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例2 在如图所示的海域中有各种目标,请根据要求填空:
(1)对于我军潜艇来说,在南偏东$60°$方向有哪些目标?
(2)敌舰B在我军潜艇的方向。
(3)敌舰C现距我军潜艇的图上距离为1 cm,沿北偏东$30°$方向以60 km/h的速度逃跑,可绕过正前方的暗礁(暗礁距我军潜艇的图上距离为3 cm),则我军潜艇沿方向,至少以的速度出击才能将敌舰拦截,且没有触礁的危险。
[点拨] 本题主要考查解决实际问题的能力和读图能力,重点在于从图中找出方向角及计算距离。
[解] (1)敌舰A和小岛
(2)正东
(3)北偏东$30°$ 90 km/h
(1)对于我军潜艇来说,在南偏东$60°$方向有哪些目标?
(2)敌舰B在我军潜艇的方向。
(3)敌舰C现距我军潜艇的图上距离为1 cm,沿北偏东$30°$方向以60 km/h的速度逃跑,可绕过正前方的暗礁(暗礁距我军潜艇的图上距离为3 cm),则我军潜艇沿方向,至少以的速度出击才能将敌舰拦截,且没有触礁的危险。
[点拨] 本题主要考查解决实际问题的能力和读图能力,重点在于从图中找出方向角及计算距离。
[解] (1)敌舰A和小岛
(2)正东
(3)北偏东$30°$ 90 km/h
答案
解：
(1) 对于我军潜艇来说，南偏东$60°$方向的目标是敌舰A和小岛。
(2) 正东
(3) 由比例尺$1:10\ 000\ 000$可知，图上1 cm代表的实际距离为$10000000\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{km}$。
敌舰C到暗礁的实际距离为$(3-1)×100=200\ \mathrm{km}$，敌舰C行驶到暗礁所需时间为$200÷60=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
我军潜艇到暗礁的实际距离为$3×100=300\ \mathrm{km}$，要完成拦截且无触礁危险，出击方向为北偏东$30°$，速度至少为$300÷\frac{10}{3}=90\ \mathrm{km/h}$。
综上，答案依次为：
(1) 敌舰A和小岛
(2) 正东
(3) 北偏东$30°$；$90\ \mathrm{km/h}$
(1) 对于我军潜艇来说，南偏东$60°$方向的目标是敌舰A和小岛。
(2) 正东
(3) 由比例尺$1:10\ 000\ 000$可知，图上1 cm代表的实际距离为$10000000\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{km}$。
敌舰C到暗礁的实际距离为$(3-1)×100=200\ \mathrm{km}$，敌舰C行驶到暗礁所需时间为$200÷60=\frac{10}{3}\ \mathrm{h}$。
我军潜艇到暗礁的实际距离为$3×100=300\ \mathrm{km}$，要完成拦截且无触礁危险，出击方向为北偏东$30°$，速度至少为$300÷\frac{10}{3}=90\ \mathrm{km/h}$。
综上，答案依次为：
(1) 敌舰A和小岛
(2) 正东
(3) 北偏东$30°$；$90\ \mathrm{km/h}$
解析
【分析】
解题时以我军潜艇为观测点，结合“上北下南、左西右东”的方位规则分析：
1. 解决第(1)问时，先找到南偏东60°对应的射线，线上的所有目标即为答案；
2. 第(2)问观察敌舰B和我军潜艇的相对位置，二者在同一水平向东的直线上，即可判断方位；
3. 第(3)问要实现无触礁风险的最快拦截，最优拦截点为暗礁位置（若我军越过暗礁有触礁风险，若在暗礁前拦截所需速度更高，因此最小速度对应刚好在暗礁处拦截的情况）：先根据比例尺换算出实际距离，再计算敌舰行驶到暗礁的时间，最后根据我军到暗礁的距离和该时间，算出最小出击速度，出击方向和暗礁所在方位一致即可。
【解析】
(1) 以我军潜艇为观测点，南偏东60°方向的射线上有敌舰A和小岛两个目标，因此该方向的目标是敌舰A和小岛。
(2) 敌舰B在我军潜艇的水平向东方向，因此为正东方向。
(3) 首先根据比例尺计算实际距离：比例尺$1:10000000$表示图上1cm对应实际距离$10000000\mathrm{cm}=100\mathrm{km}$。
敌舰C到暗礁的实际距离：$(3-1)×100=200\mathrm{km}$
敌舰C行驶到暗礁所需时间：$200÷60=\frac{10}{3}\mathrm{h}$
我军潜艇到暗礁的实际距离：$3×100=300\mathrm{km}$
要在$\frac{10}{3}\mathrm{h}$内行驶300km，最小速度为：$300÷\frac{10}{3}=90\mathrm{km/h}$
暗礁在我军潜艇北偏东30°方向，因此出击方向为北偏东30°。
【答案】
(1) 敌舰A和小岛
(2) 正东
