2. 如图，已知PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是直径，$∠ BAC = 35°$，则$∠ P$的度数为。

2. $70°$

【分析】
解题时先回忆切线的相关性质：1、圆的切线垂直于过切点的半径；2、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先通过切线垂直半径求出∠PAB的度数，再结合切线长定理得到△PAB为等腰三角形，最后利用三角形内角和求出∠P；也可以先求出圆心角∠AOB的度数，再结合四边形内角和计算∠P。
【解析】
方法1：
∵PA是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴PA⊥AC，即∠CAP=90°，
已知∠BAC=35°，
∴∠PAB=∠CAP - ∠BAC = 90° - 35° = 55°，
又
∵PA、PB都是⊙O的切线，A、B为切点，
根据切线长定理可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°得：
∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 55°×2 = 70°。
方法2：
连接OB，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，∠OBA=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180° - 35°×2=110°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
四边形OAPB内角和为360°，
∴∠P=360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 110°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质，切线长定理，内角和定理
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是灵活运用切线的相关性质，结合三角形或四边形的内角和公式计算角度，属于常考的基础题型，掌握切线性质和切线长定理就能快速作答。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$△ OAB$中，以点O为圆心，OA为半径作$\odot O$，作$OC ⊥ OB$交$\odot O$于点C，垂足为O，连接AC交OB于点D，$AB=BD$。
（1）判断AB与$\odot O$的位置关系，并证明你的结论；
（2）若$OA=2$，$∠ DAB = 70°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长是（结果保留$π$）。

3. 解（1）AB与$\odot O$相切.
证明：因为 $AB = BD$，所以 $∠BAD = ∠BDA$. 因为$∠CDO = ∠BDA$，
所以$∠CDO = ∠BAD$.
因为 $OA = OC$，所以$∠C = ∠OAC$.
因为 $OB ⊥ OC$，所以 $∠C + ∠CDO = ∠OAC + ∠BAD = 90°$. 所以 $∠OAB = 90°$.
所以 $OA ⊥ AB$. 因为 OA 为 $\odot O$ 的半径，
所以 AB 与$\odot O$相切.
（2）$\frac{14π}{9}$

【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系通常优先考虑相切，切线判定需证明直线与过交点的半径垂直，因此本题目标是证OA⊥AB。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合对顶角相等，将角进行等量代换，再结合OC⊥OB得到的直角，可推导得出∠OAB=90°，即可证明AB是⊙O的切线。
（2）求弧长需用到弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知半径$r=OA=2$，因此只需先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数。利用（1）中得到的∠OAB=90°，结合已知∠DAB=70°算出∠OAC的度数，再由等腰三角形OAC的内角和求出∠AOC的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
（1）AB与$\odot O$相切，证明如下：
∵ $AB = BD$，
∴ $∠BAD = ∠BDA$，
又
∵ $∠CDO = ∠BDA$（对顶角相等），
∴ $∠CDO = ∠BAD$。
∵ $OA = OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠C = ∠OAC$，
∵ $OC ⊥ OB$，
∴ $∠COB = 90°$，即$∠C + ∠CDO = 90°$，
将$∠CDO = ∠BAD$、$∠C = ∠OAC$代入得：$∠OAC + ∠BAD = 90°$，即$∠OAB = 90°$，
∴ $OA ⊥ AB$，又
∵OA是$\odot O$的半径，
∴ AB与$\odot O$相切。
（2）解：由（1）可知$∠OAB = 90°$，
∵ $∠DAB = 70°$，
∴ $∠OAC = ∠OAB - ∠DAB = 90° - 70° = 20°$，
∵ $OA = OC$，
∴ $∠C = ∠OAC = 20°$，
在△OAC中，$∠AOC = 180° - ∠C - ∠OAC = 180° - 20° - 20° = 140°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长$l=\frac{nπr}{180}$，其中$n=140$，$r=OA=2$，
代入得：$l=\frac{140π×2}{180}=\frac{14π}{9}$。
【答案】
（1）AB与$\odot O$相切，证明见解析；（2）$\frac{14π}{9}$
【知识点】
切线的判定；弧长的计算；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法和弧长计算公式，通过角度的等量代换推导未知角度是解题的核心，这类题型是圆章节的高频考点。
【难度系数】
0.7

如图，$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，则$∠ AOB$的大小是________，$\odot O$的半径是________。

解析 因为$∠ C=90°$，
所以$∠ CAB+∠ CBA=90°$。
因为$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，
所以$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$。
所以$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}×90°=45°$。
所以$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-45°=135°$。
如图，设$AB$，$AC$，$BC$与$\odot O$的切点分别为$F$，$D$，$E$，连接$OD$，$OE$。

因为$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
所以$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4$。
因为$\odot O$为$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，
所以$BF=BE$，$AD=AF$，$CD=CE$。
设$CE=CD=x$。
则$AD=AF=3-x$，
$BF=BE=4-x$。
因为$AB=AF+BF=5$，
所以$3-x+4-x=5$。所以$x=1$。
所以$CE=CD=1$。
因为$OD⊥ AC$，$OE⊥ BC$，
所以$∠ OEC=∠ C=∠ ODC=90°$。
所以四边形$OECD$是矩形。
所以$OE=CD=1$。
所以$\odot O$的半径长为$1$。
答案 $135°$ $1$

$\boldsymbol{135°}$，$\boldsymbol{1}$

【分析】
解题可分两个部分展开：①求∠AOB的度数：首先明确内切圆的圆心是三角形内角角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB和∠CBA，结合直角三角形两锐角和为90°，可算出∠OAB与∠OBA的和，再利用三角形内角和定理即可求出∠AOB的大小。②求内切圆半径：首先用勾股定理算出BC的长度，再结合切线长定理，用半径表示出AF、BF的长度，根据AF+BF=AB列方程求解即可。
【解析】
步骤1：计算∠AOB的度数
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CAB+∠ CBA=90°$
∵$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，
∴OA平分$∠ CAB$，OB平分$∠ CBA$，即$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA$
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×90°=45°$
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=180°-45°=135°$
步骤2：计算$\odot O$的半径
已知$AC=3$，$AB=5$，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设$\odot O$的半径为$r$，记$AB,AC,BC$与$\odot O$的切点分别为$F,D,E$，连接$OD,OE$。
根据切线的性质可得$OD⊥ AC$，$OE⊥ BC$，结合$∠ C=90°$，可知四边形$ODCE$是矩形，又因为$OD=OE=r$，因此四边形$ODCE$是正方形，即$CD=CE=r$。
根据切线长定理可得：$AD=AF=AC-CD=3-r$，$BE=BF=BC-CE=4-r$
∵$AB=AF+BF=5$
∴$(3-r)+(4-r)=5$，解得$r=1$，即$\odot O$的半径为1。
【答案】
$135°$，$1$
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，切线长定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的核心是明确内切圆圆心为三角形角平分线交点，熟练运用切线长的等量关系建立方程求解，掌握直角三角形内切圆半径的推导方法可以有效提高解题效率。
【难度系数】
0.75