3. 如图,点M是AB的中点,点N是BD的中点,AB=8 cm,BC=12 cm,CD=6 cm.
(1)求BM的长;
(2)求AN的长.

3. 解:(1)4 cm；(2)17 cm.

【分析】
本题考查线段的基础计算，解题思路如下：① 解决第一问：已知M是AB中点，根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两部分，因此BM的长度为AB长度的一半，直接代入AB的数值计算即可。② 解决第二问：要求AN的长度，结合线段图可知AN=AB+BN，因此需要先求出BN的长度；首先根据线段和的关系，由BC和CD的长度算出BD的长度，再根据N是BD中点的条件求出BN的长度，最后将AB和BN相加即可得到AN的长度。
【解析】
(1) 因为点M是AB的中点，由线段中点的定义可得：
$\displaystyle BM=\frac{1}{2}AB$
将$AB=8\ \mathrm{cm}$代入得：
$\displaystyle BM=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
(2) 先计算BD的长度，根据线段和的关系：
$BD=BC+CD$
将$BC=12\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$BD=12+6=18\ \mathrm{cm}$
因为点N是BD的中点，由线段中点的定义可得：
$\displaystyle BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$
再根据线段和的关系，$AN=AB+BN$，代入数值计算得：
$AN=8+9=17\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1) $4\ \mathrm{cm}$；(2) $17\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的常规基础题，解题的核心是结合线段图理清各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点的性质和线段和差的计算方法就能快速得出结果，解题时要注意区分各线段对应的长度，避免计算失误。
【难度系数】
0.9

4. 如图,已知点C是线段AB延长线上一点,M为线段AC的中点,N为线段BC的中点,若AB=8,求MN的长.

4. 解:4.

【分析】
解题时先梳理已知条件：M是AC中点，N是BC中点，AB=8，要求MN的长度。首先根据线段中点的性质，中点将原线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$，可先将MC、NC分别用AC、BC表示；再观察图形可得MN=MC-NC，代入后整理式子会发现AC-BC恰好等于已知线段AB，最后代入AB的数值即可求出MN的长。
【解析】
解：
∵M是线段AC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，
∵N是线段BC的中点，
∴$NC=\frac{1}{2}BC$，
由图可知$MN=MC-NC$，
代入得：$MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
又
∵$AC-BC=AB=8$，
∴$MN=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点的性质转化线段关系，通过整体代入的方法将未知线段和已知线段关联起来求解，熟练掌握线段和差的转化技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知A,B两村分别在公路l两侧,现要在公路旁建一汽车站,使两村到汽车站距离之和最短,那么汽车站应建在什么位置?请在图中表示出汽车站的位置.

5. 解:如解图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置。

【分析】
要在公路l上找一点，使它到A、B两村的距离之和最短，我们可以结合已学的线段性质思考：两点之间，线段最短。如果我们将A、B两点用线段连接，这条线段与公路l的交点就是我们要找的位置，因为此时两村到这个点的距离之和刚好等于线段AB的长度，若选择l上其他任意一点，两村到该点的距离之和都会大于线段AB的长度，因此这个交点就是距离之和最短的位置。
【解析】
解：根据“两点之间，线段最短”的性质，按以下步骤操作：
1. 用直尺连接A、B两点得到线段AB；
2. 找到线段AB与直线l的交点，记为点P，该点即为所求的汽车站位置，此时A、B两村到P点的距离之和最短。
【答案】
如解图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径作图
【点评】
这道题是线段性质在实际生活中的典型应用，解题关键是熟练掌握两点之间线段最短的性质，能够将实际选址问题转化为数学中的线段相交问题，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9

6. 如图,设A,B,C,D分别为草原上的四口油井,现在要建立一个维修站H,试问维修站建在何处,才能使它到四口油井的距离之和最小?

6. 解:如解图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置. 根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小。

【分析】
我们的目标是找到点H，使得到A、B、C、D四点的距离之和HA+HB+HC+HD最小。可以把距离和拆分为(HA+HC)和(HB+HD)两部分分别分析：根据“两点之间，线段最短”的公理，要使HA+HC最小，点H必须在线段AC上，否则HA+HC会大于AC的长度；同理，要使HB+HD最小，点H必须在线段BD上。同时满足这两个条件的点，就是线段AC和线段BD的交点，此时总距离和为AC+BD，是最小的。
【解析】
要使维修站H到四口油井的距离之和最小，即求HA+HB+HC+HD的最小值：
1. 拆分距离和：$\mathrm{HA}+\mathrm{HB}+\mathrm{HC}+\mathrm{HD}=(\mathrm{HA}+\mathrm{HC})+(\mathrm{HB}+\mathrm{HD})$
2. 根据两点之间线段最短可知：
当H在线段AC上时，$\mathrm{HA}+\mathrm{HC}$取得最小值，最小值等于线段AC的长度；
当H在线段BD上时，$\mathrm{HB}+\mathrm{HD}$取得最小值，最小值等于线段BD的长度。
3. 要让两个和同时取最小值，H需要同时在线段AC和BD上，即两线段的交点即为所求点。
【答案】
如解图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置. 根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小。
【知识点】
两点之间线段最短，线段和最值求解
【点评】
本题是线段公理在实际生活中的应用，解题核心是将四个点的距离和拆解为两组两点之间的距离和，结合线段最短的性质确定最优位置，考察了学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8