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【例】(2025台州期末)如图,小虎自制了一个小孔成像装置,其中$AB// CD$,纸筒的长度$FH$为12 cm,他准备了一支长为30 cm的蜡烛$AB$,想要得到高度为5 cm的像$CD$,求此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度.
答案
解:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAF=∠ FDC,∠ ABF=∠ FCH,$
$\therefore △ ABF∽ △ DCF,$
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD},\therefore \frac{EF}{12}=\frac{30}{5},\therefore EF=72\ \mathrm{cm},$
$\therefore$此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度为$72\ \mathrm{cm}.$
$\therefore △ ABF∽ △ DCF,$
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD},\therefore \frac{EF}{12}=\frac{30}{5},\therefore EF=72\ \mathrm{cm},$
$\therefore$此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度为$72\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，题目给出AB//CD，根据平行线的性质可得两组对应角相等，从而证明△ABF与△DCF相似；又因为EF是蜡烛到小孔F的距离，即△ABF中AB边对应的高，FH是纸筒长度也就是像到小孔F的距离，即△DCF中CD边对应的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的比，代入已知的AB、CD、FH的长度，即可求出EF的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BAF=∠ DCF,∠ ABF=∠ CDF,$
$\therefore △ ABF∽ △ DCF$,
$\because EF、FH$分别是$△ABF$和$△DCF$对应边上的高,
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD}$,
将$HF=12\mathrm{cm},AB=30\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$代入得：
$\frac{EF}{12}=\frac{30}{5}$,
解得$EF=72\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\quantity{72}{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活情境考查相似三角形的应用，解题的关键是由平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立比例式计算，重点考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，题目给出AB//CD，根据平行线的性质可得两组对应角相等，从而证明△ABF与△DCF相似；又因为EF是蜡烛到小孔F的距离，即△ABF中AB边对应的高，FH是纸筒长度也就是像到小孔F的距离，即△DCF中CD边对应的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的比，代入已知的AB、CD、FH的长度，即可求出EF的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ BAF=∠ DCF,∠ ABF=∠ CDF,$
$\therefore △ ABF∽ △ DCF$,
$\because EF、FH$分别是$△ABF$和$△DCF$对应边上的高,
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD}$,
将$HF=12\mathrm{cm},AB=30\mathrm{cm},CD=5\mathrm{cm}$代入得：
$\frac{EF}{12}=\frac{30}{5}$,
解得$EF=72\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\quantity{72}{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合小孔成像的生活情境考查相似三角形的应用，解题的关键是由平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比建立比例式计算，重点考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
【变式1】某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽.测量时,他们选择了河对岸的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E,C,A三点共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=7 m(测量示意图如图所示).请根据相关测量信息,求河宽AB的长.
答案
解:$\because CB⊥ AD,ED⊥ AD,$
$\therefore CB// ED,\therefore △ ABC∽ △ ADE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED},$
即$\frac{AB}{AB+7}=\frac{1}{1.5},\therefore AB=14\ \mathrm{m}.$
答:河宽$AB$的长是$14\ \mathrm{m}.$
$\therefore CB// ED,\therefore △ ABC∽ △ ADE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED},$
即$\frac{AB}{AB+7}=\frac{1}{1.5},\therefore AB=14\ \mathrm{m}.$
答:河宽$AB$的长是$14\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
首先根据垂直关系判定两条标杆平行，由此得到两个相似三角形；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长列出关于AB的比例方程，解方程即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：$\because CB⊥ AD,ED⊥ AD,$
$\therefore ∠ABC=∠ADE=90°$，
$\therefore CB// ED,$
