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11.已知关于$x$的多项式$3x^4 - (m + 5)x^3 + (n - 2)x^2 - 3x + 1$不含$x^3$项和$x^2$项，求$m + 3n$的值.
答案
11. 解:由题意,得 $-(m+5)=0,n-2=0$,
所以 $m=-5,n=2$.
所以 $m+3n=-5+3×2=1$.
所以 $m=-5,n=2$.
所以 $m+3n=-5+3×2=1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“多项式不含某一项”的含义：若多项式中不存在某一项，说明这一项的系数为0（系数为0时，该项整体值为0，相当于不存在）。解题时先找到$x^3$项和$x^2$项的系数，分别令两个系数等于0，即可得到关于m、n的一元一次方程，解出m、n的取值后，代入代数式$m+3n$计算就能得到最终结果。
【解析】
解：已知多项式$3x^4 - (m + 5)x^3 + (n - 2)x^2 - 3x + 1$不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}-(m+5)=0\\n-2=0\end{cases}$
解第一个方程：$-(m+5)=0$，即$m+5=0$，解得$m=-5$；
解第二个方程：$n-2=0$，解得$n=2$。
将$m=-5$、$n=2$代入$m+3n$计算：
$m+3n=-5+3×2=-5+6=1$
【答案】
$1$
【知识点】
1.多项式的项与系数 2.代数式求值
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心考查对多项式不含特定项的理解，解题关键是掌握“不含某项则该项系数为0”的规律，整体计算量小，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确“多项式不含某一项”的含义：若多项式中不存在某一项，说明这一项的系数为0（系数为0时，该项整体值为0，相当于不存在）。解题时先找到$x^3$项和$x^2$项的系数，分别令两个系数等于0，即可得到关于m、n的一元一次方程，解出m、n的取值后，代入代数式$m+3n$计算就能得到最终结果。
【解析】
解：已知多项式$3x^4 - (m + 5)x^3 + (n - 2)x^2 - 3x + 1$不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数为0，可得：
$\begin{cases}-(m+5)=0\\n-2=0\end{cases}$
解第一个方程：$-(m+5)=0$，即$m+5=0$，解得$m=-5$；
解第二个方程：$n-2=0$，解得$n=2$。
将$m=-5$、$n=2$代入$m+3n$计算：
$m+3n=-5+3×2=-5+6=1$
【答案】
$1$
【知识点】
1.多项式的项与系数 2.代数式求值
【点评】
本题是整式部分的基础题型，核心考查对多项式不含特定项的理解，解题关键是掌握“不含某项则该项系数为0”的规律，整体计算量小，掌握相关概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.某人买了50元的乘车卡,如果此人乘车的次数用m表示,那么他每次乘车后的余额n(单位:元)如下表.
(1)写出用乘车的次数m表示余额n的式子.
(2)利用上述公式,算一算乘13次车后乘车卡还剩多少元?
(3)此人最多能乘几次车?
(1)写出用乘车的次数m表示余额n的式子.
(2)利用上述公式,算一算乘13次车后乘车卡还剩多少元?
(3)此人最多能乘几次车?
答案
12. 解:(1)由已知,得 $n=50-1.6m$.
(2)当 $m=13$ 时,$n=50-1.6×13=29.2$,
即乘 13 次车还剩 29.2 元.
(3)$50÷1.6=31.25$(次),
故此人最多能乘 31 次车.
(2)当 $m=13$ 时,$n=50-1.6×13=29.2$,
即乘 13 次车还剩 29.2 元.
(3)$50÷1.6=31.25$(次),
故此人最多能乘 31 次车.
