登录
9. 整体思想 已知 $ m + n = 3 $，$ mn = 1 $，则 $ (1 - 2m)(1 - 2n) $ 的值为 。
【变式·新定义运算】若规定：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$，则当 $ m^2 - 3m - 6 = 0 $ 时，$\begin{vmatrix} m & m - 3 \\ 1 - m & m - 2 \end{vmatrix}$ 的值为 ______ 。
【变式·新定义运算】若规定：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$，则当 $ m^2 - 3m - 6 = 0 $ 时，$\begin{vmatrix} m & m - 3 \\ 1 - m & m - 2 \end{vmatrix}$ 的值为 ______ 。
答案
9.$-1$
【变式·新定义运算】$15$
【变式·新定义运算】$15$
解析
【分析】
第一题：已知m+n和mn的整体值，无需单独求解m、n的具体值，首先利用多项式乘多项式的法则将待求式(1-2m)(1-2n)展开，再整理为含m+n和mn的结构，最后整体代入已知值计算即可。
变式题：首先理解新定义的二阶行列式的运算规则（ad-bc），先按照规则将行列式转化为整式运算形式，再通过多项式乘多项式展开、合并同类项化简，结合已知方程得到m²-3m的整体值，将化简后的式子变形为含m²-3m的结构，整体代入计算即可。
【解析】
1. 计算$(1-2m)(1-2n)$的值：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(1-2m)(1-2n)&=1×1 +1×(-2n)+(-2m)×1 + (-2m)×(-2n)\\&=1 -2n -2m +4mn\\&=1 -2(m+n)+4mn\end{aligned}$
将$m+n=3$，$mn=1$代入上式：
$1 -2×3 +4×1=1-6+4=-1$
2. 计算行列式的值：
根据新定义运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix}m & m-3 \\1-m & m-2\end{vmatrix}=m(m-2) - (m-3)(1-m)$
分别展开计算：
$m(m-2)=m^2-2m$
$(m-3)(1-m)=m×1 -m· m -3×1 +3m=-m^2+4m-3$
代入原式化简：
$\begin{aligned}&m^2-2m - (-m^2+4m-3)\\=&m^2-2m +m^2 -4m +3\\=&2m^2-6m +3\\=&2(m^2-3m)+3\end{aligned}$
由$m^2-3m-6=0$得$m^2-3m=6$，代入上式：
$2×6 +3=12+3=15$
【答案】
$-1$；$15$
【知识点】
多项式乘多项式，整体代入求值，新定义运算
【点评】
两道题均考查整式运算与整体思想的结合，第一题核心是展开后凑已知的整体条件代入，第二题需要先准确理解新运算规则，再化简变形后整体代入，解题时注意不要遗漏符号，熟练掌握多项式乘法是解题基础。
【难度系数】
0.7
第一题：已知m+n和mn的整体值，无需单独求解m、n的具体值，首先利用多项式乘多项式的法则将待求式(1-2m)(1-2n)展开，再整理为含m+n和mn的结构，最后整体代入已知值计算即可。
变式题：首先理解新定义的二阶行列式的运算规则（ad-bc），先按照规则将行列式转化为整式运算形式，再通过多项式乘多项式展开、合并同类项化简，结合已知方程得到m²-3m的整体值，将化简后的式子变形为含m²-3m的结构，整体代入计算即可。
【解析】
1. 计算$(1-2m)(1-2n)$的值：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(1-2m)(1-2n)&=1×1 +1×(-2n)+(-2m)×1 + (-2m)×(-2n)\\&=1 -2n -2m +4mn\\&=1 -2(m+n)+4mn\end{aligned}$
将$m+n=3$，$mn=1$代入上式：
$1 -2×3 +4×1=1-6+4=-1$
2. 计算行列式的值：
根据新定义运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix}m & m-3 \\1-m & m-2\end{vmatrix}=m(m-2) - (m-3)(1-m)$
分别展开计算：
