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一、选择题(每小题3分,共27分)
1. 已知下列方程:①$x - 2 = \frac{1}{x}$;②$0.4x = 1$;③$x - y = 6$;④$x = 0$;⑤$x^2 -5x +6=0$.其中一元一次方程有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
1. 已知下列方程:①$x - 2 = \frac{1}{x}$;②$0.4x = 1$;③$x - y = 6$;④$x = 0$;⑤$x^2 -5x +6=0$.其中一元一次方程有 (
A
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。接下来逐一分析给出的5个方程，统计符合所有条件的方程数量，即可匹配到正确选项。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个判断：
① $x - 2 = \frac{1}{x}$：等号右边的$\frac{1}{x}$是分式，分母含未知数，不属于整式方程，不符合一元一次方程定义；
② $0.4x = 1$：仅含未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，符合定义；
③ $x - y = 6$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“一元”的要求，不符合定义；
④ $x = 0$：仅含未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，符合定义；
⑤ $x^2 -5x +6=0$：未知数$x$的最高次数是2，不符合“一次”的要求，不符合定义。
综上，符合一元一次方程定义的是②和④，共2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元一次方程的判定规则，解题的关键是牢记判定的三个核心条件，注意区分整式方程与分式方程、一元方程与多元方程、一次方程与高次方程的差异，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元一次方程的判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。接下来逐一分析给出的5个方程，统计符合所有条件的方程数量，即可匹配到正确选项。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。我们逐个判断：
① $x - 2 = \frac{1}{x}$：等号右边的$\frac{1}{x}$是分式，分母含未知数，不属于整式方程，不符合一元一次方程定义；
② $0.4x = 1$：仅含未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，符合定义；
③ $x - y = 6$：含有$x$、$y$两个未知数，不符合“一元”的要求，不符合定义；
④ $x = 0$：仅含未知数$x$，$x$的次数是1，等号两边都是整式，符合定义；
⑤ $x^2 -5x +6=0$：未知数$x$的最高次数是2，不符合“一次”的要求，不符合定义。
综上，符合一元一次方程定义的是②和④，共2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的定义；整式的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元一次方程的判定规则，解题的关键是牢记判定的三个核心条件，注意区分整式方程与分式方程、一元方程与多元方程、一次方程与高次方程的差异，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 若$a=b$,则下列变形错误的是 （
A.$a+1=b+1$
B.$a-m=b-m$
C.$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$
D.$2a=3b$
D
）A.$a+1=b+1$
B.$a-m=b-m$
C.$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$
D.$2a=3b$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来将每个选项的变形和等式性质对照，判断是否符合即可找出错误的变形。
【解析】
已知$a = b$，结合等式的基本性质逐一分析选项：
选项A：等式两边同时加1，根据等式性质1，可得$a+1 = b+1$，变形正确，不符合题意；
选项B：等式两边同时减$m$，根据等式性质1，可得$a-m = b-m$，变形正确，不符合题意；
选项C：等式两边同时除以2（2不为0），根据等式性质2，可得$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$，变形正确，不符合题意；
选项D：等式左边乘2，右边乘3，乘的不是同一个数，不符合等式性质2，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握等式变形的规则：等式两边必须进行完全相同的运算，做除法运算时还要保证除数不为0，做题时仔细核对两边的运算即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来将每个选项的变形和等式性质对照，判断是否符合即可找出错误的变形。