解析
【分析】
解题可分三步展开思路：1. 分析余额变化规律：观察表格可知每乘车1次消费1.6元，乘车m次总消费为1.6m元，初始金额为50元，用总金额减去消费总金额即可得到余额，从而列出关系式。2. 求乘13次的余额时，直接将m=13代入第一问得到的关系式计算即可。3. 求最多乘车次数时，要注意乘车次数为正整数，且余额不能为负数，计算出总金额可承担的消费次数后，取最大的正整数即可，剩余金额不足1.6元时不能再乘车，不可直接四舍五入。
【解析】
(1) 每次乘车消费1.6元，乘车m次的总消费为1.6m元，初始金额为50元，因此余额n与乘车次数m的关系式为：
$n=50-1.6m$（m为正整数）
(2) 把$m=13$代入$n=50-1.6m$得：
$n=50-1.6×13=50-20.8=29.2$（元）
(3) 计算总金额可承担的乘车次数：$50÷1.6=31.25$，由于乘车次数必须为正整数，且乘车32次时总消费为$1.6×32=51.2$元，超过50元，因此最多可乘车31次。
【答案】
(1) $n=50-1.6m$
(2) 29.2元
(3) 31次
【知识点】
列代数式，代数式求值，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的应用，解题核心是找准数量关系列对代数式，需要注意实际问题中的数量要符合实际意义，不能只按数学计算盲目取近似值。
【难度系数】
0.8
解题可分三步展开思路：1. 分析余额变化规律：观察表格可知每乘车1次消费1.6元，乘车m次总消费为1.6m元，初始金额为50元，用总金额减去消费总金额即可得到余额，从而列出关系式。2. 求乘13次的余额时，直接将m=13代入第一问得到的关系式计算即可。3. 求最多乘车次数时，要注意乘车次数为正整数，且余额不能为负数，计算出总金额可承担的消费次数后，取最大的正整数即可，剩余金额不足1.6元时不能再乘车，不可直接四舍五入。
【解析】
(1) 每次乘车消费1.6元，乘车m次的总消费为1.6m元，初始金额为50元，因此余额n与乘车次数m的关系式为：
$n=50-1.6m$（m为正整数）
(2) 把$m=13$代入$n=50-1.6m$得：
$n=50-1.6×13=50-20.8=29.2$（元）
(3) 计算总金额可承担的乘车次数：$50÷1.6=31.25$，由于乘车次数必须为正整数，且乘车32次时总消费为$1.6×32=51.2$元，超过50元，因此最多可乘车31次。
【答案】
(1) $n=50-1.6m$
(2) 29.2元
(3) 31次
【知识点】
列代数式，代数式求值，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活场景考查代数式的应用，解题核心是找准数量关系列对代数式，需要注意实际问题中的数量要符合实际意义，不能只按数学计算盲目取近似值。
【难度系数】
0.8
13.(新定义)如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫作“齐次多项式”.如：$x^3 + 3xy^2 + 4xyz + 2y^3$是三次“齐次多项式”.若 $a^{x+3}b^2 - 6ab^3c^2$ 是“齐次多项式”，则x的值为(
A.－1
B.0
C.1
D.2
C
).A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
13. C
解析
【分析】
首先明确“齐次多项式”的核心要求：多项式中每一项的次数都相等。解题时先根据单项式次数的计算方法（单项式中所有字母的指数和为单项式的次数），算出不含参数项的次数，再令含参数项的次数与它相等，列一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
先计算多项式中第二项$-6ab^3c^2$的次数：
单项式的次数为所有字母指数之和，该项中$a$的指数是1，$b$的指数是3，$c$的指数是2，因此次数为$1+3+2=6$。
因为该多项式是齐次多项式，所以第一项$a^{x+3}b^2$的次数也为6。
第一项的次数为$a$的指数加$b$的指数，即$(x+3)+2$，据此列方程：
$(x+3)+2=6$
解得：$x+5=6$，$x=1$。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数，新定义理解，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的齐次多项式要求转化为熟悉的单项式次数计算问题，再通过解方程得到结果，主要考查学生对新概念的迁移应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“齐次多项式”的核心要求：多项式中每一项的次数都相等。解题时先根据单项式次数的计算方法（单项式中所有字母的指数和为单项式的次数），算出不含参数项的次数，再令含参数项的次数与它相等，列一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
先计算多项式中第二项$-6ab^3c^2$的次数：
单项式的次数为所有字母指数之和，该项中$a$的指数是1，$b$的指数是3，$c$的指数是2，因此次数为$1+3+2=6$。
因为该多项式是齐次多项式，所以第一项$a^{x+3}b^2$的次数也为6。
第一项的次数为$a$的指数加$b$的指数，即$(x+3)+2$，据此列方程：
$(x+3)+2=6$
解得：$x+5=6$，$x=1$。
【答案】
C
【知识点】
单项式的次数，新定义理解，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将陌生的齐次多项式要求转化为熟悉的单项式次数计算问题，再通过解方程得到结果，主要考查学生对新概念的迁移应用能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
14.有一个多项式$a^{10} - a^{9}b + a^{8}b^{2} - a^{7}b^{3} + a^{6}b^{4} - a^{5}b^{5}···$按这样的规律写下去，你知道第7项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？
答案
14. 解:第 7 项是 $a^4 b^6$；
最后一项是 $b^{10}$；
这是一个十次十一项式；
第 $n$ 项是 $(-1)^{n-1} a^{11-n} b^{n-1}$.