$m(m-2)=m^2-2m$
$(m-3)(1-m)=m×1 -m· m -3×1 +3m=-m^2+4m-3$
代入原式化简：
$\begin{aligned}&m^2-2m - (-m^2+4m-3)\\=&m^2-2m +m^2 -4m +3\\=&2m^2-6m +3\\=&2(m^2-3m)+3\end{aligned}$
由$m^2-3m-6=0$得$m^2-3m=6$，代入上式：
$2×6 +3=12+3=15$
【答案】
$-1$；$15$
【知识点】
多项式乘多项式，整体代入求值，新定义运算
【点评】
两道题均考查整式运算与整体思想的结合，第一题核心是展开后凑已知的整体条件代入，第二题需要先准确理解新运算规则，再化简变形后整体代入，解题时注意不要遗漏符号，熟练掌握多项式乘法是解题基础。
【难度系数】
0.7
10. 新情境 热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，则甲、乙两个长方形的面积差是
$3$
。答案
$3$
解析
【分析】
要计算两个长方形的面积差，首先利用“铁丝长度不变，即两个长方形周长相等”的隐含条件：第一步先计算甲的周长得到铁丝总长度；第二步根据乙的宽，结合周长公式求出乙的长；第三步分别计算甲、乙的面积，再作差化简多项式即可得到结果。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即甲的周长）：
甲长方形的长为$m+4$，宽为$m+2$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$可得：
$C=2[(m+4)+(m+2)]=2(2m+6)=4m+12$
2. 求乙长方形的长：
乙的周长等于铁丝总长，乙的宽为$m+1$，设乙的长为$x$，则：
$2(x+m+1)=4m+12$
解得$x=(4m+12)÷2 - (m+1)=2m+6 - m -1=m+5$
3. 分别计算两个长方形的面积：
$S_甲=(m+4)(m+2)=m^2+2m+4m+8=m^2+6m+8$
$S_乙=(m+5)(m+1)=m^2+m+5m+5=m^2+6m+5$
4. 计算面积差：
$S_甲 - S_乙=(m^2+6m+8)-(m^2+6m+5)=3$
【答案】
$3$
【知识点】
多项式乘多项式；长方形周长与面积计算；整式的加减
【点评】
本题结合生活实际情境，利用周长不变的隐含条件考查整式运算的应用，解题核心是先求出乙长方形的长，再通过多项式乘法和整式化简得到结果，计算时要注意合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.7
要计算两个长方形的面积差，首先利用“铁丝长度不变，即两个长方形周长相等”的隐含条件：第一步先计算甲的周长得到铁丝总长度；第二步根据乙的宽，结合周长公式求出乙的长；第三步分别计算甲、乙的面积，再作差化简多项式即可得到结果。
【解析】
1. 计算铁丝总长度（即甲的周长）：
甲长方形的长为$m+4$，宽为$m+2$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$可得：
$C=2[(m+4)+(m+2)]=2(2m+6)=4m+12$
2. 求乙长方形的长：
乙的周长等于铁丝总长，乙的宽为$m+1$，设乙的长为$x$，则：
$2(x+m+1)=4m+12$
解得$x=(4m+12)÷2 - (m+1)=2m+6 - m -1=m+5$
3. 分别计算两个长方形的面积：
$S_甲=(m+4)(m+2)=m^2+2m+4m+8=m^2+6m+8$
$S_乙=(m+5)(m+1)=m^2+m+5m+5=m^2+6m+5$
4. 计算面积差：
$S_甲 - S_乙=(m^2+6m+8)-(m^2+6m+5)=3$
【答案】
$3$
【知识点】
多项式乘多项式；长方形周长与面积计算；整式的加减
【点评】
本题结合生活实际情境，利用周长不变的隐含条件考查整式运算的应用，解题核心是先求出乙长方形的长，再通过多项式乘法和整式化简得到结果，计算时要注意合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.7
11. [2026滁州期末]若$m=999913×999987$，则有理数$m$的末尾四位数是（
A.1 131
B.2 431
C.3 131
D.4 131
A
）A.1 131
B.2 431
C.3 131
D.4 131
答案
11.A
解析
【分析】
