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【例】 (1)如图1,当3:10时,时针、分针的夹角度数是多少? 
(2)如图2,当3:42时,时针、分针的夹角度数是多少?
(3)如图3,当3:58时,时针、分针的夹角度数是多少?
方法指导
时钟表面可看成以表心为顶点的周角$(360°)$,时钟的表面被均分成12大格,60小格.
当分针和时针转动时,分针转的角度为历经的分钟数$×6°$;时针转的角度为历经的整小时数$×30°+$除整小时外历经的分钟数$×0.5°$.
(2)如图2,当3:42时,时针、分针的夹角度数是多少?
(3)如图3,当3:58时,时针、分针的夹角度数是多少?
方法指导
时钟表面可看成以表心为顶点的周角$(360°)$,时钟的表面被均分成12大格,60小格.
当分针和时针转动时,分针转的角度为历经的分钟数$×6°$;时针转的角度为历经的整小时数$×30°+$除整小时外历经的分钟数$×0.5°$.
答案
解:(1)如图1,当3:10时,求∠AOB的度数,可借助3:00时分针与时针的夹角∠A₁OB₁求解.∠AOB=∠A₁OB₁+∠B₁OB-∠A₁OA=30°×3+0.5°×10-6°×10=30°×3-10×5.5°=35°.
(2)如图2,当3:42时,求∠AOB的度数,仍可借助3:00时分针与时针的夹角∠A₁OB₁求解.∠AOB=∠1-∠A₁OB₁-∠B₁OB=6°×42-30°×3-0.5°×42=5.5°×42-30°×3=141°.
(3)如图3,当3:58时,求∠AOB的度数,仍可借助3:00时分针与时针的夹角∠A₁OB₁求解.∠AOB=360°-∠1=360°-(∠2-∠A₁OB₁-∠B₁OB)=360°-(6°×58-30°×3-0.5°×58)=360°-(5.5°×58-30°×3)=131°.
(2)如图2,当3:42时,求∠AOB的度数,仍可借助3:00时分针与时针的夹角∠A₁OB₁求解.∠AOB=∠1-∠A₁OB₁-∠B₁OB=6°×42-30°×3-0.5°×42=5.5°×42-30°×3=141°.
(3)如图3,当3:58时,求∠AOB的度数,仍可借助3:00时分针与时针的夹角∠A₁OB₁求解.∠AOB=360°-∠1=360°-(∠2-∠A₁OB₁-∠B₁OB)=360°-(6°×58-30°×3-0.5°×58)=360°-(5.5°×58-30°×3)=131°.
解析
【分析】
要计算时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本规律：①整个钟面为360°的周角，平均分成12个大格，每个大格对应30°（360°÷12）；平均分成60个小格，每个小格对应6°（360°÷60）。②分针每分钟转动6°，时针每小时转动30°，每分钟额外转动0.5°（30°÷60）。
解题时以3:00为基准时刻：此时时针指向3，分针指向12，两针夹角为3×30°=90°。经过m分钟后，分针一共转动了6m°，时针一共额外转动了0.5m°，根据分针和时针的位置关系计算两针的夹角，若计算得到的夹角大于180°，则用360°减去该值得到最终的较小夹角。
【解析】
(1)当时间为3:10时，经过了10分钟：
3:00时两针初始夹角为$3×30°=90°$
分针转动角度：$6°×10=60°$
时针额外转动角度：$0.5°×10=5°$
此时夹角 = 初始夹角 + 时针额外转动角度 - 分针转动角度，即：
$∠ AOB=90°+5°-60°=35°$
(2)当时间为3:42时，经过了42分钟：
分针转动角度：$6°×42=252°$
时针额外转动角度：$0.5°×42=21°$
此时分针已超过时针，夹角 = 分针转动角度 - 初始夹角 - 时针额外转动角度，即：
$∠ AOB=252°-90°-21°=141°$
(3)当时间为3:58时，经过了58分钟：
分针转动角度：$6°×58=348°$
时针额外转动角度：$0.5°×58=29°$
先计算两针的较大夹角：$348°-90°-29°=229°$
由于夹角取不大于180°的角，因此最终夹角为：
$∠ AOB=360°-229°=131°$
【答案】
(1)$35°$；(2)$141°$；(3)$131°$
【知识点】
钟面角的计算，角的和差运算，度的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型题型，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，以整点时刻的固定夹角为基准进行和差计算，注意最终夹角通常取小于等于180°的角即可。
【难度系数】
0.6
要计算时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本规律：①整个钟面为360°的周角，平均分成12个大格，每个大格对应30°（360°÷12）；平均分成60个小格，每个小格对应6°（360°÷60）。②分针每分钟转动6°，时针每小时转动30°，每分钟额外转动0.5°（30°÷60）。
解题时以3:00为基准时刻：此时时针指向3，分针指向12，两针夹角为3×30°=90°。经过m分钟后，分针一共转动了6m°，时针一共额外转动了0.5m°，根据分针和时针的位置关系计算两针的夹角，若计算得到的夹角大于180°，则用360°减去该值得到最终的较小夹角。
【解析】
(1)当时间为3:10时，经过了10分钟：
