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例3 有一列数2,-4,8,-16,32,-64,…,其中第n个数是$2× (-2)^{n-1}(n≥ 1)$,如果这列数中,某四个相邻数的和为80,那么求这四个数中的最小数.
解:
解:
答案
例3 解:这四个数中的最小数为-64.
解析
【分析】
解题时首先观察数列规律，可得该数列后一个数是前一个数的-2倍，我们可以设四个相邻数中第一个数为未知数，根据规律表示出其余三个数，再结合“四个相邻数的和为80”的等量关系列一元一次方程，解方程求出四个数后比较大小即可得到最小数。
【解析】
解：设四个相邻数中的第一个数为$x$，根据数列规律，其余三个数分别为$-2x$、$4x$、$-8x$。
由四个数的和为80，可列方程：
$x + (-2x) + 4x + (-8x) = 80$
合并同类项得：
$-5x = 80$
系数化为1得：
$x = -16$
则四个数分别为：$-16$，$-2×(-16)=32$，$4×(-16)=-64$，$-8×(-16)=128$。
比较大小得$-64 ＜ -16 ＜ 32 ＜ 128$，即最小数为$-64$。
【答案】
这四个数中的最小数为-64。
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；合并同类项解方程
【点评】
本题结合数字规律考查一元一次方程的实际应用，解题关键是准确梳理数列相邻项的数量关系，正确设未知数列方程求解，最后要注意按要求对结果进行筛选。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数列规律，可得该数列后一个数是前一个数的-2倍，我们可以设四个相邻数中第一个数为未知数，根据规律表示出其余三个数，再结合“四个相邻数的和为80”的等量关系列一元一次方程，解方程求出四个数后比较大小即可得到最小数。
【解析】
解：设四个相邻数中的第一个数为$x$，根据数列规律，其余三个数分别为$-2x$、$4x$、$-8x$。
由四个数的和为80，可列方程：
$x + (-2x) + 4x + (-8x) = 80$
合并同类项得：
$-5x = 80$
系数化为1得：
$x = -16$
则四个数分别为：$-16$，$-2×(-16)=32$，$4×(-16)=-64$，$-8×(-16)=128$。
比较大小得$-64 ＜ -16 ＜ 32 ＜ 128$，即最小数为$-64$。
【答案】
这四个数中的最小数为-64。
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；合并同类项解方程
【点评】
本题结合数字规律考查一元一次方程的实际应用，解题关键是准确梳理数列相邻项的数量关系，正确设未知数列方程求解，最后要注意按要求对结果进行筛选。
【难度系数】
0.7
1. 若三个连续偶数的和是24，则它们的积是（
A.48
B.480
C.240
D.120
B
）A.48
B.480
C.240
D.120
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，解决这类问题优先考虑设未知数列方程求解。为了简化计算，可以设中间的偶数为未知数，这样另外两个偶数可以表示为比它小2和大2的数，再根据三个数的和是24列方程，求出三个偶数后计算乘积即可得到结果。
【解析】
设三个连续偶数中间的数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据三个数的和是24，列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
合并同类项可得：$3x=24$
系数化为1得：$x=8$
因此三个连续偶数分别为$8-2=6$、$8$、$8+2=10$
它们的积为：$6×8×10=480$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；偶数的性质
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是掌握连续偶数相差2的特点，巧设未知数可以简化计算过程，主要考查学生用方程解决数字类问题的能力。
【难度系数】
0.85
首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，解决这类问题优先考虑设未知数列方程求解。为了简化计算，可以设中间的偶数为未知数，这样另外两个偶数可以表示为比它小2和大2的数，再根据三个数的和是24列方程，求出三个偶数后计算乘积即可得到结果。
【解析】
设三个连续偶数中间的数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据三个数的和是24，列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
合并同类项可得：$3x=24$
系数化为1得：$x=8$
因此三个连续偶数分别为$8-2=6$、$8$、$8+2=10$
它们的积为：$6×8×10=480$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；偶数的性质
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是掌握连续偶数相差2的特点，巧设未知数可以简化计算过程，主要考查学生用方程解决数字类问题的能力。
