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1.下图中的格点多边形，其边界上都有6个格点，它们的面积与内部格点数的对应关系如下表，请将表格补充完整并回答问题。(每相邻两个格点之间的距离是1 cm。)
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 格点多边形面积/$cm^2$ | 2 |
| | | |
| 内部格点数/个 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
发现:当格点多边形边界格点数不变时,内部格点数每增加1,格点多边形的面积就增加(
| 序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 格点多边形面积/$cm^2$ | 2 |
| | | || 内部格点数/个 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
发现:当格点多边形边界格点数不变时,内部格点数每增加1,格点多边形的面积就增加(
1
)$cm^2$。答案
1. 3 4 5 6 1
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：所有格点多边形边界上的格点数均为6个，已知内部格点数为0时，多边形面积是2cm²。我们可以先通过数方格法（整格直接计数，不满整格按半格计算）算出序号②的面积，再对比①和②的内部格点数、面积的变化，找到两者的变化规律，再用规律依次算出序号③、④、⑤的面积，最后总结出内部格点数和面积的变化关系。
【解析】
1. 计算序号②的面积：用数方格法计数，整格有2个，半格有2个，面积为$2 + 2×0.5 = 3\mathrm{cm}^2$。
2. 找变化规律：对比序号①（内部格点0个，面积$2\mathrm{cm}^2$）和序号②（内部格点1个，面积$3\mathrm{cm}^2$），内部格点数增加1，面积增加$3-2=1\mathrm{cm}^2$。
3. 计算剩余格点多边形面积：
序号③内部格点数为2，面积为$3+1=4\mathrm{cm}^2$
序号④内部格点数为3，面积为$4+1=5\mathrm{cm}^2$
序号⑤内部格点数为4，面积为$5+1=6\mathrm{cm}^2$
4. 总结规律：当格点多边形边界格点数不变时，内部格点数每增加1，格点多边形的面积就增加$1\mathrm{cm}^2$。
【答案】
3、4、5、6；1
【知识点】
1. 格点面积计算
2. 规律探究
【点评】
本题结合格点图形，既考查了学生用数方格法计算不规则图形面积的能力，又引导学生通过对比数据总结规律，掌握格点多边形面积和内部格点的变化关系，解题时细心计数、认真对比即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：所有格点多边形边界上的格点数均为6个，已知内部格点数为0时，多边形面积是2cm²。我们可以先通过数方格法（整格直接计数，不满整格按半格计算）算出序号②的面积，再对比①和②的内部格点数、面积的变化，找到两者的变化规律，再用规律依次算出序号③、④、⑤的面积，最后总结出内部格点数和面积的变化关系。
【解析】
1. 计算序号②的面积：用数方格法计数，整格有2个，半格有2个，面积为$2 + 2×0.5 = 3\mathrm{cm}^2$。
2. 找变化规律：对比序号①（内部格点0个，面积$2\mathrm{cm}^2$）和序号②（内部格点1个，面积$3\mathrm{cm}^2$），内部格点数增加1，面积增加$3-2=1\mathrm{cm}^2$。
3. 计算剩余格点多边形面积：
序号③内部格点数为2，面积为$3+1=4\mathrm{cm}^2$
序号④内部格点数为3，面积为$4+1=5\mathrm{cm}^2$
序号⑤内部格点数为4，面积为$5+1=6\mathrm{cm}^2$
4. 总结规律：当格点多边形边界格点数不变时，内部格点数每增加1，格点多边形的面积就增加$1\mathrm{cm}^2$。
【答案】
3、4、5、6；1
【知识点】
1. 格点面积计算
2. 规律探究
【点评】
本题结合格点图形，既考查了学生用数方格法计算不规则图形面积的能力，又引导学生通过对比数据总结规律，掌握格点多边形面积和内部格点的变化关系，解题时细心计数、认真对比即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2.下图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积与边界的格点数的对应关系如下表，请将表格补充完整并回答问题。(每相邻两个格点之间的距离是1 cm。)
发现:当格点多边形内部格点数不变时,边界格点数每增加1,格点多边形的面积就增加（
发现:当格点多边形内部格点数不变时,边界格点数每增加1,格点多边形的面积就增加（
0.5
）cm²。答案
