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一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根$x_1$，$x_2$与其系数$a$，$b$，$c$之间的关系是$x_1 + x_2 =$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2 =$ $\frac{c}{a}$
。答案
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的推导与记忆，我们可以通过九年级所学的一元二次方程求根公式分别表示出两个根，再计算两根之和与两根之积，化简后即可得到对应的结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，考察的根与系数关系是核心基础结论，熟练掌握该结论可快速解决涉及两根和、两根积的相关问题，是求解一元二次方程综合题的重要工具。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的推导与记忆，我们可以通过九年级所学的一元二次方程求根公式分别表示出两个根，再计算两根之和与两根之积，化简后即可得到对应的结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，考察的根与系数关系是核心基础结论，熟练掌握该结论可快速解决涉及两根和、两根积的相关问题，是求解一元二次方程综合题的重要工具。
【难度系数】
0.9
1. 已知实数$x_1$，$x_2$满足$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$，则以$x_1$，$x_2$为根的一元二次方程是（
A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 +7x +12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 -7x -12=0$
A
）。A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 +7x +12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 -7x -12=0$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。本题已经直接给出两根之和与两根之积，我们只需将已知数值代入上述公式，即可得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$代入上式，可得：
$x^2 -7x +12=0$
符合选项A的形式。
【答案】
A
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需格外注意一次项系数的符号，避免因记忆混淆出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。本题已经直接给出两根之和与两根之积，我们只需将已知数值代入上述公式，即可得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$代入上式，可得：
$x^2 -7x +12=0$
符合选项A的形式。
【答案】
A
【知识点】
1. 韦达定理（根与系数的关系）
2. 一元二次方程的构造
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的直接应用，解题时需格外注意一次项系数的符号，避免因记忆混淆出现符号错误。
【难度系数】
0.9
2. 已知关于$x$的方程$2x^2 + x + a = 0$有一个根为1，则另一个根是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
D
）.A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决已知一元二次方程一个根求另一个根的问题，有两种常用解题思路：
思路1：利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数a，再解完整的一元二次方程得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和与方程系数的关系计算另一个根，无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$。
本题中方程为$2x^2 + x + a = 0$，已知一个根为1，因此：
$x_1 + 1 = -\frac{1}{2}$
解得$x_1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$2×1^2 + 1 + a = 0$
计算得$3 + a = 0$，解得$a=-3$
原方程变为$2x^2 + x - 3 = 0$，因式分解得$(2x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$，即另一个根为$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用基础题，两种方法均可求解，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
要解决已知一元二次方程一个根求另一个根的问题，有两种常用解题思路：
思路1：利用方程根的定义，将已知根代入原方程求出未知参数a，再解完整的一元二次方程得到另一个根；
思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和与方程系数的关系计算另一个根，无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$。
本题中方程为$2x^2 + x + a = 0$，已知一个根为1，因此：
$x_1 + 1 = -\frac{1}{2}$
解得$x_1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$2×1^2 + 1 + a = 0$
计算得$3 + a = 0$，解得$a=-3$
原方程变为$2x^2 + x - 3 = 0$，因式分解得$(2x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{3}{2}$，即另一个根为$-\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用基础题，两种方法均可求解，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程$3x^2 -4x=2$的两个根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1+x_2=$
$\frac{4}{3}$
，$x_1x_2=$$-\frac{2}{3}$
。答案
3. $\frac{4}{3}$ $-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先需将给定的一元二次方程化为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定对应系数$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；再直接代入根与系数的关系公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$3x^2 -4x=2$移项，得$3x^2 -4x -2=0$。
第二步：确定各项系数：
其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-2$。
第三步：根据根与系数的关系计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{3}=\frac{4}{3}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$；$-\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握根与系数关系的适用前提，解题时要注意先将方程整理为一般形式再提取系数，避免因未移项直接取值导致的符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先需将给定的一元二次方程化为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定对应系数$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；再直接代入根与系数的关系公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$3x^2 -4x=2$移项，得$3x^2 -4x -2=0$。
第二步：确定各项系数：
其中二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-2$。
第三步：根据根与系数的关系计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{3}=\frac{4}{3}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$；$-\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握根与系数关系的适用前提，解题时要注意先将方程整理为一般形式再提取系数，避免因未移项直接取值导致的符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 若关于x的一元二次方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$的两个实数根互为倒数，则a的值为
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