要计算两个大整数乘积的末尾四位数，不需要算出完整乘积，末尾四位数仅由两个乘数的末尾四位决定。观察两个乘数的末四位913和987，二者平均数为950，可变形为950减37和950加37的形式，符合平方差公式的结构，用平方差公式可大幅简化计算，最后取结果的末四位即可。
【解析】
乘积的末尾四位数仅和两个乘数的末尾四位数相关，因此只需计算913×987的结果的末四位：
1. 对两个数变形：$913=950-37$，$987=950+37$
2. 根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}913×987&=(950-37)(950+37)\\&=950^2-37^2\end{aligned}$
3. 代入数值计算：$950^2=902500$，$37^2=1369$，则$902500-1369=901131$，取末四位为1131。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，多项式乘法，末位数字特征
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过观察数字特征将算式转化为平方差的形式，能避免繁琐的大数运算，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，快速找到简便计算的思路。
【难度系数】
0.7
要计算两个大整数乘积的末尾四位数，不需要算出完整乘积，末尾四位数仅由两个乘数的末尾四位决定。观察两个乘数的末四位913和987，二者平均数为950，可变形为950减37和950加37的形式，符合平方差公式的结构，用平方差公式可大幅简化计算，最后取结果的末四位即可。
【解析】
乘积的末尾四位数仅和两个乘数的末尾四位数相关，因此只需计算913×987的结果的末四位：
1. 对两个数变形：$913=950-37$，$987=950+37$
2. 根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$\begin{aligned}913×987&=(950-37)(950+37)\\&=950^2-37^2\end{aligned}$
3. 代入数值计算：$950^2=902500$，$37^2=1369$，则$902500-1369=901131$，取末四位为1131。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，多项式乘法，末位数字特征
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过观察数字特征将算式转化为平方差的形式，能避免繁琐的大数运算，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，快速找到简便计算的思路。
【难度系数】
0.7
12.已知$(x^2+ax+4)(x^2-2x+b)$的乘积中不含$x^2$和$x^3$项，求$a-2b$的值.
答案
$a-2b=2$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要利用多项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到$x^2$和$x^3$项的系数；题目明确乘积中不含这两项，说明这两项的系数都等于0，据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后代入$a-2b$计算即可。
【解析】
首先展开两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}&(x^2+ax+4)(x^2-2x+b)\\=&x^2· x^2 + x^2·(-2x) + x^2· b + ax· x^2 + ax·(-2x) + ax· b + 4· x^2 + 4·(-2x) + 4· b\\=&x^4 - 2x^3 + bx^2 + ax^3 - 2ax^2 + abx + 4x^2 - 8x + 4b\end{aligned}$
合并同类项，按x的降幂排列：
$=x^4 + (a - 2)x^3 + (b - 2a + 4)x^2 + (ab - 8)x + 4b$
因为乘积中不含$x^2$和$x^3$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}a - 2 = 0\\b - 2a + 4 = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