【解析】
已知$a = b$，结合等式的基本性质逐一分析选项：
选项A：等式两边同时加1，根据等式性质1，可得$a+1 = b+1$，变形正确，不符合题意；
选项B：等式两边同时减$m$，根据等式性质1，可得$a-m = b-m$，变形正确，不符合题意；
选项C：等式两边同时除以2（2不为0），根据等式性质2，可得$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$，变形正确，不符合题意；
选项D：等式左边乘2，右边乘3，乘的不是同一个数，不符合等式性质2，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握等式变形的规则：等式两边必须进行完全相同的运算，做除法运算时还要保证除数不为0，做题时仔细核对两边的运算即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3. (2025阿克苏地区期末)若$x=2$是方程$4x+m=10$的解，则$m$的值是（
A.6
B.2
C.$-6$
D.$-2$
B
）A.6
B.2
C.$-6$
D.$-2$
答案
3. B
解析
【分析】
解题的核心是利用方程的解的定义来求解。首先明确：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，说明把x替换成2时，方程左边等于右边，因此我们可以将x=2代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，再解这个方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵$x=2$是方程$4x+m=10$的解
∴将$x=2$代入方程，可得：
$\quad 4×2 + m = 10$
计算得：$8 + m = 10$
移项得：$m = 10 - 8$
解得：$m=2$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对方程解的定义的理解与运用，只需将已知的解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，计算量小，思路直接。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用方程的解的定义来求解。首先明确：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，说明把x替换成2时，方程左边等于右边，因此我们可以将x=2代入原方程，得到一个只含有未知数m的一元一次方程，再解这个方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵$x=2$是方程$4x+m=10$的解
∴将$x=2$代入方程，可得：
$\quad 4×2 + m = 10$
计算得：$8 + m = 10$
移项得：$m = 10 - 8$
解得：$m=2$
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对方程解的定义的理解与运用，只需将已知的解代入原方程转化为新的一元一次方程求解即可，计算量小，思路直接。
【难度系数】
0.9
4. 下列方程的变形，正确的是 （
A.由 $2(x-3)=-2$，得 $2x=-2-6$
B.由 $\frac{x}{3} -1=\frac{1-x}{2}$，得 $2x -1=3-3x$
C.由 $\frac{x-2}{2} - \frac{3x-2}{4}=1$，得 $2x -4 -3x +2=4$
D.由 $\frac{0.4x -0.1}{0.3} - \frac{x}{2}=1.5$，得 $\frac{4x -1}{3} - \frac{x}{2}=15$
C
）A.由 $2(x-3)=-2$，得 $2x=-2-6$
B.由 $\frac{x}{3} -1=\frac{1-x}{2}$，得 $2x -1=3-3x$
C.由 $\frac{x-2}{2} - \frac{3x-2}{4}=1$，得 $2x -4 -3x +2=4$
D.由 $\frac{0.4x -0.1}{0.3} - \frac{x}{2}=1.5$，得 $\frac{4x -1}{3} - \frac{x}{2}=15$
答案
4. C
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程的变形规则，解题时需要逐个分析每个选项的变形过程，结合去括号法则、等式的性质、分数的基本性质逐一判断对错即可。首先回忆相关规则：1.去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，若括号外是负号，去括号后括号内各项要变号；2.去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；3.利用分数的基本性质将分子分母的小数化为整数时，仅改变对应分数的分子和分母，不影响等式其他部分的数值。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：对$2(x-3)=-2$去括号，得$2x-6=-2$，移项得$2x=-2+6$，选项中移项后为$2x=-2-6$，变形错误。
