1. 把下列各题的错误纠正过来：
（1）已知四条线段$a,b,c,d$成比例，
若$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则$\frac{a}{d} = \frac{c}{b}$，$\frac{a}{a+d} = \frac{b}{b+c}$。
（2）已知$1,\sqrt{2},2$三个数，再添上一个数使这四个数成比例，则这个数是$\sqrt{2}$。
（3）如图3-3-1，AD与BC相交于点E，若$∠ A = ∠ C$，则$△ ABE ∽ △ CDE$。
$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{BE}$，即$AE · BE = CE · DE$。


（4）如图3-3-2，在$△ ABC$中，点D在BC上，若$∠ BAD = ∠ C$，则$△ ABD ∽ △ CBA$，由此可得$AB^2 = BC · CD$。
（5）如图3-3-3，在四边形ABCD中，如果$AB // CD$，$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CEB}} = \frac{1}{2}$，那么$\frac{DE}{BE} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ ABE}} = \frac{1}{2}$。

（6）如图3-3-4，O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为$(3,-1),(2,1)$，以点O为位似中心将$△ OBC$放大为原来的两倍后，B，C两点的对应点的坐标为$B_1(6,-2),C_1(4,2)$。

1.(1) 错误纠正为：若$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$，$\frac{a}{a+c} = \frac{b}{b+d}$。
1.(2) 错误纠正为：这个数是$2\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
1.(3) 错误纠正为：$△ ABE ∽ △ CDE$，$\therefore \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$。
1.(4) 错误纠正为：$AB^2 = BC · BD$。
1.(5) 错误纠正为：$\frac{DE}{BE} = \frac{1}{2}$，$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ ABE}} = \frac{1}{4}$。
1.(6) 错误纠正为：点 B,C 的对应点有两组：$B_1(6,−2)$，$C_1(4,2)$；$B_2(−6,2)$，$C_2(−4,−2)$。

【分析】
本题围绕比例性质、相似三角形、位似变换三类核心知识点设置易错辨析题，解题时需逐一匹配对应知识点：①处理比例变形问题时，严格依据比例基本性质、合比性质推导，注意比例式的对应关系；②四个数成比例未指定顺序时，需分类讨论所有可能的比例组合，避免漏解；③相似三角形相关推导要先明确对应顶点、对应角，再写对应边比例式，避免对应边混淆；④三角形面积比问题，先判断是同高三角形（面积比=底之比）还是相似三角形（面积比=相似比平方），不要混淆两类比例关系；⑤原点为位似中心的图形缩放，缩放后的图形有与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，对应坐标分别乘正负缩放倍数，不要漏解。
【解析】
（1）已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由比例基本性质交叉相乘得$ad=bc$，可变形为$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；由合比性质，$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$可推出$\frac{a+c}{a}=\frac{b+d}{b}$，取倒数得$\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+d}$，原变形比例对应关系错误，需纠正。
（2）设添加的数为$x$，四个数成比例未指定顺序，分三类情况：①$1· x=\sqrt{2}· 2$，解得$x=2\sqrt{2}$；②$\sqrt{2}· x=1· 2$，解得$x=\sqrt{2}$；③$2· x=1· \sqrt{2}$，解得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$，原结论漏解，需补充完整。
（3）$∠ A=∠ C$，对顶角$∠ AEB=∠ CED$，可证$△ ABE ∽ △ CDE$，对应顶点为$A\leftrightarrow C$、$B\leftrightarrow D$、$E\leftrightarrow E$，故对应边比例为$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，原比例式对应边混淆，需纠正。
（4）$∠ BAD=∠ C$，$∠ B$为公共角，可证$△ ABD ∽ △ CBA$，对应边比例为$\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BC· BD$，原结论错将$BD$写为$CD$，需纠正。
（5）$△ CDE$与$△ CEB$同高（过$C$作$BD$的垂线为公共高），面积比等于底之比，即$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CEB}}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$；又$AB// CD$，可证$△ CDE ∽ △ ABE$，相似比为$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}$，面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ ABE}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，原结论混淆了同高三角形面积比与相似三角形面积比的规律，需纠正。
（6）以坐标原点为位似中心，将图形放大为原来的2倍时，对应点坐标为原坐标乘$\pm2$，因此有两组对应点：与原图形同侧时为$B_1(6,-2),C_1(4,2)$，异侧时为$B_2(-6,2),C_2(-4,-2)$，原结论漏了异侧的一组解，需补充完整。
【答案】
1.(1) 错误纠正为：若$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，则$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$，$\frac{a}{a+c} = \frac{b}{b+d}$。
1.(2) 错误纠正为：这个数是$2\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
1.(3) 错误纠正为：$△ ABE ∽ △ CDE$，$\therefore \frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$。
1.(4) 错误纠正为：$AB^2 = BC · BD$。
1.(5) 错误纠正为：$\frac{DE}{BE} = \frac{1}{2}$，$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ ABE}} = \frac{1}{4}$。
1.(6) 错误纠正为：点 B,C 的对应点有两组：$B_1(6,−2)$，$C_1(4,2)$；$B_2(−6,2)$，$C_2(−4,−2)$。
【知识点】
比例的性质，相似三角形的判定与性质，位似变换的性质
【点评】
本题集中考查了相似相关的基础易错点，命题点覆盖比例变形、相似三角形对应关系、面积比规律、位似分类讨论等易混淆内容，能有效检验对基础概念的掌握扎实程度，学习中要注意对对应关系、分类讨论等细节的把控。
【难度系数】
0.6