2. 2.5 3 3.5 4 0.5
解析
【分析】
解题时我们可以先用数格子或割补法计算每个内部只有1个格点的格点多边形的面积，同时数出每个图形对应的边界格点数，补充完表格后，对比边界格点数和对应面积的变化情况，就能找到二者的变化规律。
【解析】
首先通过数格子（不满1格按半格计算）或割补法计算格点多边形面积，结合数出的边界格点数，将表格依次补充为2.5、3、3.5、4。
接着观察数据变化：边界格点数每增加1时，面积的变化量为$3-2.5=0.5(\mathrm{cm}^2)$，$3.5-3=0.5(\mathrm{cm}^2)$，$4-3.5=0.5(\mathrm{cm}^2)$，由此可总结出规律。
【答案】
2.5、3、3.5、4、0.5
【知识点】
格点面积计算，规律探究
【点评】
本题结合格点特点考查多边形面积的计算和规律归纳能力，计算面积时注意不满一格按半格计算，对比多组数据的变化即可快速得出规律。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先用数格子或割补法计算每个内部只有1个格点的格点多边形的面积，同时数出每个图形对应的边界格点数，补充完表格后，对比边界格点数和对应面积的变化情况，就能找到二者的变化规律。
【解析】
首先通过数格子（不满1格按半格计算）或割补法计算格点多边形面积，结合数出的边界格点数，将表格依次补充为2.5、3、3.5、4。
接着观察数据变化：边界格点数每增加1时，面积的变化量为$3-2.5=0.5(\mathrm{cm}^2)$，$3.5-3=0.5(\mathrm{cm}^2)$，$4-3.5=0.5(\mathrm{cm}^2)$，由此可总结出规律。
【答案】
2.5、3、3.5、4、0.5
【知识点】
格点面积计算，规律探究
【点评】
本题结合格点特点考查多边形面积的计算和规律归纳能力，计算面积时注意不满一格按半格计算，对比多组数据的变化即可快速得出规律。
【难度系数】
0.7
3.利用皮克定理计算下面格点多边形的面积。（每相邻两个格点之间的距离是1 cm。）
答案
3. $11 + 17 ÷ 2 - 1 = 18.5(cm^2)$
$13 + 14 ÷ 2 - 1 = 19(cm^2)$
$13 + 14 ÷ 2 - 1 = 19(cm^2)$
解析
【分析】
计算格点多边形的面积我们可以用皮克定理，公式为：格点多边形的面积 = 内部格点数 + 边界格点数÷2 - 1（相邻格点间距为1cm时，面积单位为$\mathrm{cm}^2$）。解题时第一步先分别数出两个图形内部的格点数量（完全在图形内部、不落在边界上的格点），第二步数出两个图形边界上的格点数量，第三步将对应数值代入皮克定理公式计算即可得到面积。
【解析】
左图：先数出内部格点数为11个，边界格点数为17个，代入公式计算：
$11 + 17 ÷ 2 - 1$
$=11 + 8.5 -1$
$=18.5(\mathrm{cm}^2)$
右图：先数出内部格点数为13个，边界格点数为14个，代入公式计算：
$13 + 14 ÷ 2 - 1$
$=13 +7 -1$
$=19(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
左图面积为$\boxed{18.5\mathrm{cm}^2}$，右图面积为$\boxed{19\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 皮克定理
2. 格点多边形面积计算
【点评】
本题核心是对皮克定理的应用，解题的关键是准确数出内部格点和边界格点的数量，数格点时要注意避免漏数、多数边界格点的错误。
【难度系数】
0.7
计算格点多边形的面积我们可以用皮克定理，公式为：格点多边形的面积 = 内部格点数 + 边界格点数÷2 - 1（相邻格点间距为1cm时，面积单位为$\mathrm{cm}^2$）。解题时第一步先分别数出两个图形内部的格点数量（完全在图形内部、不落在边界上的格点），第二步数出两个图形边界上的格点数量，第三步将对应数值代入皮克定理公式计算即可得到面积。
【解析】
左图：先数出内部格点数为11个，边界格点数为17个，代入公式计算：
$11 + 17 ÷ 2 - 1$
$=11 + 8.5 -1$
$=18.5(\mathrm{cm}^2)$
右图：先数出内部格点数为13个，边界格点数为14个，代入公式计算：
$13 + 14 ÷ 2 - 1$
$=13 +7 -1$
$=19(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
左图面积为$\boxed{18.5\mathrm{cm}^2}$，右图面积为$\boxed{19\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 皮克定理
2. 格点多边形面积计算
【点评】
本题核心是对皮克定理的应用，解题的关键是准确数出内部格点和边界格点的数量，数格点时要注意避免漏数、多数边界格点的错误。
【难度系数】
0.7