$\therefore △ ABC∽ △ ADE,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED},$
设AB长为$x$ m，则$AD=AB+BD=(x+7)$ m，代入已知数据得：
$\frac{x}{x+7}=\frac{1}{1.5},$
解得$x=14$。
【答案】
河宽$AB$的长是$14\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用对应边成比例建立方程求解，侧重对几何知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
首先根据垂直关系判定两条标杆平行，由此得到两个相似三角形；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长列出关于AB的比例方程，解方程即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：$\because CB⊥ AD,ED⊥ AD,$
$\therefore ∠ABC=∠ADE=90°$，
$\therefore CB// ED,$
$\therefore △ ABC∽ △ ADE,$
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED},$
设AB长为$x$ m，则$AD=AB+BD=(x+7)$ m，代入已知数据得：
$\frac{x}{x+7}=\frac{1}{1.5},$
解得$x=14$。
【答案】
河宽$AB$的长是$14\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是从实际场景中抽象出相似三角形模型，利用对应边成比例建立方程求解，侧重对几何知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
【变式2】小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边移动边观察（铅笔MN始终与地面垂直）。当小明移动到点D处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得DB=50 m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m，铅笔MN的长为0.16 m，求旗杆AB的高度。
答案
解:$\because$小明的眼睛$C$到铅笔的距离为$0.6\ \mathrm{m},$
$\therefore △ CMN$的$MN$边上的高等于$0.6\ \mathrm{m}.$
$\because$铅笔$MN$始终与地面垂直,$\therefore MN$与$AB$平行,
$\therefore △ CMN∽ △ CAB,\therefore \frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB},$即$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB},$
$\therefore AB=\frac{40}{3}\ \mathrm{m},$经检验,符合题意.
答:旗杆$AB$的高度为$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}.$
$\therefore △ CMN$的$MN$边上的高等于$0.6\ \mathrm{m}.$
$\because$铅笔$MN$始终与地面垂直,$\therefore MN$与$AB$平行,
$\therefore △ CMN∽ △ CAB,\therefore \frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB},$即$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB},$
$\therefore AB=\frac{40}{3}\ \mathrm{m},$经检验,符合题意.
答:旗杆$AB$的高度为$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
遇到利用平行线测量物体高度的问题时，先观察图形特征：铅笔MN和旗杆AB都垂直于地面，可得MN//AB，进而能推出△CMN和△CAB相似。再结合相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，已知△CMN中MN边上的高为0.6m，△CAB中AB边上的高等于DB的长度50m，且MN的长度已知，代入比例式即可求出旗杆AB的高度。
【解析】
解：
∵小明的眼睛C到铅笔的距离为$0.6\ \mathrm{m}$，
∴$△ CMN$的$MN$边上的高等于$0.6\ \mathrm{m}$。
∵铅笔$MN$始终与地面垂直，$AB$也与地面垂直，
∴$MN// AB$，
∴$△ CMN∽△ CAB$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB}$，
将$DB=50\ \mathrm{m}$，$MN=0.16\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
解得$AB=\frac{0.16×50}{0.6}=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
【答案】
$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题关键是根据平行关系判定相似三角形，找准相似三角形的对应边、对应高的数量关系，列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
遇到利用平行线测量物体高度的问题时，先观察图形特征：铅笔MN和旗杆AB都垂直于地面，可得MN//AB，进而能推出△CMN和△CAB相似。再结合相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，已知△CMN中MN边上的高为0.6m，△CAB中AB边上的高等于DB的长度50m，且MN的长度已知，代入比例式即可求出旗杆AB的高度。
【解析】
解：
∵小明的眼睛C到铅笔的距离为$0.6\ \mathrm{m}$，
∴$△ CMN$的$MN$边上的高等于$0.6\ \mathrm{m}$。
∵铅笔$MN$始终与地面垂直，$AB$也与地面垂直，
∴$MN// AB$，
∴$△ CMN∽△ CAB$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：$\frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB}$，
将$DB=50\ \mathrm{m}$，$MN=0.16\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
解得$AB=\frac{0.16×50}{0.6}=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
【答案】
$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题关键是根据平行关系判定相似三角形，找准相似三角形的对应边、对应高的数量关系，列比例式计算即可。
【难度系数】
0.7