解题时首先抓住两个关键条件：一是方程为一元二次方程且有两个实数根，因此根的判别式Δ≥0；二是两个实数根互为倒数，根据倒数的定义可知两根乘积为1。接下来结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项除以二次项系数，据此列方程求出a的候选值，最后代入判别式验证，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2 = 1$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$，两根之积$x_1x_2 = \frac{a}{1} = a$，因此有$a = 1$。
3. 验证判别式：当$a=1$时，根的判别式$\Delta = (a^2 - 3a)^2 - 4×1× a = (1 - 3)^2 - 4×1 = 4 - 4 = 0 ≥ 0$，满足方程有两个实数根的条件。
因此a的值为1。
【答案】
1
【知识点】
韦达定理，根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查一元二次方程相关性质的综合运用，易错点是忽略“两个实数根”的前提，未验证判别式就直接得出结果，解题时要注意对求出的参数进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住两个关键条件：一是方程为一元二次方程且有两个实数根，因此根的判别式Δ≥0；二是两个实数根互为倒数，根据倒数的定义可知两根乘积为1。接下来结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项除以二次项系数，据此列方程求出a的候选值，最后代入判别式验证，舍去不符合条件的解即可得到正确结果。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2 = 1$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 + (a^2 - 3a)x + a = 0$，两根之积$x_1x_2 = \frac{a}{1} = a$，因此有$a = 1$。
3. 验证判别式：当$a=1$时，根的判别式$\Delta = (a^2 - 3a)^2 - 4×1× a = (1 - 3)^2 - 4×1 = 4 - 4 = 0 ≥ 0$，满足方程有两个实数根的条件。
因此a的值为1。
【答案】
1
【知识点】
韦达定理，根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查一元二次方程相关性质的综合运用，易错点是忽略“两个实数根”的前提，未验证判别式就直接得出结果，解题时要注意对求出的参数进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
5. 设$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$的两个实数根，则$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$的值为
$\frac{3}{4}$
。答案
5. $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
首先，我们可以先对所求的$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$进行通分化简，得到该式子可以用两根之和$x_1+x_2$和两根之积$x_1x_2$表示的形式；其次，已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程的两个实数根，我们可以直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程就能求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先对所求式子通分化简：
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2+3x-4=0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，代入得：
$x_1+x_2=-\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2=\dfrac{-4}{2}=-2$
将上述结果代入化简后的式子：
$\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{-2}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简运算
【点评】
本题属于基础常考题，考查韦达定理的应用，通过将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式，利用整体代入法计算，避免了求解方程根的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
首先，我们可以先对所求的$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$进行通分化简，得到该式子可以用两根之和$x_1+x_2$和两根之积$x_1x_2$表示的形式；其次，已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程的两个实数根，我们可以直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程就能求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先对所求式子通分化简：
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
本题中方程为$2x^2+3x-4=0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-4$，代入得：
$x_1+x_2=-\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2=\dfrac{-4}{2}=-2$
将上述结果代入化简后的式子：
$\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{-2}=\dfrac{3}{4}$
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简运算
【点评】
本题属于基础常考题，考查韦达定理的应用，通过将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式，利用整体代入法计算，避免了求解方程根的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + kx -15=0$的一个根为-3，求另一个根及k的值.
答案
6. 解：另一个根为5，$k=-2$.
解析
【分析】
解题有两种符合学段要求的常用思路：思路一：利用一元二次方程根的定义，将已知根x=-3代入原方程，先求出参数k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积的关系直接求出另一个根，再通过两根之和的关系求出k的值，其中韦达定理解题更简便，计算量更小。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$m$，对于一元二次方程$x^2 + kx -15=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=-15$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$-3× m = \frac{-15}{1}$
解得$m=5$。
再根据两根之和为$-\frac{b}{a}$，可得：
$-3 + 5 = -\frac{k}{1}$
化简得$2=-k$，解得$k=-2$。
方法二（根的定义法）：
将$x=-3$代入原方程，得：
$(-3)^2 + k×(-3) -15 = 0$
化简得：$9 -3k -15 = 0$
整理得：$-3k = 6$
解得：$k=-2$。
将$k=-2$代入原方程得$x^2 -2x -15=0$，因式分解得$(x-5)(x+3)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=5$，即另一个根为5。
【答案】
另一个根为5，$k=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察根的性质的应用，两种解题思路都是该类题型的常用方法，熟练掌握根与系数的关系可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题有两种符合学段要求的常用思路：思路一：利用一元二次方程根的定义，将已知根x=-3代入原方程，先求出参数k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积的关系直接求出另一个根，再通过两根之和的关系求出k的值，其中韦达定理解题更简便，计算量更小。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$m$，对于一元二次方程$x^2 + kx -15=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=-15$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$-3× m = \frac{-15}{1}$
解得$m=5$。
再根据两根之和为$-\frac{b}{a}$，可得：
$-3 + 5 = -\frac{k}{1}$
化简得$2=-k$，解得$k=-2$。
方法二（根的定义法）：
将$x=-3$代入原方程，得：
$(-3)^2 + k×(-3) -15 = 0$
化简得：$9 -3k -15 = 0$
整理得：$-3k = 6$
解得：$k=-2$。
将$k=-2$代入原方程得$x^2 -2x -15=0$，因式分解得$(x-5)(x+3)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=5$，即另一个根为5。
【答案】
另一个根为5，$k=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察根的性质的应用，两种解题思路都是该类题型的常用方法，熟练掌握根与系数的关系可有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
