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7. 若$x_1+x_2=3$，$x_1^2+x_2^2=5$，则以$x_1$，$x_2$为根的一元二次方程是（
A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
A
）.A.$x^2-3x+2=0$
B.$x^2+3x-2=0$
C.$x^2+3x+2=0$
D.$x^2-3x-2=0$
答案
7. A
解析
【分析】
要写出以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程，首先回忆二次项系数为1的一元二次方程与两根的关系：方程形式为$x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2=0$，已知$x_1+x_2=3$，因此只需要求出$x_1x_2$的值即可。可利用完全平方公式的变形，结合已知的$x_1^2+x_2^2=5$计算$x_1x_2$，再代入方程形式匹配选项即可。
【解析】
第一步：求$x_1x_2$的值
根据完全平方公式可得：$(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1^2+x_2^2=5$代入上式：
$3^2 = 5 + 2x_1x_2$
$9 = 5 + 2x_1x_2$
解得$x_1x_2=2$
第二步：写出对应的一元二次方程
根据根与系数的关系，二次项系数为1、两根为$x_1$、$x_2$的一元二次方程为：
$x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2=0$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入得：
$x^2-3x+2=0$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，以及根与系数关系和一元二次方程的对应规则，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
要写出以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程，首先回忆二次项系数为1的一元二次方程与两根的关系：方程形式为$x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2=0$，已知$x_1+x_2=3$，因此只需要求出$x_1x_2$的值即可。可利用完全平方公式的变形，结合已知的$x_1^2+x_2^2=5$计算$x_1x_2$，再代入方程形式匹配选项即可。
【解析】
第一步：求$x_1x_2$的值
根据完全平方公式可得：$(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
将$x_1+x_2=3$，$x_1^2+x_2^2=5$代入上式：
$3^2 = 5 + 2x_1x_2$
$9 = 5 + 2x_1x_2$
解得$x_1x_2=2$
第二步：写出对应的一元二次方程
根据根与系数的关系，二次项系数为1、两根为$x_1$、$x_2$的一元二次方程为：
$x^2-(x_1+x_2)x + x_1x_2=0$
将$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2$代入得：
$x^2-3x+2=0$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，以及根与系数关系和一元二次方程的对应规则，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
8. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两个根分别为$x_1$，$x_2$，且$x_1=3x_2$，则$m$的值为（
A.4
B.8
C.12
D.16
C
）。A.4
B.8
C.12
D.16
答案
8. C
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：首先根据韦达定理得到方程两根之和的数值，再结合题目给出的两根的倍数关系，分别求出两个根的具体值，最后利用两根之积与系数的关系求出m的值，无需直接解一元二次方程，计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 -8x +m=0$中，$a=1$，$b=-8$，$c=m$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-8}{1}=8$
已知$x_1=3x_2$，代入上式得：
$3x_2+x_2=8$
$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3×2=6$
再由韦达定理得$x_1x_2=\frac{m}{1}=m$，因此$m=6×2=12$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心考查韦达定理的灵活运用，掌握根与系数的关系可避免解方程的复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：首先根据韦达定理得到方程两根之和的数值，再结合题目给出的两根的倍数关系，分别求出两个根的具体值，最后利用两根之积与系数的关系求出m的值，无需直接解一元二次方程，计算更简便。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$x^2 -8x +m=0$中，$a=1$，$b=-8$，$c=m$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-8}{1}=8$
已知$x_1=3x_2$，代入上式得：
$3x_2+x_2=8$
$4x_2=8$，解得$x_2=2$
则$x_1=3×2=6$
再由韦达定理得$x_1x_2=\frac{m}{1}=m$，因此$m=6×2=12$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心考查韦达定理的灵活运用，掌握根与系数的关系可避免解方程的复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
9. 已知$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，则$k$的值为
7
.答案
9. 7
解析
【分析】
解题时首先观察题目特征：已知一元二次方程的两个实数根及两根相关代数式的值，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据方程写出两根之和、两根之积的表达式；第二步将给定的含两根的代数式展开，整理为用两根和、两根积表示的形式；第三步代入得到关于k的方程，求解后验证判别式确保根存在即可。
【解析】
对于方程$2x^2 + kx - 2 = 0$，其中$a=2,b=k,c=-2$，根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{k}{2}$
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$
将等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$左边展开：
$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4$
把$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$、$x_1x_2=-1$代入上式：
$-1 - 2×(-\frac{k}{2}) + 4 = 10$
化简得：$k + 3 = 10$
解得：$k=7$
验证：当$k=7$时，方程判别式$\Delta = k^2 - 4ac = 49 + 16 = 65 ＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法展开
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心是将含两根的代数式转化为两根和、两根积的组合形式，解题过程中要注意展开代数式时符号不要出错，养成求出参数后代入判别式验证的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目特征：已知一元二次方程的两个实数根及两根相关代数式的值，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步先根据方程写出两根之和、两根之积的表达式；第二步将给定的含两根的代数式展开，整理为用两根和、两根积表示的形式；第三步代入得到关于k的方程，求解后验证判别式确保根存在即可。
【解析】
对于方程$2x^2 + kx - 2 = 0$，其中$a=2,b=k,c=-2$，根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{k}{2}$
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$
将等式$(x_1-2)(x_2-2)=10$左边展开：
$x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 4$
把$x_1+x_2=-\frac{k}{2}$、$x_1x_2=-1$代入上式：
$-1 - 2×(-\frac{k}{2}) + 4 = 10$
化简得：$k + 3 = 10$
解得：$k=7$
验证：当$k=7$时，方程判别式$\Delta = k^2 - 4ac = 49 + 16 = 65 ＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式乘法展开
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心是将含两根的代数式转化为两根和、两根积的组合形式，解题过程中要注意展开代数式时符号不要出错，养成求出参数后代入判别式验证的习惯。
【难度系数】
0.7
10. 已知实数$a$，$b$满足$a^2 -15a -5=0$，$b^2 -15b -5=0$，求$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值.
