的数是正数；
(2)负数排在B和D的位置；
(3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置。
【知识点】
规律探究，带余除法，有理数符号判断
【点评】
本题是有理数规律探究的典型题型，重点考查观察归纳与逻辑推理能力，解题核心是找到数字排列的周期规律和各位置的符号特征，结合带余除法即可快速求解，对学生的推理能力提升有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
先观察数列排列特征：①数的绝对值是从1开始的连续正整数，符号规律为奇数为负、偶数为正；②排列以4个数为一个周期循环，各位置数的特征：A位置均为4的倍数（正数），B位置为除以4余1的数（负数），C位置为除以4余2的数（正数），D位置为除以4余3的数（负数）。解题时按规律逐一分析即可：(1)直接判断A位置数的符号；(2)对应符号特征找负数所在位置；(3)用2025除以4求余数，根据余数判断符号和对应位置。
【解析】
(1)观察A位置的数为4、8……均为正偶数，因此A处的数是正数。
(2)观察排列可得，B位置的数为-1、-5、-9……，D位置的数为-3、-7……，均为负数，因此负数排在B和D的位置。
(3)由于排列以4个数为一个周期，计算得：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期中第一个数的位置为B，且2025是奇数，符号为负，因此第2025个数是负数，排在B对应的位置。
【答案】
(1)在A处的数是正数；
(2)负数排在B和D的位置；
(3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置。
【知识点】
规律探究，带余除法，有理数符号判断
【点评】
本题是有理数规律探究的典型题型，重点考查观察归纳与逻辑推理能力，解题核心是找到数字排列的周期规律和各位置的符号特征，结合带余除法即可快速求解，对学生的推理能力提升有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