B选项：对$\frac{x}{3} -1=\frac{1-x}{2}$去分母，等式两边同乘6，得$2x - 6=3(1-x)$，即$2x-6=3-3x$，选项中左边的常数项1未乘6，变形错误。
C选项：对$\frac{x-2}{2} - \frac{3x-2}{4}=1$去分母，等式两边同乘4，得$2(x-2)-(3x-2)=4$，去括号后为$2x -4 -3x +2=4$，变形正确。
D选项：对$\frac{0.4x -0.1}{0.3} - \frac{x}{2}=1.5$变形，将$\frac{0.4x-0.1}{0.3}$的分子分母同乘10得$\frac{4x-1}{3}$，这是利用分数的基本性质，等式右侧1.5不需要变化，仍为1.5，选项中右侧变为15，变形错误。
综上，只有C选项变形正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程变形，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程变形的典型易错题，需要注意三个易错点：去括号时的符号和漏乘问题、去分母时漏乘无分母项的问题、分数化整时不要随意改动等式其他项的数值，熟练掌握相关性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元一次方程的变形规则，解题时需要逐个分析每个选项的变形过程，结合去括号法则、等式的性质、分数的基本性质逐一判断对错即可。首先回忆相关规则：1.去括号时，括号外的因数要乘括号内的每一项，若括号外是负号，去括号后括号内各项要变号；2.去分母时，等式两边要同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；3.利用分数的基本性质将分子分母的小数化为整数时，仅改变对应分数的分子和分母，不影响等式其他部分的数值。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：对$2(x-3)=-2$去括号，得$2x-6=-2$，移项得$2x=-2+6$，选项中移项后为$2x=-2-6$，变形错误。
B选项：对$\frac{x}{3} -1=\frac{1-x}{2}$去分母，等式两边同乘6，得$2x - 6=3(1-x)$，即$2x-6=3-3x$，选项中左边的常数项1未乘6，变形错误。
C选项：对$\frac{x-2}{2} - \frac{3x-2}{4}=1$去分母，等式两边同乘4，得$2(x-2)-(3x-2)=4$，去括号后为$2x -4 -3x +2=4$，变形正确。
D选项：对$\frac{0.4x -0.1}{0.3} - \frac{x}{2}=1.5$变形，将$\frac{0.4x-0.1}{0.3}$的分子分母同乘10得$\frac{4x-1}{3}$，这是利用分数的基本性质，等式右侧1.5不需要变化，仍为1.5，选项中右侧变为15，变形错误。
综上，只有C选项变形正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程变形，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程变形的典型易错题，需要注意三个易错点：去括号时的符号和漏乘问题、去分母时漏乘无分母项的问题、分数化整时不要随意改动等式其他项的数值，熟练掌握相关性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
5. (2025喀什地区期末)《孙子算经》中记载:今有四人共车,二车空；三人共车,九人步,问:人与车各几何?该题意思是:今有若干人乘车,每4人共乘一车,最终剩余2辆车;若每3人共乘一车,最终剩余9个人无车可乘,问:有多少人、多少辆车?若设有x辆车,则可列方程为 (
A.$4(x-2)=3x+9$
B.$4(x+2)=3x-9$
C.$\frac{x}{4}+2=\frac{x-9}{3}$
D.$\frac{x}{4}-2=\frac{x-9}{3}$
A
)A.$4(x-2)=3x+9$
B.$4(x+2)=3x-9$
C.$\frac{x}{4}+2=\frac{x-9}{3}$
D.$\frac{x}{4}-2=\frac{x-9}{3}$
答案
5. A
解析
【分析】
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是抓住“总人数不变”这个隐含的不变量。首先结合设出的车辆数x，分别将两种乘车方案下的总人数用含x的式子表示出来，再根据总人数相等列等式即可匹配对应选项。
第一步分析第一种乘车方案：每4人共乘一车，剩余2辆车，说明实际参与载客的车辆数是总车辆数减去空闲的2辆，即(x-2)辆，总人数就等于每车人数乘实际载客车辆数，即4(x-2)。
第二步分析第二种乘车方案：每3人共乘一车，剩余9人步行，说明总人数等于坐满x辆车的人数加上步行的9人，即3x+9。
第三步根据总人数相等，联立两个式子即可得到对应方程。
【解析】
解：已知设有x辆车，总人数固定不变。
① 每4人共乘一车，剩余2辆车时：
实际载客车辆数为$(x-2)$辆，总人数可表示为：$\boldsymbol{4(x-2)}$
② 每3人共乘一车，剩余9人步行时：
坐满x辆车的人数为$3x$，总人数可表示为：$\boldsymbol{3x+9}$
