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在解某些一元二次方程时，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于
0
的形式，再使这两个一次式分别等于0
，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.答案
1. 0
2. 0
2. 0
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时可依据因式分解法的核心原理推导答案：因式分解法的理论依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。因此我们解一元二次方程时，首先要将方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式等于0，转化为一元一次方程求解，实现降次目的，由此可直接推出两个空的答案。
【解析】
根据因式分解法的定义：解一元二次方程时，先把方程变形为等号右侧为0，左侧分解为两个一次因式乘积的形式，即$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=0$；再根据乘法的性质，分别令两个一次式等于0，得到两个一元一次方程$a_1x+b_1=0$、$a_2x+b_2=0$，解这两个方程即可得到原一元二次方程的根，从而完成降次求解。因此两个空依次填0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
1. 因式分解法的概念
2. 一元二次方程降次方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查因式分解法解一元二次方程的核心原理和定义，是学习一元二次方程解法的入门知识点，牢固掌握基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时可依据因式分解法的核心原理推导答案：因式分解法的理论依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。因此我们解一元二次方程时，首先要将方程变形为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式等于0，转化为一元一次方程求解，实现降次目的，由此可直接推出两个空的答案。
【解析】
根据因式分解法的定义：解一元二次方程时，先把方程变形为等号右侧为0，左侧分解为两个一次因式乘积的形式，即$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=0$；再根据乘法的性质，分别令两个一次式等于0，得到两个一元一次方程$a_1x+b_1=0$、$a_2x+b_2=0$，解这两个方程即可得到原一元二次方程的根，从而完成降次求解。因此两个空依次填0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
1. 因式分解法的概念
2. 一元二次方程降次方法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查因式分解法解一元二次方程的核心原理和定义，是学习一元二次方程解法的入门知识点，牢固掌握基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 方程$x^2 + 3x = 0$的根是（
A.$x_1=0, x_2=0$
B.$x_1=3, x_2=3$
C.$x_1=0, x_2=3$
D.$x_1=0, x_2=-3$
D
）.A.$x_1=0, x_2=0$
B.$x_1=3, x_2=3$
C.$x_1=0, x_2=3$
D.$x_1=0, x_2=-3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程左边的形式，两项都含有公因式$x$，适合采用因式分解法解题。解题思路为：先对等式左边提取公因式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，再对应选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 3x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 3) = 0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x + 3 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便的求解方法，熟练掌握因式分解的方法和$ab=0$的性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程左边的形式，两项都含有公因式$x$，适合采用因式分解法解题。解题思路为：先对等式左边提取公因式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，再对应选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 3x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 3) = 0$
根据乘法的性质，若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，因此可得：
$x = 0$ 或 $x + 3 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是观察方程特征选择简便的求解方法，熟练掌握因式分解的方法和$ab=0$的性质即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程中，适合用因式分解法解方程的是（
A.$x^2 + x + 1 = 0$
B.$x^2 - 3x + 1 = 0$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$(x - 1)^2 = x - 1$
D
）。A.$x^2 + x + 1 = 0$
B.$x^2 - 3x + 1 = 0$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$(x - 1)^2 = x - 1$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断方程是否适合用因式分解法求解，首先明确因式分解法的核心要求：方程可变形为“几个整式乘积等于0”的形式，且变形难度低。解题时我们逐一分析每个选项：先观察方程结构，判断是否能通过移项、提公因式、十字相乘等方式将左边分解为一次因式乘积、右边化为0，无法完成该变形的则不适合用因式分解法。
【解析】
因式分解法解方程的适用条件：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积。我们逐个分析选项：
A. $x^2 + x + 1 = 0$，判别式$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，且无法在实数范围内因式分解，不适用；