将$a=2$代入第二个方程：$b - 2×2 + 4 = 0$，解得$b=0$
将$a=2$，$b=0$代入$a-2b$得：
$a-2b = 2 - 2×0 = 2$
【答案】
$2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、不含项的系数特征
【点评】
本题是多项式乘法的常见题型，核心是理解“乘积不含某一项”等价于该项的系数为0，通过建立方程求解参数，既考察整式运算的基本功，也渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要利用多项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到$x^2$和$x^3$项的系数；题目明确乘积中不含这两项，说明这两项的系数都等于0，据此列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后代入$a-2b$计算即可。
【解析】
首先展开两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}&(x^2+ax+4)(x^2-2x+b)\\=&x^2· x^2 + x^2·(-2x) + x^2· b + ax· x^2 + ax·(-2x) + ax· b + 4· x^2 + 4·(-2x) + 4· b\\=&x^4 - 2x^3 + bx^2 + ax^3 - 2ax^2 + abx + 4x^2 - 8x + 4b\end{aligned}$
合并同类项，按x的降幂排列：
$=x^4 + (a - 2)x^3 + (b - 2a + 4)x^2 + (ab - 8)x + 4b$
因为乘积中不含$x^2$和$x^3$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}a - 2 = 0\\b - 2a + 4 = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
将$a=2$代入第二个方程：$b - 2×2 + 4 = 0$，解得$b=0$
将$a=2$，$b=0$代入$a-2b$得：
$a-2b = 2 - 2×0 = 2$
【答案】
$2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、不含项的系数特征
【点评】
本题是多项式乘法的常见题型，核心是理解“乘积不含某一项”等价于该项的系数为0，通过建立方程求解参数，既考察整式运算的基本功，也渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
13. 运算能力 回答下列问题：
(1)计算:①$(x+2)(x+3)=$
②$(x+7)(x-10)=$
③$(x-5)(x-6)=$
(2)由(1)的结果,直接写出下列算式的结果:
①$(x+1)(x+3)=$
②$(x-2)(x-3)=$
③$(x+2)(x-5)=$
(3)总结公式:$(x+a)(x+b)=$
(4)已知$a,b,m$均为整数,且$(x+a)(x+b)=x^2+mx+6$,求$m$的所有可能值.
(1)计算:①$(x+2)(x+3)=$
$x^2+5x+6$
;②$(x+7)(x-10)=$
$x^2-3x-70$
;③$(x-5)(x-6)=$
$x^2-11x+30$
;(2)由(1)的结果,直接写出下列算式的结果:
①$(x+1)(x+3)=$
$x^2+4x+3$
;②$(x-2)(x-3)=$
$x^2-5x+6$
;③$(x+2)(x-5)=$
$x^2-3x-10$
;(3)总结公式:$(x+a)(x+b)=$
$x^2+(a+b)x+ab$
;(4)已知$a,b,m$均为整数,且$(x+a)(x+b)=x^2+mx+6$,求$m$的所有可能值.
答案
(1)①$x^2+5x+6$ ②$x^2-3x-70$ ③$x^2-11x+30$
(2)①$x^2+4x+3$ ②$x^2-5x+6$ ③$x^2-3x-10$
(3)$x^2+(a+b)x+ab$
(4)$m$等于7或$-7$或5或$-5$.
(2)①$x^2+4x+3$ ②$x^2-5x+6$ ③$x^2-3x-10$
(3)$x^2+(a+b)x+ab$
(4)$m$等于7或$-7$或5或$-5$.