3:00时两针初始夹角为$3×30°=90°$
分针转动角度：$6°×10=60°$
时针额外转动角度：$0.5°×10=5°$
此时夹角 = 初始夹角 + 时针额外转动角度 - 分针转动角度，即：
$∠ AOB=90°+5°-60°=35°$
(2)当时间为3:42时，经过了42分钟：
分针转动角度：$6°×42=252°$
时针额外转动角度：$0.5°×42=21°$
此时分针已超过时针，夹角 = 分针转动角度 - 初始夹角 - 时针额外转动角度，即：
$∠ AOB=252°-90°-21°=141°$
(3)当时间为3:58时，经过了58分钟：
分针转动角度：$6°×58=348°$
时针额外转动角度：$0.5°×58=29°$
先计算两针的较大夹角：$348°-90°-29°=229°$
由于夹角取不大于180°的角，因此最终夹角为：
$∠ AOB=360°-229°=131°$
【答案】
(1)$35°$；(2)$141°$；(3)$131°$
【知识点】
钟面角的计算，角的和差运算，度的运算
【点评】
本题是钟面角计算的典型题型，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，以整点时刻的固定夹角为基准进行和差计算，注意最终夹角通常取小于等于180°的角即可。
【难度系数】
0.6
1.某日，从上午8:13到上午8:37，时钟的分针转过的角度是 （
A.$148°$
B.$144°$
C.$136°$
D.$108°$
B
）A.$148°$
B.$144°$
C.$136°$
D.$108°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先明确两个核心条件：①分针转动的规律：分针60分钟旋转一周（360°），由此可先算出分针每分钟转过的角度；②计算从上午8:13到8:37的经过时长，最后用“每分钟转过的角度×经过时长”就能得到分针总共转过的角度。
【解析】
步骤1：计算经过的时长
8时37分 - 8时13分 = 24分钟
步骤2：计算分针每分钟转过的角度
分针60分钟转360°，因此每分钟转过的角度为：$360° ÷ 60 = 6°$
步骤3：计算24分钟分针转过的总角度
$24 × 6° = 144°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算，角度运算
【点评】
本题属于钟面角的基础题型，解题关键是牢记分针每分钟转动6°的规律，准确计算经过的时间即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心条件：①分针转动的规律：分针60分钟旋转一周（360°），由此可先算出分针每分钟转过的角度；②计算从上午8:13到8:37的经过时长，最后用“每分钟转过的角度×经过时长”就能得到分针总共转过的角度。
【解析】
步骤1：计算经过的时长
8时37分 - 8时13分 = 24分钟
步骤2：计算分针每分钟转过的角度
分针60分钟转360°，因此每分钟转过的角度为：$360° ÷ 60 = 6°$
步骤3：计算24分钟分针转过的总角度
$24 × 6° = 144°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算，角度运算
【点评】
本题属于钟面角的基础题型，解题关键是牢记分针每分钟转动6°的规律，准确计算经过的时间即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 当钟面上显示10时32分时，时针与分针的夹角的度数为
124°
。答案
2. 124°
解析
【分析】
要计算钟面上时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本度数规律：钟面一周为360°，共分12个大格，每大格对应360°÷12=30°；共分60个小格，每小格对应360°÷60=6°。其次明确指针转速：分针每分钟转6°，时针每小时转30°，换算为每分钟转30°÷60=0.5°。解题时我们以12点方向为0°基准，分别计算指定时间时针、分针各自的偏转度数，再求两个度数的差值，若差值大于180°则用360°减去该差值，最终得到的小于等于180°的结果就是两针的夹角。
【解析】
1. 计算10时32分时分针的偏转度数：
分针每分钟转6°，32分钟偏转的度数为：$ 32 × 6° = 192° $
2. 计算10时32分时时针的偏转度数：
10小时时针偏转的度数为：$ 10 × 30° = 300° $
32分钟时针额外偏转的度数为：$ 32 × 0.5° = 16° $
时针总偏转度数为：$ 300° + 16° = 316° $
3. 计算两针夹角：
两针偏转度数的差为：$ 316° - 192° = 124° $
因为124°＜180°，所以该差值就是两针的夹角。
【答案】
124°
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
3. 有理数运算
【点评】
本题是钟面夹角的典型基础题，解题核心是掌握时针、分针的转动速度规律，分别算出两针的位置度数后求差即可，注意夹角默认取小于等于180°的角。
【难度系数】
0.6
