1.已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$,点$C$是线段$AB$的中点,则线段$BC$的长是 ()

A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$

1. C

【分析】
解题时首先回忆线段中点的定义：线段上把线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点，因此中点分原线段得到的两条线段长度均为原线段长度的一半。本题要求BC的长度，已知C是AB的中点，直接利用中点性质用AB的长度除以2即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的中点，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=\frac{1}{2}×10\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义、线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段中点性质的直接应用，只要熟练掌握线段中点的概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$,点$C$是直线$AB$上一点，$BC=4\ \mathrm{cm}$,若$M$是线段$AC$的中点，$N$是线段$BC$的中点，则线段$MN$的长度是（）

A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$

2. B

【分析】
解题时首先注意点C在直线AB上，因此点C的位置有两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上（若点C在BA延长线上，BC长度会大于AB，不符合题意，故排除）。接下来分别针对两种情况，结合线段中点的定义计算AC、BC的一半长度，再通过线段的和差关系求出MN的长度，最后综合两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 10\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$
∵M是AC的中点，N是BC的中点
∴$MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm}$
∴$MN = MC + CN = 3\ \mathrm{cm} + 2\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 10\ \mathrm{cm} + 4\ \mathrm{cm} = 14\ \mathrm{cm}$
∵M是AC的中点，N是BC的中点
∴$MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×14\ \mathrm{cm} = 7\ \mathrm{cm}$，$CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm}$
∴$MN = MC - CN = 7\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm}$
综上，两种情况下线段MN的长度均为5cm。
【答案】
B
【知识点】
线段中点定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题易因只考虑单一位置情况或分类讨论后误以为结果不同错选D，实际两种情况计算结果一致，掌握“直线上两点间任意一点与两端点中点的距离等于原线段长度的一半”这一规律可快速解题。
【难度系数】
0.6