最后一项是 $b^{10}$；
这是一个十次十一项式；
第 $n$ 项是 $(-1)^{n-1} a^{11-n} b^{n-1}$.
解析
【分析】
解决这道题需要先逐项观察多项式的特征，分三部分找规律：①符号：第1项为正，第2项为负，依次正负交替，即奇数项为正、偶数项为负；②a的指数：第1项是10，之后每一项依次减1，等于11减去对应项数；③b的指数：第1项是0，之后每一项依次加1，等于对应项数减1。找到规律后，分别代入项数即可求出第7项、最后一项，再结合多项式次数、项数的定义判断多项式的类型，总结通用规律即可。
【解析】
我们先列前几项和项数的对应关系：
第1项：$+a^{10}b^0$，符号为正，a的指数10，b的指数0
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的指数9，b的指数1
第3项：$+a^8b^2$，符号为正，a的指数8，b的指数2
……
1. 求第7项：
项数n=7，属于奇数项，符号为正；a的指数=11-7=4；b的指数=7-1=6，因此第7项为$a^4b^6$。
2. 求最后一项：
a的指数最小为0，令11-n=0，得n=11，即总共有11项，最后一项是第11项：符号为正，a的指数0，b的指数=11-1=10，因此最后一项为$b^{10}$。
3. 判断多项式的次数和项数：
每一项中a的指数加b的指数都是10，因此最高次为10次；总共有11项，因此是十次十一项式。
4. 总结规律：
结合符号、a的指数、b的指数的变化规律，第n项（n为1≤n≤11的正整数）可表示为$(-1)^{n-1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【答案】
第7项是$a^4 b^6$；最后一项是$b^{10}$；这是一个十次十一项式；第$n$项是 $(-1)^{n-1} a^{11-n} b^{n-1}$
【知识点】
多项式的项与次数，规律探究，整式的概念
【点评】
本题是整式章节的典型规律探究题，既考查了学生对多项式基本概念的掌握情况，也锻炼了学生观察、归纳、总结变化规律的能力，解题时注意分别从符号、字母指数两个维度逐一分析特征，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要先逐项观察多项式的特征，分三部分找规律：①符号：第1项为正，第2项为负，依次正负交替，即奇数项为正、偶数项为负；②a的指数：第1项是10，之后每一项依次减1，等于11减去对应项数；③b的指数：第1项是0，之后每一项依次加1，等于对应项数减1。找到规律后，分别代入项数即可求出第7项、最后一项，再结合多项式次数、项数的定义判断多项式的类型，总结通用规律即可。
【解析】
我们先列前几项和项数的对应关系：
第1项：$+a^{10}b^0$，符号为正，a的指数10，b的指数0
第2项：$-a^9b^1$，符号为负，a的指数9，b的指数1
第3项：$+a^8b^2$，符号为正，a的指数8，b的指数2
……
1. 求第7项：
项数n=7，属于奇数项，符号为正；a的指数=11-7=4；b的指数=7-1=6，因此第7项为$a^4b^6$。
2. 求最后一项：
a的指数最小为0，令11-n=0，得n=11，即总共有11项，最后一项是第11项：符号为正，a的指数0，b的指数=11-1=10，因此最后一项为$b^{10}$。
3. 判断多项式的次数和项数：
每一项中a的指数加b的指数都是10，因此最高次为10次；总共有11项，因此是十次十一项式。
4. 总结规律：
结合符号、a的指数、b的指数的变化规律，第n项（n为1≤n≤11的正整数）可表示为$(-1)^{n-1}a^{11-n}b^{n-1}$。
【答案】
第7项是$a^4 b^6$；最后一项是$b^{10}$；这是一个十次十一项式；第$n$项是 $(-1)^{n-1} a^{11-n} b^{n-1}$
【知识点】
多项式的项与次数，规律探究，整式的概念
【点评】
本题是整式章节的典型规律探究题，既考查了学生对多项式基本概念的掌握情况，也锻炼了学生观察、归纳、总结变化规律的能力，解题时注意分别从符号、字母指数两个维度逐一分析特征，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
