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1. 下列各式是最简分式的是(
A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
C
).A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，判断二者是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式，存在公因式可约分的则不是，通过逐个排除即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一对选项进行分析：
A选项：分子$4y+2x=2(x+2y)$，分母$4a=2· 2a$，分子、分母存在公因式2，可约分为$\frac{x+2y}{2a}$，不是最简分式，排除A；
B选项：分子$y-x=-(x-y)$，与分母$x-y$存在公因式$(x-y)$，可约分为$-1$，不是最简分式，排除B；
C选项：分子$x^2+1$在整式范围内无法分解因式，与分母$x-1$没有公因式，无法约分，是最简分式；
D选项：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，与分母$x+1$存在公因式$(x+1)$，可约分为$x-1$，不是最简分式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，准确识别分子分母的公因式，是分式章节的基础常规题，掌握概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，判断二者是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式，存在公因式可约分的则不是，通过逐个排除即可选出正确答案。
【解析】
我们逐一对选项进行分析：
A选项：分子$4y+2x=2(x+2y)$，分母$4a=2· 2a$，分子、分母存在公因式2，可约分为$\frac{x+2y}{2a}$，不是最简分式，排除A；
B选项：分子$y-x=-(x-y)$，与分母$x-y$存在公因式$(x-y)$，可约分为$-1$，不是最简分式，排除B；
C选项：分子$x^2+1$在整式范围内无法分解因式，与分母$x-1$没有公因式，无法约分，是最简分式；
D选项：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，与分母$x+1$存在公因式$(x+1)$，可约分为$x-1$，不是最简分式，排除D。
【答案】
C
【知识点】
最简分式判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，准确识别分子分母的公因式，是分式章节的基础常规题，掌握概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为（
A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
C
）。A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
答案
2. C
解析
【分析】
解决本题需按照通分的步骤逐步推导：首先对两个分式的分母进行因式分解，确定它们的最简公分母；再对比原分式分母和最简公分母，明确原分母需要乘的因式，最后根据分式的基本性质，给原分子乘相同的因式即可得到结果。
【解析】
1. 因式分解分母：
$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母$x^2-y^2$由平方差公式可分解为$(x+y)(x-y)$，
$\frac{x}{2(x - y)}$的分母为$2(x-y)$。
2. 确定最简公分母：
取两个分母所有不同因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为$2(x+y)(x-y)$。
3. 计算变化后的分子：
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母是$(x+y)(x-y)$，要化为最简公分母，需要给分母乘2，根据分式的基本性质，分子也要同时乘2，
因此变化后的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
C
【知识点】
分式通分，平方差公式，分式基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心是准确找到最简公分母，易错点是分解分母不彻底、确定最简公分母时漏乘因式，熟练掌握因式分解和分式的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解决本题需按照通分的步骤逐步推导：首先对两个分式的分母进行因式分解，确定它们的最简公分母；再对比原分式分母和最简公分母，明确原分母需要乘的因式，最后根据分式的基本性质，给原分子乘相同的因式即可得到结果。
【解析】
1. 因式分解分母：
$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母$x^2-y^2$由平方差公式可分解为$(x+y)(x-y)$，
$\frac{x}{2(x - y)}$的分母为$2(x-y)$。
2. 确定最简公分母：
取两个分母所有不同因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为$2(x+y)(x-y)$。
3. 计算变化后的分子：
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母是$(x+y)(x-y)$，要化为最简公分母，需要给分母乘2，根据分式的基本性质，分子也要同时乘2，
因此变化后的分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$。
【答案】
C
【知识点】
分式通分，平方差公式，分式基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心是准确找到最简公分母，易错点是分解分母不彻底、确定最简公分母时漏乘因式，熟练掌握因式分解和分式的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
3. 对分式$\frac{1}{2a^2b}$和$\frac{1}{3ab^3}$进行通分，它们的最简公分母是
$6a^2b^3$
。答案
3. $6a^2b^3$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需遵循最简公分母的确定规则：第一步先找各分母系数的最小公倍数，第二步找各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的，最后把得到的系数和各字母的最高次幂相乘，就是最简公分母。我们先分别拆解两个分式的分母：第一个分母是$2a^2b$，系数是2，含字母a（次数2）、字母b（次数1）；第二个分母是$3ab^3$，系数是3，含字母a（次数1）、字母b（次数3），按照规则逐步计算即可。
【解析】