B. $x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5$，不是完全平方数，无法用十字相乘等方法因式分解，适合用公式法求解，不适用；
C. $x^2 + 2x + 3 = 0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实数根，无法因式分解，不适用；
D. 先移项将右边化为0：$(x-1)^2 - (x-1) = 0$，提取公因式$(x-1)$可得：$(x-1)(x-1-1)=0$，即$(x-1)(x-2)=0$，可直接用因式分解法求解，适用。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题的关键是熟练掌握因式分解法的适用特征，能快速识别出可因式分解的方程结构，平时学习中要注意区分不同解方程方法的适用场景，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否适合用因式分解法求解，首先明确因式分解法的核心要求：方程可变形为“几个整式乘积等于0”的形式，且变形难度低。解题时我们逐一分析每个选项：先观察方程结构，判断是否能通过移项、提公因式、十字相乘等方式将左边分解为一次因式乘积、右边化为0，无法完成该变形的则不适合用因式分解法。
【解析】
因式分解法解方程的适用条件：方程右边为0，左边可分解为两个一次因式的乘积。我们逐个分析选项：
A. $x^2 + x + 1 = 0$，判别式$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，且无法在实数范围内因式分解，不适用；
B. $x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5$，不是完全平方数，无法用十字相乘等方法因式分解，适合用公式法求解，不适用；
C. $x^2 + 2x + 3 = 0$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，无实数根，无法因式分解，不适用；
D. 先移项将右边化为0：$(x-1)^2 - (x-1) = 0$，提取公因式$(x-1)$可得：$(x-1)(x-1-1)=0$，即$(x-1)(x-2)=0$，可直接用因式分解法求解，适用。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题的关键是熟练掌握因式分解法的适用特征，能快速识别出可因式分解的方程结构，平时学习中要注意区分不同解方程方法的适用场景，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(4x - 1)(5x + 7) = 0$；
(2) $x - 3 = x(x - 3)$；
(3) $4a^2 - 12a + 9 = 0$。
(1) $(4x - 1)(5x + 7) = 0$；
(2) $x - 3 = x(x - 3)$；
(3) $4a^2 - 12a + 9 = 0$。
答案
3. 解：(1) $x_1=\frac{1}{4}, x_2=-\frac{7}{5}$.
(2) $x_1=1, x_2=3$.
(3) $a_1=a_2=\frac{3}{2}$.
(2) $x_1=1, x_2=3$.
(3) $a_1=a_2=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此将二次方程降为一次方程求解。
(1) 方程已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接令两个因式分别为0求解即可；
(2) 先将含$(x-3)$的项全部移到等号左侧，提取公因式$(x-3)$，转化为两个因式乘积为0的形式再求解；
(3) 观察方程左侧是完全平方式，用完全平方公式因式分解后，再求解即可。
【解析】
解：
(1) 由$(4x - 1)(5x + 7) = 0$，可得：
$4x - 1 = 0$ 或 $5x + 7 = 0$
解$4x - 1 = 0$，得$x_1=\frac{1}{4}$；
解$5x + 7 = 0$，得$x_2=-\frac{7}{5}$。
(2) 移项得：$x - 3 - x(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x - 3)(1 - x) = 0$
则$x - 3 = 0$ 或 $1 - x = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=1$。
(3) 方程左边用完全平方公式因式分解得：$(2a - 3)^2 = 0$
则$2a - 3 = 0$
解得$a_1=a_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{4}, x_2=-\frac{7}{5}$；
(2) $x_1=1, x_2=3$；
(3) $a_1=a_2=\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解方法的灵活运用，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的求解逻辑，就能快速准确完成解题。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此将二次方程降为一次方程求解。
(1) 方程已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接令两个因式分别为0求解即可；
(2) 先将含$(x-3)$的项全部移到等号左侧，提取公因式$(x-3)$，转化为两个因式乘积为0的形式再求解；
(3) 观察方程左侧是完全平方式，用完全平方公式因式分解后，再求解即可。
【解析】
解：
(1) 由$(4x - 1)(5x + 7) = 0$，可得：
$4x - 1 = 0$ 或 $5x + 7 = 0$
解$4x - 1 = 0$，得$x_1=\frac{1}{4}$；
解$5x + 7 = 0$，得$x_2=-\frac{7}{5}$。
(2) 移项得：$x - 3 - x(x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x - 3)(1 - x) = 0$
则$x - 3 = 0$ 或 $1 - x = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=1$。
(3) 方程左边用完全平方公式因式分解得：$(2a - 3)^2 = 0$
则$2a - 3 = 0$
解得$a_1=a_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1}{4}, x_2=-\frac{7}{5}$；
(2) $x_1=1, x_2=3$；
(3) $a_1=a_2=\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解方法的灵活运用，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的求解逻辑，就能快速准确完成解题。
【难度系数】
0.8