【难度系数】
0.85
2. 方程2026x - 2025x + 3x = 2024的解是
x=506
.答案
2. x=506
解析
【分析】
本题是基础的一元一次方程求解问题，解题思路如下：首先观察到方程左侧均为含未知数x的同类项，第一步先将左侧的同类项合并，计算出x的总系数；第二步将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：首先对左侧同类项进行合并：
$2026x - 2025x + 3x = (2026 - 2025 + 3)x = 4x$
此时方程化简为：$4x = 2024$
将系数化为1，两边同时除以4：
$x = 2024 ÷ 4 = 506$
【答案】
x=506
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考察同类项合并的运算规则以及系数化为1的操作，计算时注意系数加减的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题是基础的一元一次方程求解问题，解题思路如下：首先观察到方程左侧均为含未知数x的同类项，第一步先将左侧的同类项合并，计算出x的总系数；第二步将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：首先对左侧同类项进行合并：
$2026x - 2025x + 3x = (2026 - 2025 + 3)x = 4x$
此时方程化简为：$4x = 2024$
将系数化为1，两边同时除以4：
$x = 2024 ÷ 4 = 506$
【答案】
x=506
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，核心考察同类项合并的运算规则以及系数化为1的操作，计算时注意系数加减的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3. 有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。”“倍加增”指从塔的顶层到底层，下一层灯的盏数都是上一层的2倍，“尖头”是指顶层，则宝塔的顶层有
3
盏红灯。答案
3. 3
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先明确未知量：我们要求顶层的灯数，可直接设顶层有x盏灯。根据“倍加增”的规则，从顶层往下每层灯数都是上一层的2倍，可依次表示出七层塔每层的灯数，再结合总灯数为381盏的条件，将七层灯数相加等于总灯数列方程，最后通过合并同类项求解方程即可得到顶层灯数。
【解析】
解：设宝塔的顶层有$x$盏红灯。
根据“下一层灯的盏数都是上一层的2倍”，从顶层到底层每层的灯数依次为：$x$、$2x$、$4x$、$8x$、$16x$、$32x$、$64x$。
根据总灯数为381盏，列方程得：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381$
合并同类项，得：
$127x = 381$
系数化为1，得：
$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题取材于古代数学名题，解题关键是读懂题意，准确梳理各层灯数的倍比关系，建立方程模型求解，能有效考查学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题时先明确未知量：我们要求顶层的灯数，可直接设顶层有x盏灯。根据“倍加增”的规则，从顶层往下每层灯数都是上一层的2倍，可依次表示出七层塔每层的灯数，再结合总灯数为381盏的条件，将七层灯数相加等于总灯数列方程，最后通过合并同类项求解方程即可得到顶层灯数。
【解析】
解：设宝塔的顶层有$x$盏红灯。
根据“下一层灯的盏数都是上一层的2倍”，从顶层到底层每层的灯数依次为：$x$、$2x$、$4x$、$8x$、$16x$、$32x$、$64x$。
根据总灯数为381盏，列方程得：
$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381$
合并同类项，得：
$127x = 381$
系数化为1，得：
$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题取材于古代数学名题，解题关键是读懂题意，准确梳理各层灯数的倍比关系，建立方程模型求解，能有效考查学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 解下列方程：
(1) $4x + 2x = -2 - 1$；
(2) $-\frac{1}{2}y - y = 7$。
(1) $4x + 2x = -2 - 1$；
(2) $-\frac{1}{2}y - y = 7$。
答案
4. 解:(1)合并同类项,得6x=-3.
系数化为1,得$x=-\frac{1}{2}$.
(2)合并同类项,得$-\frac{3}{2}y=7$.
系数化为1,得$y=-\frac{14}{3}$.
系数化为1,得$x=-\frac{1}{2}$.
(2)合并同类项,得$-\frac{3}{2}y=7$.
系数化为1,得$y=-\frac{14}{3}$.