(3) 北偏东$30°$；$90\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
方向角识别，比例尺应用，行程问题计算
【点评】
本题结合实际航海场景出题，既考查了方位判断的基础能力，又融合了单位换算、行程问题的计算，能够有效锻炼学生的读图能力和运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
解题时以我军潜艇为观测点，结合“上北下南、左西右东”的方位规则分析：
1. 解决第(1)问时，先找到南偏东60°对应的射线，线上的所有目标即为答案；
2. 第(2)问观察敌舰B和我军潜艇的相对位置，二者在同一水平向东的直线上，即可判断方位；
3. 第(3)问要实现无触礁风险的最快拦截，最优拦截点为暗礁位置（若我军越过暗礁有触礁风险，若在暗礁前拦截所需速度更高，因此最小速度对应刚好在暗礁处拦截的情况）：先根据比例尺换算出实际距离，再计算敌舰行驶到暗礁的时间，最后根据我军到暗礁的距离和该时间，算出最小出击速度，出击方向和暗礁所在方位一致即可。
【解析】
(1) 以我军潜艇为观测点，南偏东60°方向的射线上有敌舰A和小岛两个目标，因此该方向的目标是敌舰A和小岛。
(2) 敌舰B在我军潜艇的水平向东方向，因此为正东方向。
(3) 首先根据比例尺计算实际距离：比例尺$1:10000000$表示图上1cm对应实际距离$10000000\mathrm{cm}=100\mathrm{km}$。
敌舰C到暗礁的实际距离：$(3-1)×100=200\mathrm{km}$
敌舰C行驶到暗礁所需时间：$200÷60=\frac{10}{3}\mathrm{h}$
我军潜艇到暗礁的实际距离：$3×100=300\mathrm{km}$
要在$\frac{10}{3}\mathrm{h}$内行驶300km，最小速度为：$300÷\frac{10}{3}=90\mathrm{km/h}$
暗礁在我军潜艇北偏东30°方向，因此出击方向为北偏东30°。
【答案】
(1) 敌舰A和小岛
(2) 正东
(3) 北偏东$30°$；$90\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
方向角识别，比例尺应用，行程问题计算
【点评】
本题结合实际航海场景出题，既考查了方位判断的基础能力，又融合了单位换算、行程问题的计算，能够有效锻炼学生的读图能力和运用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
|变式训练2| 如图,点A的位置对于点O来说,是南偏东$30°$方向30 km处,则对于点O来说,点B的位置是
北偏东$45°$方向 40 km 处
,点C的位置是北偏西$30°$方向 35 km 处
,A,D两点间的距离是50 km
。答案
北偏东$45°$方向 40 km 处 北偏西$30°$方向 35 km 处 50 km
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确确定观测点外某点的位置需要方向、距离两个要素，遵循“上北下南、左西右东”的方向规则：
1. 求点B位置：直接观察B与正北方向的夹角、所在方位，以及到O的距离即可；
2. 求点C位置：先找到C所在的方位（正北西侧），再通过正西和正北的夹角为90°，算出C与正北方向的夹角，结合到O的距离得出位置；
3. 求A、D两点距离：先判断OA和OD的夹角为90°，得到直角三角形，再用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
1. 点B的位置：由图可知，点B在点O的正北方向东侧，与正北方向夹角为45°，到O点的距离是40km，因此点B的位置是北偏东45°方向40km处；
2. 点C的位置：点C在点O的正北方向西侧，已知它与正西方向的夹角为60°，则与正北方向的夹角为$90°-60°=30°$，到O点的距离是35km，因此点C的位置是北偏西30°方向35km处；
3. A、D两点距离：观察可得，OA与OD的夹角为90°，$△ AOD$是直角三角形，其中$OA=30\mathrm{km}$，$OD=40\mathrm{km}$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{km}$。
【答案】
北偏东$45°$方向 40 km 处；北偏西$30°$方向 35 km 处；50 km
【知识点】
确定位置；方向角；勾股定理
【点评】
本题核心考查用方向和距离确定位置的方法，以及勾股定理的基础应用，解题时要注意方向角的表述规范，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确确定观测点外某点的位置需要方向、距离两个要素，遵循“上北下南、左西右东”的方向规则：
1. 求点B位置：直接观察B与正北方向的夹角、所在方位，以及到O的距离即可；