因为总人数相等，所以可列方程：$4(x-2)=3x+9$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系确定；列一元一次方程
【点评】
本题源自古代经典数学问题，侧重考察对题意的理解能力和等量关系的寻找能力，解题的关键是抓住总人数不变这一核心隐含条件，分别用两种乘车场景表示总人数即可快速列方程，是一元一次方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是抓住“总人数不变”这个隐含的不变量。首先结合设出的车辆数x，分别将两种乘车方案下的总人数用含x的式子表示出来，再根据总人数相等列等式即可匹配对应选项。
第一步分析第一种乘车方案：每4人共乘一车，剩余2辆车，说明实际参与载客的车辆数是总车辆数减去空闲的2辆，即(x-2)辆，总人数就等于每车人数乘实际载客车辆数，即4(x-2)。
第二步分析第二种乘车方案：每3人共乘一车，剩余9人步行，说明总人数等于坐满x辆车的人数加上步行的9人，即3x+9。
第三步根据总人数相等，联立两个式子即可得到对应方程。
【解析】
解：已知设有x辆车，总人数固定不变。
① 每4人共乘一车，剩余2辆车时：
实际载客车辆数为$(x-2)$辆，总人数可表示为：$\boldsymbol{4(x-2)}$
② 每3人共乘一车，剩余9人步行时：
坐满x辆车的人数为$3x$，总人数可表示为：$\boldsymbol{3x+9}$
因为总人数相等，所以可列方程：$4(x-2)=3x+9$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系确定；列一元一次方程
【点评】
本题源自古代经典数学问题，侧重考察对题意的理解能力和等量关系的寻找能力，解题的关键是抓住总人数不变这一核心隐含条件，分别用两种乘车场景表示总人数即可快速列方程，是一元一次方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
6. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图67-G-1.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置,如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工的体重均为120斤,设每块条形石的重量是$x$斤,则正确的是 (
图67-G-1
A.依题意,得$3×120 = x - 120$
B.依题意,得$20x + 3×120 = (20+1)x + 120$
C.该象的重量是5040斤
D.每块条形石的重量是260斤
B
)图67-G-1
A.依题意,得$3×120 = x - 120$
B.依题意,得$20x + 3×120 = (20+1)x + 120$
C.该象的重量是5040斤
D.每块条形石的重量是260斤
答案
6. B
解析
【分析】
解题的核心是抓住“两次水位恰好到达标记位置”这一条件，说明两种情况下船的总载重量相等，都等于大象的重量。首先分别表示出两次船上物品的总重量，令二者相等即可列出方程，再通过解方程验证其余选项是否正确即可。
【解析】
根据题意，两次水位到达同一标记，说明两次船上的总重量均等于大象的重量，二者相等：
第一次总重量：20块条形石重量 + 3个搬运工重量 = $20x + 3×120$
第二次总重量：(20+1)块条形石重量 + 1个搬运工重量 = $(20+1)x + 1×120$
因此列方程得：$20x + 3×120 = (20+1)x + 120$，对应选项B。
验证其余选项：
解方程得$x=240$，故每块条形石重240斤，D错误；
大象重量为$20×240 + 3×120=5160$斤，C错误；
A选项方程不符合等量关系，错误。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用
等量关系建模
【点评】
本题结合“曹冲称象”的历史典故考查方程的实际应用，解题关键是准确找到两次载重量相等的核心等量关系，题目难度不高，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“两次水位恰好到达标记位置”这一条件，说明两种情况下船的总载重量相等，都等于大象的重量。首先分别表示出两次船上物品的总重量，令二者相等即可列出方程，再通过解方程验证其余选项是否正确即可。
【解析】
根据题意，两次水位到达同一标记，说明两次船上的总重量均等于大象的重量，二者相等：
第一次总重量：20块条形石重量 + 3个搬运工重量 = $20x + 3×120$
第二次总重量：(20+1)块条形石重量 + 1个搬运工重量 = $(20+1)x + 1×120$
因此列方程得：$20x + 3×120 = (20+1)x + 120$，对应选项B。
验证其余选项：
解方程得$x=240$，故每块条形石重240斤，D错误；
大象重量为$20×240 + 3×120=5160$斤，C错误；
A选项方程不符合等量关系，错误。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用
等量关系建模
【点评】
本题结合“曹冲称象”的历史典故考查方程的实际应用，解题关键是准确找到两次载重量相等的核心等量关系，题目难度不高，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