答案
解：我们分两种情况讨论：
1. 当 $a = b$ 时：
显然满足题设条件，此时 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$。
2. 当 $a ≠ b$ 时：
由题意可知，$a$、$b$ 是一元二次方程 $x^2 -15x -5=0$ 的两个不相等的实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = 15,\quad ab = -5$
对所求式子变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将 $a+b=15$，$ab=-5$ 代入得：
$\frac{15^2 - 2×(-5)}{-5} = \frac{225 + 10}{-5} = \frac{235}{-5} = -47$
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为 $2$ 或 $-47$。
1. 当 $a = b$ 时：
显然满足题设条件，此时 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$。
2. 当 $a ≠ b$ 时：
由题意可知，$a$、$b$ 是一元二次方程 $x^2 -15x -5=0$ 的两个不相等的实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = 15,\quad ab = -5$
对所求式子变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将 $a+b=15$，$ab=-5$ 代入得：
$\frac{15^2 - 2×(-5)}{-5} = \frac{225 + 10}{-5} = \frac{235}{-5} = -47$
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为 $2$ 或 $-47$。
解析
【分析】
首先观察已知条件，发现a、b满足的方程结构完全相同，因此需分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求式子计算；②当a≠b时，可判断a、b是一元二次方程$x^2 -15x -5=0$的两个不相等的实数根，此时可利用根与系数的关系得到a+b和ab的值，再将所求分式通分后利用完全平方公式变形为含有a+b和ab的形式，整体代入计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当 $a = b$ 时：
满足题设的方程条件，此时 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$。
2. 当 $a ≠ b$ 时：
由题意可知，$a$、$b$是一元二次方程 $x^2 -15x -5=0$ 的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = 15,\quad ab = -5$
对所求式子变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将 $a+b=15$，$ab=-5$ 代入得：
$\frac{15^2 - 2×(-5)}{-5} = \frac{225 + 10}{-5} = \frac{235}{-5} = -47$
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为 $2$ 或 $-47$。
【答案】
$2$或$-47$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，解题时要先根据已知等式的结构特征进行分类讨论，再结合韦达定理和分式变形技巧，用整体代入的方法计算，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，发现a、b满足的方程结构完全相同，因此需分两种情况讨论：①当a=b时，可直接代入所求式子计算；②当a≠b时，可判断a、b是一元二次方程$x^2 -15x -5=0$的两个不相等的实数根，此时可利用根与系数的关系得到a+b和ab的值，再将所求分式通分后利用完全平方公式变形为含有a+b和ab的形式，整体代入计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当 $a = b$ 时：
满足题设的方程条件，此时 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2$。
2. 当 $a ≠ b$ 时：
由题意可知，$a$、$b$是一元二次方程 $x^2 -15x -5=0$ 的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = 15,\quad ab = -5$
对所求式子变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将 $a+b=15$，$ab=-5$ 代入得：
$\frac{15^2 - 2×(-5)}{-5} = \frac{225 + 10}{-5} = \frac{235}{-5} = -47$
综上，$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为 $2$ 或 $-47$。
【答案】
$2$或$-47$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，解题时要先根据已知等式的结构特征进行分类讨论，再结合韦达定理和分式变形技巧，用整体代入的方法计算，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.6