2. 求点C位置：先找到C所在的方位（正北西侧），再通过正西和正北的夹角为90°，算出C与正北方向的夹角，结合到O的距离得出位置；
3. 求A、D两点距离：先判断OA和OD的夹角为90°，得到直角三角形，再用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
1. 点B的位置：由图可知，点B在点O的正北方向东侧，与正北方向夹角为45°，到O点的距离是40km，因此点B的位置是北偏东45°方向40km处；
2. 点C的位置：点C在点O的正北方向西侧，已知它与正西方向的夹角为60°，则与正北方向的夹角为$90°-60°=30°$，到O点的距离是35km，因此点C的位置是北偏西30°方向35km处；
3. A、D两点距离：观察可得，OA与OD的夹角为90°，$△ AOD$是直角三角形，其中$OA=30\mathrm{km}$，$OD=40\mathrm{km}$，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{km}$。
【答案】
北偏东$45°$方向 40 km 处；北偏西$30°$方向 35 km 处；50 km
【知识点】
确定位置；方向角；勾股定理
【点评】
本题核心考查用方向和距离确定位置的方法，以及勾股定理的基础应用，解题时要注意方向角的表述规范，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 下列条件中,不能确定位置的是(
A.影院一楼的座位是4排7号
B.某市位于北纬$30°$,东经$120°$
C.一只风筝飞到距A处20 m处
D.甲地在乙地正东方向45 km处
C
)A.影院一楼的座位是4排7号
B.某市位于北纬$30°$,东经$120°$
C.一只风筝飞到距A处20 m处
D.甲地在乙地正东方向45 km处
答案
C
解析
【分析】
要判断条件能否确定位置，首先要明确：在平面内确定一个唯一的位置，需要两个相互独立、可以锁定唯一位置的有效数据，缺少对应数据或数据不足以锁定唯一位置时，就无法确定位置。解题时只需逐个验证每个选项的条件是否满足“两个有效数据、唯一锁定位置”的要求即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 给出了“4排”“7号”两个独立数据，可唯一对应影院的一个座位，能确定位置，不符合题意；
B. 给出了“北纬30°”“东经120°”两个经纬度坐标数据，可唯一对应某市的地理位置，能确定位置，不符合题意；
C. 仅给出“距A处20m”的距离条件，没有说明方向，满足该条件的位置是以A为圆心、20m为半径的圆上所有点，无法锁定唯一位置，不能确定位置，符合题意；
D. 给出了“正东方向”“45km”两个数据，可唯一确定甲地相对于乙地的位置，能确定位置，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
确定位置的要素；方位定位；经纬度定位
【点评】
本题是确定位置的基础应用题，解题核心是牢记平面内确定唯一位置需要两个独立的有效条件，易错点是容易忽略仅给出距离、没有方向时无法锁定唯一位置。
【难度系数】
0.9
要判断条件能否确定位置，首先要明确：在平面内确定一个唯一的位置，需要两个相互独立、可以锁定唯一位置的有效数据，缺少对应数据或数据不足以锁定唯一位置时，就无法确定位置。解题时只需逐个验证每个选项的条件是否满足“两个有效数据、唯一锁定位置”的要求即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 给出了“4排”“7号”两个独立数据，可唯一对应影院的一个座位，能确定位置，不符合题意；
B. 给出了“北纬30°”“东经120°”两个经纬度坐标数据，可唯一对应某市的地理位置，能确定位置，不符合题意；
C. 仅给出“距A处20m”的距离条件，没有说明方向，满足该条件的位置是以A为圆心、20m为半径的圆上所有点，无法锁定唯一位置，不能确定位置，符合题意；
D. 给出了“正东方向”“45km”两个数据，可唯一确定甲地相对于乙地的位置，能确定位置，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
确定位置的要素；方位定位；经纬度定位
【点评】
本题是确定位置的基础应用题，解题核心是牢记平面内确定唯一位置需要两个独立的有效条件，易错点是容易忽略仅给出距离、没有方向时无法锁定唯一位置。
【难度系数】
0.9
2.某次大型活动由大学生组成仪仗队，若甲同学站在第6行第8列可以表示为(6,8)，则乙同学站在第20行第7列可表示为(
A.(7,20)
B.(20,7)
C.(7,7)
D.(20,20)
B
)A.(7,20)
B.(20,7)
C.(7,7)
D.(20,20)
答案
B
解析
【分析】