步骤1：确定系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是2和3，2和3互质，最小公倍数为$2×3=6$；
步骤2：确定相同字母的最高次幂：两个分母共有的字母是a和b，其中a的最高次数为2，b的最高次数为3；
步骤3：组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得最简公分母为$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定、分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的找法，是后续分式加减运算的必备基础，掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，需遵循最简公分母的确定规则：第一步先找各分母系数的最小公倍数，第二步找各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的，最后把得到的系数和各字母的最高次幂相乘，就是最简公分母。我们先分别拆解两个分式的分母：第一个分母是$2a^2b$，系数是2，含字母a（次数2）、字母b（次数1）；第二个分母是$3ab^3$，系数是3，含字母a（次数1）、字母b（次数3），按照规则逐步计算即可。
【解析】
步骤1：确定系数的最小公倍数：两个分母的系数分别是2和3，2和3互质，最小公倍数为$2×3=6$；
步骤2：确定相同字母的最高次幂：两个分母共有的字母是a和b，其中a的最高次数为2，b的最高次数为3；
步骤3：组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得最简公分母为$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定、分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的找法，是后续分式加减运算的必备基础，掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 通分：
(1) $\frac{a}{2b}$，$\frac{2}{5a^2b^2c}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - x}$，$\frac{-1}{x^2 - 2x + 1}$。
(1) $\frac{a}{2b}$，$\frac{2}{5a^2b^2c}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - x}$，$\frac{-1}{x^2 - 2x + 1}$。
答案
4. 解 (1)最简公分母是$10a^{2}b^{2}c$.
$\frac{a}{2b}=\frac{5a^{3}bc}{10a^{2}b^{2}c}$,
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{4}{10a^{2}b^{2}c}$.
(2)最简公分母是$x(x-1)^{2}$.
$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{x-1}{x(x-1)^{2}}$,
$\frac{-1}{x^{2}-2x+1}=-\frac{x}{x(x-1)^{2}}$.
$\frac{a}{2b}=\frac{5a^{3}bc}{10a^{2}b^{2}c}$,
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{4}{10a^{2}b^{2}c}$.
(2)最简公分母是$x(x-1)^{2}$.
$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{x-1}{x(x-1)^{2}}$,
$\frac{-1}{x^{2}-2x+1}=-\frac{x}{x(x-1)^{2}}$.
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。解题步骤如下：1. 若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有单独出现的字母连同它的指数的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先对各分母因式分解，再取各因式最高次幂的乘积作为最简公分母。2. 分别计算每个分式的分母变为最简公分母需要乘的整式，将分子也乘这个整式，得到通分后的结果。
【解析】
(1) 首先确定两个分式的分母$2b$和$5a^2b^2c$的最简公分母：
系数2和5的最小公倍数是10，字母部分$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，还有单独的字母$c$，因此最简公分母为$10a^2b^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{a}{2b}=\frac{a· 5a^2bc}{2b· 5a^2bc}=\frac{5a^3bc}{10a^2b^2c}$；
$\frac{2}{5a^2b^2c}=\frac{2× 2}{5a^2b^2c× 2}=\frac{4}{10a^2b^2c}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
因此最简公分母为$x(x-1)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1· (x-1)}{x(x-1)· (x-1)}=\frac{x-1}{x(x-1)^2}$；
$\frac{-1}{x^2-2x+1}=\frac{-1· x}{(x-1)^2· x}=-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【答案】
(1)最简公分母是$10a^{2}b^{2}c$，
$\frac{a}{2b}=\frac{5a^{3}bc}{10a^{2}b^{2}c}$，
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{4}{10a^{2}b^{2}c}$；
(2)最简公分母是$x(x-1)^{2}$，
$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{x-1}{x(x-1)^{2}}$，
$\frac{-1}{x^{2}-2x+1}=-\frac{x}{x(x-1)^{2}}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法，需注意多项式分母要先因式分解再找公分母，通分时分子要和分母乘相同的整式，避免出现分子漏乘的错误，熟练掌握通分是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。解题步骤如下：1. 若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有单独出现的字母连同它的指数的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先对各分母因式分解，再取各因式最高次幂的乘积作为最简公分母。2. 分别计算每个分式的分母变为最简公分母需要乘的整式，将分子也乘这个整式，得到通分后的结果。