解析
【分析】
这两道题都是基础的一元一次方程求解问题，解题遵循“合并同类项→系数化为1”的两步思路。第一步先将方程左右两边的同类项分别合并：含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，把方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第二步将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解，计算时要注意符号和分数运算的准确性。
【解析】
(1) 合并同类项：左边$4x+2x=(4+2)x=6x$，右边$-2-1=-3$，可得$6x=-3$；
系数化为1：方程两边同时除以6，得$x=-3÷6=-\frac{1}{2}$。
(2) 合并同类项：左边$-\frac{1}{2}y - y = (-\frac{1}{2} -1)y = -\frac{3}{2}y$，可得$-\frac{3}{2}y=7$；
系数化为1：方程两边同时除以$-\frac{3}{2}$（即乘以$-\frac{2}{3}$），得$y=7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$；(2) $y=-\frac{14}{3}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，核心考查合并同类项的运算规则和系数化为1的操作，解题时需注意负数运算和分数乘除的准确性，避免因符号、计算失误丢分。
【难度系数】
0.9
这两道题都是基础的一元一次方程求解问题，解题遵循“合并同类项→系数化为1”的两步思路。第一步先将方程左右两边的同类项分别合并：含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，把方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第二步将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解，计算时要注意符号和分数运算的准确性。
【解析】
(1) 合并同类项：左边$4x+2x=(4+2)x=6x$，右边$-2-1=-3$，可得$6x=-3$；
系数化为1：方程两边同时除以6，得$x=-3÷6=-\frac{1}{2}$。
(2) 合并同类项：左边$-\frac{1}{2}y - y = (-\frac{1}{2} -1)y = -\frac{3}{2}y$，可得$-\frac{3}{2}y=7$；
系数化为1：方程两边同时除以$-\frac{3}{2}$（即乘以$-\frac{2}{3}$），得$y=7×(-\frac{2}{3})=-\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) $x=-\frac{1}{2}$；(2) $y=-\frac{14}{3}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，核心考查合并同类项的运算规则和系数化为1的操作，解题时需注意负数运算和分数乘除的准确性，避免因符号、计算失误丢分。
【难度系数】
0.9
5. 筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比为1：2：5，则苹果有多少个？
答案
5. 解:苹果有250个.
解析
【分析】
本题属于比例分配类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先观察到三种水果的数量比为1:2:5，我们可以设每份数量为x，这样三种水果的数量都可以用含x的代数式表示；再根据三种水果总数量为400个这一等量关系列出方程，最后解方程求出x的值，再计算苹果对应的数量即可。
【解析】
解：设每份水果的数量为x个，则橘子有x个，梨有2x个，苹果有5x个。
根据三种水果总数量为400个，列方程得：
$x + 2x + 5x = 400$
合并同类项，得：$8x = 400$
系数化为1，得：$x = 50$
则苹果的数量为$5x = 5×50 = 250$（个）
【答案】
苹果有250个。
【知识点】
按比例分配、一元一次方程应用、合并同类项解方程
【点评】
本题是比例分配类基础应用题，解题的核心是根据比例关系合理设未知数，结合总量建立方程求解，属于需要熟练掌握的基础题型，既可以用方程法解答，也可以用分数乘法的算术方法求解。
【难度系数】
0.8
本题属于比例分配类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先观察到三种水果的数量比为1:2:5，我们可以设每份数量为x，这样三种水果的数量都可以用含x的代数式表示；再根据三种水果总数量为400个这一等量关系列出方程，最后解方程求出x的值，再计算苹果对应的数量即可。
【解析】
解：设每份水果的数量为x个，则橘子有x个，梨有2x个，苹果有5x个。
根据三种水果总数量为400个，列方程得：
$x + 2x + 5x = 400$
合并同类项，得：$8x = 400$
系数化为1，得：$x = 50$
则苹果的数量为$5x = 5×50 = 250$（个）
【答案】
苹果有250个。
【知识点】
按比例分配、一元一次方程应用、合并同类项解方程
【点评】
本题是比例分配类基础应用题，解题的核心是根据比例关系合理设未知数，结合总量建立方程求解，属于需要熟练掌握的基础题型，既可以用方程法解答，也可以用分数乘法的算术方法求解。
【难度系数】
0.8
6. 有一列数2,-6,18,-54,162,-486,…,其中第n个数是$2× (-3)^{n-1}$（$n≥1$）,如果这列数中,某四个相邻数的和是1080,那么求这四个数中最大数与最小数的和.