要计算钟面上时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本度数规律：钟面一周为360°，共分12个大格，每大格对应360°÷12=30°；共分60个小格，每小格对应360°÷60=6°。其次明确指针转速：分针每分钟转6°，时针每小时转30°，换算为每分钟转30°÷60=0.5°。解题时我们以12点方向为0°基准，分别计算指定时间时针、分针各自的偏转度数，再求两个度数的差值，若差值大于180°则用360°减去该差值，最终得到的小于等于180°的结果就是两针的夹角。
【解析】
1. 计算10时32分时分针的偏转度数：
分针每分钟转6°，32分钟偏转的度数为：$ 32 × 6° = 192° $
2. 计算10时32分时时针的偏转度数：
10小时时针偏转的度数为：$ 10 × 30° = 300° $
32分钟时针额外偏转的度数为：$ 32 × 0.5° = 16° $
时针总偏转度数为：$ 300° + 16° = 316° $
3. 计算两针夹角：
两针偏转度数的差为：$ 316° - 192° = 124° $
因为124°＜180°，所以该差值就是两针的夹角。
【答案】
124°
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
3. 有理数运算
【点评】
本题是钟面夹角的典型基础题，解题核心是掌握时针、分针的转动速度规律，分别算出两针的位置度数后求差即可，注意夹角默认取小于等于180°的角。
【难度系数】
0.6
3. 2026年5月24日23时08分,神舟二十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功.此时时针与分针夹角的度数为
74°
.答案
3. 74°
解析
【分析】
要计算某一时刻时针与分针的夹角，首先要明确时针和分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转一圈，因此每分钟转6°；时针12小时转一圈，因此每小时转30°，每分钟转0.5°。解题时先分别算出23时08分时针、分针各自转过的总角度，再计算两个角度的差值，若差值大于180°，则用360°减去差值得到较小的夹角，即为所求结果。
【解析】
1. 计算时针、分针的转动速度：
分针每分钟转的角度：$ 360° ÷ 60 = 6° $
时针每小时转的角度：$ 360° ÷ 12 = 30° $，时针每分钟转的角度：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $
2. 计算23时08分时针的总角度：
23时整，时针指向11，转过的角度为$ 11 × 30° = 330° $
再过8分钟，时针额外转动的角度为$ 8 × 0.5° = 4° $
因此23时08分，时针总角度为$ 330° + 4° = 334° $
3. 计算23时08分分针的总角度：
分针转动8分钟的总角度为$ 8 × 6° = 48° $
4. 计算夹角：
两个指针的角度差为$ |48° - 334°| = 286° $，由于$ 286° ＞ 180° $，因此实际夹角为$ 360° - 286° = 74° $
【答案】
$ 74° $
【知识点】
钟面角计算，角度运算，绝对值的应用
【点评】
本题是钟面角的常规考题，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，特别注意时针会随分钟的增加同步转动，不要漏算这部分角度，最终夹角需取不大于180°的较小角。
【难度系数】
0.6
要计算某一时刻时针与分针的夹角，首先要明确时针和分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转一圈，因此每分钟转6°；时针12小时转一圈，因此每小时转30°，每分钟转0.5°。解题时先分别算出23时08分时针、分针各自转过的总角度，再计算两个角度的差值，若差值大于180°，则用360°减去差值得到较小的夹角，即为所求结果。
【解析】
1. 计算时针、分针的转动速度：
分针每分钟转的角度：$ 360° ÷ 60 = 6° $
时针每小时转的角度：$ 360° ÷ 12 = 30° $，时针每分钟转的角度：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $
2. 计算23时08分时针的总角度：
23时整，时针指向11，转过的角度为$ 11 × 30° = 330° $
再过8分钟，时针额外转动的角度为$ 8 × 0.5° = 4° $
因此23时08分，时针总角度为$ 330° + 4° = 334° $
3. 计算23时08分分针的总角度：
分针转动8分钟的总角度为$ 8 × 6° = 48° $
4. 计算夹角：
两个指针的角度差为$ |48° - 334°| = 286° $，由于$ 286° ＞ 180° $，因此实际夹角为$ 360° - 286° = 74° $
【答案】
$ 74° $
【知识点】
钟面角计算，角度运算，绝对值的应用
【点评】
本题是钟面角的常规考题，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，特别注意时针会随分钟的增加同步转动，不要漏算这部分角度，最终夹角需取不大于180°的较小角。
【难度系数】
0.6
4. (教材P127习题T8变式)日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.