解析
【分析】
本题围绕多项式乘多项式的运算展开，解题思路如下：1. 第(1)问直接运用多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；2. 第(2)问通过观察第(1)问的运算结果，总结出$(x+a)(x+b)$类运算的规律，直接代入规律计算即可；3. 第(3)问将具体数值替换为字母a、b，推导得到通用公式；4. 第(4)问利用总结的公式，可知$ab=6$、$m=a+b$，先列举出乘积为6的所有整数对，再分别计算$a+b$的取值，即可得到m的所有可能值，注意要考虑正、负整数的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$计算：
① $(x+2)(x+3)=x· x + x·3 + 2· x + 2×3 = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6$
② $(x+7)(x-10)=x· x + x·(-10) +7· x +7×(-10)=x^2-10x+7x-70=x^2-3x-70$
③ $(x-5)(x-6)=x· x +x·(-6)+(-5)· x + (-5)×(-6)=x^2-6x-5x+30=x^2-11x+30$
(2) 观察(1)的结果可发现规律：结果二次项系数为1，一次项系数为两个常数项的和，常数项为两个常数项的积，据此计算：
① 一次项系数$1+3=4$，常数项$1×3=3$，结果为$x^2+4x+3$
② 一次项系数$(-2)+(-3)=-5$，常数项$(-2)×(-3)=6$，结果为$x^2-5x+6$
③ 一次项系数$2+(-5)=-3$，常数项$2×(-5)=-10$，结果为$x^2-3x-10$
(3) 推导通用公式：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
(4) 由公式可得$ab=6$，$m=a+b$，a、b为整数，列举所有乘积为6的整数对：
当$a=1、b=6$时，$m=1+6=7$；
当$a=-1、b=-6$时，$m=-1+(-6)=-7$；
当$a=2、b=3$时，$m=2+3=5$；
当$a=-2、b=-3$时，$m=-2+(-3)=-5$。
【答案】
(1)①$x^2+5x+6$ ②$x^2-3x-70$ ③$x^2-11x+30$
(2)①$x^2+4x+3$ ②$x^2-5x+6$ ③$x^2-3x-10$
(3)$x^2+(a+b)x+ab$
(4)$m$等于7或$-7$或5或$-5$
【知识点】
多项式乘多项式，整式规律探究，整数因数分解
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生逐步推导多项式乘多项式的特殊运算公式，既考查了基础运算能力，也锻炼了规律归纳与应用能力，最后一问需要注意考虑整数的正负性，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题围绕多项式乘多项式的运算展开，解题思路如下：1. 第(1)问直接运用多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；2. 第(2)问通过观察第(1)问的运算结果，总结出$(x+a)(x+b)$类运算的规律，直接代入规律计算即可；3. 第(3)问将具体数值替换为字母a、b，推导得到通用公式；4. 第(4)问利用总结的公式，可知$ab=6$、$m=a+b$，先列举出乘积为6的所有整数对，再分别计算$a+b$的取值，即可得到m的所有可能值，注意要考虑正、负整数的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 按照多项式乘多项式法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$计算：
① $(x+2)(x+3)=x· x + x·3 + 2· x + 2×3 = x^2+3x+2x+6 = x^2+5x+6$
② $(x+7)(x-10)=x· x + x·(-10) +7· x +7×(-10)=x^2-10x+7x-70=x^2-3x-70$
③ $(x-5)(x-6)=x· x +x·(-6)+(-5)· x + (-5)×(-6)=x^2-6x-5x+30=x^2-11x+30$
(2) 观察(1)的结果可发现规律：结果二次项系数为1，一次项系数为两个常数项的和，常数项为两个常数项的积，据此计算：
① 一次项系数$1+3=4$，常数项$1×3=3$，结果为$x^2+4x+3$
② 一次项系数$(-2)+(-3)=-5$，常数项$(-2)×(-3)=6$，结果为$x^2-5x+6$
③ 一次项系数$2+(-5)=-3$，常数项$2×(-5)=-10$，结果为$x^2-3x-10$
(3) 推导通用公式：
$(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$
(4) 由公式可得$ab=6$，$m=a+b$，a、b为整数，列举所有乘积为6的整数对：
当$a=1、b=6$时，$m=1+6=7$；
当$a=-1、b=-6$时，$m=-1+(-6)=-7$；
当$a=2、b=3$时，$m=2+3=5$；
当$a=-2、b=-3$时，$m=-2+(-3)=-5$。
【答案】
(1)①$x^2+5x+6$ ②$x^2-3x-70$ ③$x^2-11x+30$
(2)①$x^2+4x+3$ ②$x^2-5x+6$ ③$x^2-3x-10$
(3)$x^2+(a+b)x+ab$
(4)$m$等于7或$-7$或5或$-5$
【知识点】
多项式乘多项式，整式规律探究，整数因数分解
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生逐步推导多项式乘多项式的特殊运算公式，既考查了基础运算能力，也锻炼了规律归纳与应用能力，最后一问需要注意考虑整数的正负性，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