答案
6. 解:972.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据数列的通项公式，设四个相邻数中的第一个数为第n项，即可用含n的式子表示出其余三个相邻数；再根据“四个相邻数的和是1080”这一等量关系列方程，解方程求出n的值后，就能得到这四个数，最后计算最大数与最小数的和即可。
【解析】
设四个相邻数中的第一个数是第n个数，根据通项公式，这四个数分别为：
$2× (-3)^{n-1}$，$2× (-3)^{n}$，$2× (-3)^{n+1}$，$2× (-3)^{n+2}$
根据题意列方程：
$2× (-3)^{n-1} + 2× (-3)^{n} + 2× (-3)^{n+1} + 2× (-3)^{n+2} = 1080$
提取公因式$2× (-3)^{n-1}$，得：
$2× (-3)^{n-1}×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] = 1080$
计算括号内的数值：$1 -3 +9 -27 = -20$，代入得：
$2× (-3)^{n-1}×(-20) = 1080$
化简得：$-40× (-3)^{n-1} = 1080$
两边同时除以$-40$，得：
$(-3)^{n-1} = -27$
因为$(-3)^3 = -27$，所以$n-1=3$，解得$n=4$
则这四个数分别为：
第4个数：$2×(-3)^{3}=-54$
第5个数：$2×(-3)^{4}=162$
第6个数：$2×(-3)^{5}=-486$
第7个数：$2×(-3)^{6}=1458$
其中最大数是1458，最小数是-486，两数之和为：$1458 + (-486) = 972$
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；合并同类项
【点评】
本题将数字规律与一元一次方程结合考查，解题的关键是熟练掌握数列通项的表示方法，正确提取公因式简化方程求解，计算过程中要注意负数乘方的符号变化。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先根据数列的通项公式，设四个相邻数中的第一个数为第n项，即可用含n的式子表示出其余三个相邻数；再根据“四个相邻数的和是1080”这一等量关系列方程，解方程求出n的值后，就能得到这四个数，最后计算最大数与最小数的和即可。
【解析】
设四个相邻数中的第一个数是第n个数，根据通项公式，这四个数分别为：
$2× (-3)^{n-1}$，$2× (-3)^{n}$，$2× (-3)^{n+1}$，$2× (-3)^{n+2}$
根据题意列方程：
$2× (-3)^{n-1} + 2× (-3)^{n} + 2× (-3)^{n+1} + 2× (-3)^{n+2} = 1080$
提取公因式$2× (-3)^{n-1}$，得：
$2× (-3)^{n-1}×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] = 1080$
计算括号内的数值：$1 -3 +9 -27 = -20$，代入得：
$2× (-3)^{n-1}×(-20) = 1080$
化简得：$-40× (-3)^{n-1} = 1080$
两边同时除以$-40$，得：
$(-3)^{n-1} = -27$
因为$(-3)^3 = -27$，所以$n-1=3$，解得$n=4$
则这四个数分别为：
第4个数：$2×(-3)^{3}=-54$
第5个数：$2×(-3)^{4}=162$
第6个数：$2×(-3)^{5}=-486$
第7个数：$2×(-3)^{6}=1458$
其中最大数是1458，最小数是-486，两数之和为：$1458 + (-486) = 972$
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；合并同类项
【点评】
本题将数字规律与一元一次方程结合考查，解题的关键是熟练掌握数列通项的表示方法，正确提取公因式简化方程求解，计算过程中要注意负数乘方的符号变化。
【难度系数】
0.6