2. 如图 3-3-5,在 $△ ABC$ 中,点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$E_1$ 是 $AD$ 的中点,$BE_1$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F_1$.过点 $E_1$ 作 $E_1G // BC$ 交 $AC$ 于 $G$.由平行线分线段的基本事实可得 $G$ 是 $AC$ 的中点,则 $E_1G = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{4}BC$.又由 $E_1G // BC$ 可以推得 $△ F_1E_1G ∽ △ F_1BC$,所以 $\frac{F_1G}{F_1C} = \frac{E_1G}{BC} = \frac{1}{4}$.从而可得 $AF_1 = \frac{1}{3}AC$.

(1) 若 $E_2$ 为 $F_1D$ 的中点,$BE_2$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F_2$,则 $F_1F_2 =$ $AC$.
(2) 若 $E_3$ 为 $F_2D$ 的中点,$BE_3$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F_3$,则 $F_2F_3 =$ $AC$.
(3) 若 $E_n$ 为 $F_{n-1}D$ 的中点,$BE_n$ 的延长线交 $AC$ 于点 $F_n$,猜想 $F_{n-1}F_n =$ $AC$.

2.(1) $\frac{2}{9}$
2.(2) $\frac{4}{27}$
2.(3) $\frac{2^{n-1}}{3^n}$

【分析】
解题时可类比题目给出的推导方法，每一问都过对应$E_n$作平行于$BC$的直线交$AC$于一点，先利用中位线性质得到所作平行线与$BC$的长度比，再通过构造的相似三角形得到对应线段的比例关系，逐步推导出所求线段的长度，最后根据前两问的结果总结一般规律。
【解析】
(1) 已知$AF_1=\frac{1}{3}AC$，故$F_1C=AC-\frac{1}{3}AC=\frac{2}{3}AC$。
过$E_2$作$E_2H // BC$交$AC$于点$H$：
∵$E_2$是$F_1D$的中点，$E_2H // BC$，
∴$E_2H$是$△ DF_1C$的中位线，
∴$E_2H=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × \frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$，且$F_1H=HC=\frac{1}{2}F_1C=\frac{1}{2} × \frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC$。
∵$E_2H // BC$，
∴$△ F_2E_2H ∽ △ F_2BC$，
∴$\frac{F_2H}{F_2C}=\frac{E_2H}{BC}=\frac{1}{4}$。
设$F_2H=x$，则$F_2C=4x$，$HC=F_2C-F_2H=3x=\frac{1}{3}AC$，解得$x=\frac{1}{9}AC$。
∴$F_1F_2=F_1H-F_2H=\frac{1}{3}AC-\frac{1}{9}AC=\frac{2}{9}AC$。
(2) 由(1)得$AF_2=AF_1+F_1F_2=\frac{1}{3}AC+\frac{2}{9}AC=\frac{5}{9}AC$，故$F_2C=AC-\frac{5}{9}AC=\frac{4}{9}AC$。
过$E_3$作$E_3M // BC$交$AC$于点$M$：
∵$E_3$是$F_2D$的中点，$E_3M // BC$，
∴$E_3M$是$△ DF_2C$的中位线，
∴$E_3M=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}BC$，且$F_2M=MC=\frac{1}{2}F_2C=\frac{1}{2} × \frac{4}{9}AC=\frac{2}{9}AC$。
∵$E_3M // BC$，
∴$△ F_3E_3M ∽ △ F_3BC$，
∴$\frac{F_3M}{F_3C}=\frac{E_3M}{BC}=\frac{1}{4}$。
设$F_3M=y$，则$F_3C=4y$，$MC=F_3C-F_3M=3y=\frac{2}{9}AC$，解得$y=\frac{2}{27}AC$。
∴$F_2F_3=F_2M-F_3M=\frac{2}{9}AC-\frac{2}{27}AC=\frac{4}{27}AC$。
(3) 观察前两问结果：
$F_1F_2=\frac{2}{9}AC=\frac{2^{2-1}}{3^2}AC$，$F_2F_3=\frac{4}{27}AC=\frac{2^{3-1}}{3^3}AC$，
可归纳猜想得$F_{n-1}F_n=\frac{2^{n-1}}{3^n}AC$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；(2) $\frac{4}{27}$；(3) $\frac{2^{n-1}}{3^n}$
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类问题，解题核心是类比题目给出的示例方法，通过作平行线构造相似三角形和三角形中位线，逐步推导线段比例，最终归纳得到一般规律，对类比推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6