17.(绥化)已知$△ ABC$在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为$A(0,3),B(3,4),C(2,2)$.的正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)
(1)画出$△ ABC$向下平移4个单位长度得到的$△ A_1B_1C_1$,点$C_1$的坐标是.
(2)以点B为位似中心,在网格内画$△ ABC$的位似图形$△ A_2B_2C_2$,使它们的相似比为$1:2$,则点$C_2$的坐标是.
(3)$△ A_2B_2C_2$的面积是平方单位.

17. (1) $(2,-2)$. (2) $(1,0)$. (3) 10. 图略.

【分析】
(1) 平移变换的坐标规律：向下平移时，点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，按照该规律即可求出$C_1$的坐标，再描点连线得到平移后的图形。
(2) 位似图形的性质：以B为位似中心、相似比为$1:2$，说明$△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$的对应边之比为$2:1$，对应点到位似中心B的距离之比也为$2:1$，且图形在网格内，因此延长BA、BC到原长度的2倍即可得到对应点$A_2$、$C_2$，进而得到$C_2$的坐标。
(3) 求三角形面积可以选用割补法，也可利用相似图形的面积比等于相似比的平方，先求出$△ ABC$的面积，再乘4即可得到$△ A_2B_2C_2$的面积。
【解析】
(1) 点C的坐标为$(2,2)$，向下平移4个单位长度，横坐标不变，纵坐标减去4：$2-4=-2$，因此$C_1$的坐标是$(2,-2)$，依次计算$A_1$、$B_1$的坐标后描点连线，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 已知$B(3,4)$，$C(2,2)$，向量$\overrightarrow{BC}=(2-3,2-4)=(-1,-2)$，因相似比为$1:2$，故$\overrightarrow{BC_2}=2\overrightarrow{BC}=(-2,-4)$，因此$C_2$的坐标为$(3-2,4-4)$，即$(1,0)$，同理求出$A_2$坐标后描点连线，即可得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 先利用割补法求$△ ABC$的面积：
$△ ABC$所在矩形面积为$3×2=6$，减去周围3个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×2×1=3.5$，
因此$S_{△ ABC}=6-3.5=2.5$。
因相似比为$1:2$，面积比为相似比的平方即$1:4$，故$S_{△ A_2B_2C_2}=2.5×4=10$平方单位。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,-2)}$；(2) $\boldsymbol{(1,0)}$；(3) $\boldsymbol{10}$，图略。
【知识点】
坐标与平移变换；位似图形的性质；网格面积计算
【点评】
本题综合考查了平移、位似的坐标变换规律和网格中图形面积的计算，解题核心是熟练掌握平移、位似的坐标变化特点，灵活选用方法计算三角形面积，属于几何变换类的基础综合题。
【难度系数】
0.7

18.(河南改编)
原题：如图3-2-17，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F在线段
AE上，BF的延长线交射线CD于点G.如果AF:EF=3:1，试求CD:CG.
（1）尝试探究：在图3-2-17中，过点E作EH//AB交BG于点H，那么AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，CD:CG=.
（2）类比延伸：在原题的条件下，如果AF:EF=m:1(m＞0)，那么CD:CG=（用含有m的比例式表示），试写出解答过程.

图3-2-17
（3）拓展迁移：如图3-2-18，在四边形ABCD中，CD//AB，点E是BC的延长线上的一点，AE与BD相交于点F.如果AB:CD=a:1(a＞0)，BC:BE=b:1(b＞0)，那么AF:EF=.（用含a,b的比例式表示）

图3-2-18

18. (1) $AB = 3EH$；$CG = 2EH$；$3:2$.
(2) $m:2$.
提示:过点 E 作 EH // AB 交 BG 于点 H.
由 EH // AB 可推出 △EFH ∽ △AFB，
可得 $\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m$，即 $AB = m·EH$.
在 ▱ABCD 中,CD // AB ,CD = AB.
由此可推出 △BEH ∽ △BCG，
可得 $\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$，即 $CG = 2EH$.
∴ $\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{m·EH}{2EH}=\frac{m}{2}$.

(3) $ab:1$.
提示:过点 E 作 EH // AB 交 BD 的延长线于点 H. 由此可得 △BEH ∽ △BCD.
∴ $\frac{CD}{EH}=\frac{BC}{BE}=b$，即 $\frac{1}{EH}=\frac{b}{CD}$.
再证 △EFH ∽ △AFB ,可得
$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}=AB·\frac{1}{EH}=a·CD·\frac{b}{CD}=ab$.

【分析】
本题是线段比值探究类几何题，核心解题方法是构造平行线得到相似三角形，利用相似的性质转化线段比例：
(1) 首先按题目提示作EH//AB，构造“X型”相似△AFB和△EFH，已知AF:EF=3:1，直接可得AB与EH的数量关系；再结合平行四边形CD//AB、CD=AB的性质，得到EH//CD，构造“A型”相似△BEH和△BCG，结合E是BC中点可得CG与EH的数量关系，最后通过CD=AB代换即可求出CD:CG。
(2) 类比第(1)问的推导思路，仅将AF:EF的比值3替换为m，其余推导步骤不变，即可得到含m的比例式。
(3) 沿用前两问的构造思路，过E作EH//AB交BD延长线于H，先由CD//EH得到△BCD∽△BEH，结合BC:BE=b:1得到CD与EH的关系；再由AB//EH得到△ABF∽△EHF，结合AB:CD=a:1进行比例代换，即可求出AF:EF的比值。
【解析】
(1) 过点E作$EH// AB$交$BG$于点$H$：
∵$EH// AB$，
∴$∠ FAB=∠ FEH$，$∠ FBA=∠ FHE$，可得$△ AFB∽△ EFH$，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=\frac{3}{1}$，即$AB=3EH$；
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD// AB$，$CD=AB$，则$EH// CD$，
∴$∠ BEH=∠ BCG$，$∠ BHE=∠ BGC$，可得$△ BEH∽△ BCG$，
∵$E$是$BC$中点，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EH}{CG}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{2}$，即$CG=2EH$；
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{3EH}{2EH}=\frac{3}{2}$，即$CD:CG=3:2$。
(2) 过点E作$EH// AB$交$BG$于点$H$：
∵$EH// AB$，
∴$△ EFH∽△ AFB$，
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=m$，即$AB=m· EH$，
∵平行四边形$ABCD$中，$CD=AB$，$CD// AB$，
∴$EH// CD$，
∴$△ BEH∽△ BCG$，
∵$E$是$BC$中点，
∴$\frac{BC}{BE}=2$，
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$，即$CG=2EH$，
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{AB}{CG}=\frac{m· EH}{2EH}=\frac{m}{2}$，即$CD:CG=m:2$。
(3) 过点E作$EH// AB$交$BD$的延长线于点$H$：
∵$EH// AB$，$CD// AB$，
∴$CD// EH$，
∴$△ BCD∽△ BEH$，
∴$\frac{CD}{EH}=\frac{BC}{BE}=b$，即$EH=\frac{CD}{b}$，
又
∵$EH// AB$，
∴$△ ABF∽△ EHF$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{EH}$，
∵$AB:CD=a:1$，即$AB=a· CD$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{a· CD}{\frac{CD}{b}}=ab$，即$AF:EF=ab:1$。
【答案】
(1) $AB = 3EH$；$CG = 2EH$；$3:2$.
(2) $m:2$.

(3) $ab:1$.
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于从特殊到一般的几何探究题，核心考查构造平行线得到相似三角形来转化线段比例的方法，解题时要注意利用已知的线段比例和图形性质进行等量代换，该类构造辅助线的方法是解决线段比值类问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6