(1)如图1，上午8:30这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于
(2)请在图2中画出8:50这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答:从上午8:30到8:50，时钟的分针转过的度数是
(3)“元旦”这一天，小明上午8:30出门买东西，回到家中时发现还没到9:00，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
(1)如图1，上午8:30这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于
75°
.(2)请在图2中画出8:50这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答:从上午8:30到8:50，时钟的分针转过的度数是
120°
，时钟的时针转过的度数是10°
.(3)“元旦”这一天，小明上午8:30出门买东西，回到家中时发现还没到9:00，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
答案
4.解:(1)75° (2)图略 120° 10° (3)设小明从离开家到回到家的时间为x分.
∵8:30时,时针与分针的夹角为75°,到家时,时针与分针重合,即分针比时针多走了75°,
∴6x-0.5x=75,解得$x=\frac{150}{11}$.
∴小明从离开家到回到家的时间为$\frac{150}{11}$分.
∵8:30时,时针与分针的夹角为75°,到家时,时针与分针重合,即分针比时针多走了75°,
∴6x-0.5x=75,解得$x=\frac{150}{11}$.
∴小明从离开家到回到家的时间为$\frac{150}{11}$分.
解析
【分析】
解决钟面角相关问题需先明确基础结论：钟表一圈为360°，共12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。
（1）计算8:30的夹角：8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，二者相差2.5个大格，用大格数乘每个大格的度数即可得夹角。
（2）计算8:30到8:50的转动角度：先算出经过时间为20分钟，分别用分针、时针的每分钟转动度数乘时间，即可得到各自转过的角度。
（3）求重合时间：属于追及问题，8:30时分针和时针初始夹角为75°，重合时分针比时针多走75°，设经过x分钟重合，根据“分针走的度数-时针走的度数=初始夹角75°”列方程求解即可。
【解析】
（1）每个大格的度数为$360°÷12=30°$，8:30时分针和时针间隔2.5个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
（2）从8:30到8:50经过20分钟：
分针每分钟转$360°÷60=6°$，20分钟转过的度数为$20×6°=120°$；
时针每分钟转$30°÷60=0.5°$，20分钟转过的度数为$20×0.5°=10°$。
（画图略，分针指向10，时针在8和9之间靠近9的位置即可）
（3）设小明从离开家到回到家的时间为$x$分钟。
8:30时分针和时针夹角为75°，重合时分针比时针多走75°，列方程：
$6x-0.5x=75$
合并同类项得$5.5x=75$
解得$x=\frac{150}{11}$
【答案】
(1)$75°$
(2)$120°$；$10°$（画图略）
(3)$\frac{150}{11}$分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题结合生活中常见的钟表场景设计问题，将角度计算、方程应用与生活实际紧密结合，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，能将时针分针的夹角、重合问题转化为角度差计算或追及问题求解，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决钟面角相关问题需先明确基础结论：钟表一圈为360°，共12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。
（1）计算8:30的夹角：8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，二者相差2.5个大格，用大格数乘每个大格的度数即可得夹角。
（2）计算8:30到8:50的转动角度：先算出经过时间为20分钟，分别用分针、时针的每分钟转动度数乘时间，即可得到各自转过的角度。
（3）求重合时间：属于追及问题，8:30时分针和时针初始夹角为75°，重合时分针比时针多走75°，设经过x分钟重合，根据“分针走的度数-时针走的度数=初始夹角75°”列方程求解即可。
【解析】
（1）每个大格的度数为$360°÷12=30°$，8:30时分针和时针间隔2.5个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
（2）从8:30到8:50经过20分钟：
分针每分钟转$360°÷60=6°$，20分钟转过的度数为$20×6°=120°$；
时针每分钟转$30°÷60=0.5°$，20分钟转过的度数为$20×0.5°=10°$。
（画图略，分针指向10，时针在8和9之间靠近9的位置即可）
（3）设小明从离开家到回到家的时间为$x$分钟。
8:30时分针和时针夹角为75°，重合时分针比时针多走75°，列方程：
$6x-0.5x=75$
合并同类项得$5.5x=75$
解得$x=\frac{150}{11}$
【答案】
(1)$75°$
(2)$120°$；$10°$（画图略）
(3)$\frac{150}{11}$分钟
【知识点】
钟面角计算；一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题结合生活中常见的钟表场景设计问题，将角度计算、方程应用与生活实际紧密结合，解题核心是掌握时针、分针的转动速度，能将时针分针的夹角、重合问题转化为角度差计算或追及问题求解，有助于提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