【解析】
(1) 首先确定两个分式的分母$2b$和$5a^2b^2c$的最简公分母：
系数2和5的最小公倍数是10，字母部分$a$的最高次为$a^2$，$b$的最高次为$b^2$，还有单独的字母$c$，因此最简公分母为$10a^2b^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{a}{2b}=\frac{a· 5a^2bc}{2b· 5a^2bc}=\frac{5a^3bc}{10a^2b^2c}$；
$\frac{2}{5a^2b^2c}=\frac{2× 2}{5a^2b^2c× 2}=\frac{4}{10a^2b^2c}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，
因此最简公分母为$x(x-1)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1· (x-1)}{x(x-1)· (x-1)}=\frac{x-1}{x(x-1)^2}$；
$\frac{-1}{x^2-2x+1}=\frac{-1· x}{(x-1)^2· x}=-\frac{x}{x(x-1)^2}$。
【答案】
(1)最简公分母是$10a^{2}b^{2}c$，
$\frac{a}{2b}=\frac{5a^{3}bc}{10a^{2}b^{2}c}$，
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{4}{10a^{2}b^{2}c}$；
(2)最简公分母是$x(x-1)^{2}$，
$\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{x-1}{x(x-1)^{2}}$，
$\frac{-1}{x^{2}-2x+1}=-\frac{x}{x(x-1)^{2}}$。
【知识点】
分式通分，最简公分母确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法，需注意多项式分母要先因式分解再找公分母，通分时分子要和分母乘相同的整式，避免出现分子漏乘的错误，熟练掌握通分是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
5. 先化简,再求值:$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$,其中$x=-1.$
答案
5. 解 $\frac{1-4x^2}{2x^2+x}=\frac{1^2-(2x)^2}{x(2x+1)}$
$=\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
$=\frac{1-2x}{x}$.
当$x=-1$时，
原式$=\frac{1-2×(-1)}{-1}=-3$.
$=\frac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
$=\frac{1-2x}{x}$.
当$x=-1$时，
原式$=\frac{1-2×(-1)}{-1}=-3$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先对分子、分母分别做因式分解，分子$1-4x^2$符合平方差公式的结构特征，可分解为两个整式的乘积，分母$2x^2+x$含有公因式$x$，可通过提取公因式完成分解；第二步寻找分子、分母的公因式，确认公因式不为0后约分，得到最简分式；第三步将$x$的取值代入最简分式计算最终结果即可。本题$x=-1$时公因式$2x+1=-1≠0$，可正常约分。
【解析】
先对原式因式分解：
$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}=\dfrac{1^2-(2x)^2}{x(2x+1)}$
$=\dfrac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
约去公因式$2x+1$（$2x+1≠0$），得最简形式：
原式$=\dfrac{1-2x}{x}$
将$x=-1$代入最简分式：
原式$=\dfrac{1-2×(-1)}{-1}=\dfrac{1+2}{-1}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简的基础题型，重点考察因式分解在分式约分中的应用，计算时要注意符号处理，约分前需验证公因式不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先对分子、分母分别做因式分解，分子$1-4x^2$符合平方差公式的结构特征，可分解为两个整式的乘积，分母$2x^2+x$含有公因式$x$，可通过提取公因式完成分解；第二步寻找分子、分母的公因式，确认公因式不为0后约分，得到最简分式；第三步将$x$的取值代入最简分式计算最终结果即可。本题$x=-1$时公因式$2x+1=-1≠0$，可正常约分。
【解析】
先对原式因式分解：
$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}=\dfrac{1^2-(2x)^2}{x(2x+1)}$
$=\dfrac{(1+2x)(1-2x)}{x(2x+1)}$
约去公因式$2x+1$（$2x+1≠0$），得最简形式：
原式$=\dfrac{1-2x}{x}$
将$x=-1$代入最简分式：
原式$=\dfrac{1-2×(-1)}{-1}=\dfrac{1+2}{-1}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
平方差公式因式分解，提公因式法因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简的基础题型，重点考察因式分解在分式约分中的应用，计算时要注意符号处理，约分前需验证公因式不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.85
6. 定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:
$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m,n$的值;
(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m,n$的值;
(2)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
答案
6. 解 (1)$\because$ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$($m,n$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$,
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$,
$\therefore n-7=-4,m=-7n$,
$\therefore n=3,m=-21$.