首先我们需要先从题目给出的示例中提炼数对的表示规则：已知第6行第8列被表示为(6,8)，说明该表示方法中，数对的第一个数对应所在的行数，第二个数对应所在的列数。接下来我们只需要把乙同学的行、列信息对应填入数对的对应位置即可得到答案，注意不要自行颠倒行列的顺序，要严格遵循题目给出的规则。
【解析】
解：由题意可知，数对的第一个数表示行数，第二个数表示列数。
乙同学站在第20行第7列，因此对应数对中第一个数为20，第二个数为7，即可表示为(20,7)。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
有序数对；用数对确定位置
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是先结合示例明确数对中两个数分别对应的实际意义，再代入对应信息求解即可，只要认真审题，明确规则就不会出错。
【难度系数】
0.9
首先我们需要先从题目给出的示例中提炼数对的表示规则：已知第6行第8列被表示为(6,8)，说明该表示方法中，数对的第一个数对应所在的行数，第二个数对应所在的列数。接下来我们只需要把乙同学的行、列信息对应填入数对的对应位置即可得到答案，注意不要自行颠倒行列的顺序，要严格遵循题目给出的规则。
【解析】
解：由题意可知，数对的第一个数表示行数，第二个数表示列数。
乙同学站在第20行第7列，因此对应数对中第一个数为20，第二个数为7，即可表示为(20,7)。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
有序数对；用数对确定位置
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是先结合示例明确数对中两个数分别对应的实际意义，再代入对应信息求解即可，只要认真审题，明确规则就不会出错。
【难度系数】
0.9
3.点A的位置如图所示，则关于点A的位置下列说法中正确的是（
A.距点O 4 km处
B.在点O北偏东$50°$方向4 km处
C.北偏东$40°$方向
D.在点O北偏东$40°$方向距点O 4 km处
D
）A.距点O 4 km处
B.在点O北偏东$50°$方向4 km处
C.北偏东$40°$方向
D.在点O北偏东$40°$方向距点O 4 km处
答案
D
解析
【分析】
要确定点A的位置，必须同时明确方向和距离两个条件，缺一不可。首先根据图中给出的夹角计算正确的方向角：图中OA与正东方向夹角为50°，正北和正东方向夹角为90°，因此可算出OA与正北方向的夹角为90°-50°=40°，也就是北偏东40°方向，再结合OA长度为4km，就可以确定点A的准确位置，再逐一排查选项即可。
【解析】
平面内确定一个点的位置需要同时具备方向和距离两个条件：
1. 计算方向角：正北方向与正东方向的夹角为90°，已知OA与正东方向夹角为50°，因此OA与正北方向的夹角为$90° - 50° = 40°$，即点A在点O北偏东40°方向；
2. 确定距离：由图可知OA长度为4km，即点A距点O 4km。
对选项逐一判断：
A. 只有距离没有方向，无法确定准确位置，错误；
B. 方向描述错误，不是北偏东50°，错误；
C. 只有方向没有距离，无法确定准确位置，错误；
D. 方向和距离描述均正确，符合点A的位置。
【答案】
D
【知识点】
确定位置的要素；方向角的计算
【点评】
本题易错点是容易误将OA与正东方向的夹角当做北偏东的角度，解题时要先明确方向角是以正北或正南方向为基准来描述的，同时牢记确定平面内的位置必须同时有方向和距离两个条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
要确定点A的位置，必须同时明确方向和距离两个条件，缺一不可。首先根据图中给出的夹角计算正确的方向角：图中OA与正东方向夹角为50°，正北和正东方向夹角为90°，因此可算出OA与正北方向的夹角为90°-50°=40°，也就是北偏东40°方向，再结合OA长度为4km，就可以确定点A的准确位置，再逐一排查选项即可。
【解析】
平面内确定一个点的位置需要同时具备方向和距离两个条件：
1. 计算方向角：正北方向与正东方向的夹角为90°，已知OA与正东方向夹角为50°，因此OA与正北方向的夹角为$90° - 50° = 40°$，即点A在点O北偏东40°方向；
2. 确定距离：由图可知OA长度为4km，即点A距点O 4km。
对选项逐一判断：
A. 只有距离没有方向，无法确定准确位置，错误；
B. 方向描述错误，不是北偏东50°，错误；
C. 只有方向没有距离，无法确定准确位置，错误；
D. 方向和距离描述均正确，符合点A的位置。
【答案】
D
【知识点】
确定位置的要素；方向角的计算
【点评】
本题易错点是容易误将OA与正东方向的夹角当做北偏东的角度，解题时要先明确方向角是以正北或正南方向为基准来描述的，同时牢记确定平面内的位置必须同时有方向和距离两个条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