(2)$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A = \frac{-2x^3+2x}{1-x} = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$,
即$A=2x^2+2x$,
则$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}$
$=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
$=x+1$,
又$x+1$是整式，
$\therefore \frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$,
$\therefore x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$,
$\therefore n-7=-4,m=-7n$,
$\therefore n=3,m=-21$.
(2)$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A = \frac{-2x^3+2x}{1-x} = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)$,
即$A=2x^2+2x$,
则$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}$
$=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
$=x+1$,
又$x+1$是整式，
$\therefore \frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
解析
【分析】
(1) 根据“巧分式”和“巧整式”的定义，可知分式的分子等于分母与巧整式的乘积，因此可列出等式$x^2 -4x +m=(x+n)(x-7)$。将等式右侧展开后，利用多项式相等时对应项系数相等的性质，即可列方程求解m、n的值。
(2) 要判断目标分式是否为巧分式，需先求出A的表达式。根据已知的巧分式和巧整式，可得$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$，通过因式分解约分求出A后，将A代入目标分式，对分子分母因式分解后约分，若结果为整式则是巧分式。
【解析】
(1) $\because$ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$
展开左侧得：$x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$
根据多项式相等对应系数相等，可得：
$n-7=-4$，$m=-7n$
解得：$n=3$，$m=-7×3=-21$
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$
$\therefore A = \frac{-2x^3+2x}{1-x} = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$
将A代入目标分式得：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}$
对分子因式分解：$2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
对分母因式分解：$2x^2+2x=2x(x+1)$
约分可得：$\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}=x+1$
$\because x+1$是整式，符合“巧分式”的定义
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”
【答案】
(1) $m=-21$，$n=3$；
(2) 是“巧分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的约分，因式分解，整式的乘法
【点评】
本题为新定义题型，解题关键是准确理解题目给出的新定义，结合整式运算、因式分解、分式约分的基础知识点逐步推导即可，解题时需注意因式分解要彻底，约分要满足分式有意义的前提。
【难度系数】
0.65
(1) 根据“巧分式”和“巧整式”的定义，可知分式的分子等于分母与巧整式的乘积，因此可列出等式$x^2 -4x +m=(x+n)(x-7)$。将等式右侧展开后，利用多项式相等时对应项系数相等的性质，即可列方程求解m、n的值。
(2) 要判断目标分式是否为巧分式，需先求出A的表达式。根据已知的巧分式和巧整式，可得$A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$，通过因式分解约分求出A后，将A代入目标分式，对分子分母因式分解后约分，若结果为整式则是巧分式。
【解析】
(1) $\because$ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$
$\therefore (x+n)(x-7)=x^2-4x+m$
展开左侧得：$x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$
根据多项式相等对应系数相等，可得：
$n-7=-4$，$m=-7n$
解得：$n=3$，$m=-7×3=-21$
(2) $\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”，理由如下：
$\because$ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$
$\therefore A = \frac{-2x^3+2x}{1-x} = \frac{2x(1-x^2)}{1-x} = \frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$
将A代入目标分式得：
$\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}=\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}$
对分子因式分解：$2x^3+4x^2+2x=2x(x^2+2x+1)=2x(x+1)^2$
对分母因式分解：$2x^2+2x=2x(x+1)$
约分可得：$\frac{2x(x+1)^2}{2x(x+1)}=x+1$
$\because x+1$是整式，符合“巧分式”的定义
$\therefore \frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”
【答案】
(1) $m=-21$，$n=3$；
(2) 是“巧分式”，理由见解析。
【知识点】
分式的约分，因式分解，整式的乘法
【点评】
本题为新定义题型，解题关键是准确理解题目给出的新定义，结合整式运算、因式分解、分式约分的基础知识点逐步推导即可，解题时需注意因式分解要彻底，约分要满足分式有意义的前提。
【难度系数】
0.65
