2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$D$ 是斜边 $AB$ 上一点,且 $AC=AD$.
(1)作$∠ BAC$ 的平分线,交 $BC$ 于点 $E$.(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接 $DE$,求证:$DE⊥ AB$.

解：(1)如图，$AE$即为所求。
(2)证明：$\because AE$平分$\angle BAC，$
$\therefore\angle CAE = \angle DAE。$
在$\triangle ACE$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}AC = AD\\\angle CAE = \angle DAE\\AE = AE\end{cases}，$
$\therefore\triangle ACE\cong\triangle ADE(SAS)，$
$\therefore\angle ADE = \angle C = 90^{\circ}，$$\therefore DE\perp AB。$

定义:如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形,我们把这条线段叫作这个三角形的"双等腰线".如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这2条线段叫作这个三角形的"三等腰线".如图1,BE是△ABD的"双等腰线",AD、BE是△ABC的"三等腰线".
(1)请在图2三个图中,分别画出△ABC的"双等腰线",并做必要的标注或说明.
①$∠ C=90°$ ②$∠ B=70°,∠ A=35°$ ③$∠ ABC=81°,∠ A=27°$


(2)如果一个等腰三角形有"双等腰线",那么它的底角度数是________.
(3)如图 3,$△ ABC$中,$∠ C=\frac{3}{2}∠ B,∠ B＜45°$.画出$△ ABC$所有可能的"三等腰线",使得对$∠ B$取值范围内的任意值都成立,并做必要的标注或说明.(每种可能用一个图单独表示,如果图不够用可以自己补充)

; $72^{\circ}$或$36^{\circ}$或$45^{\circ}$或$(\frac{540}{7})^{\circ}$ ;
; ​解：$(3)$​∵要画出使得对​$∠B$​取值范围内的任意值都成立的​$“$​三等腰线​$”，$​∴不能使​$∠B$​等于具体的数值，∴数值需要分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可。第一种画法：如图8，∵∠C = ​$\frac {3}{2}$​∠B，设∠B = ​$2x°$​，∠C = ​$3x°$​，当AD、DE将△ABC分成BD = DE，DE = AE，AD = AC的三个等腰三角形时，则有∠BED = ∠B = ​$2x°$​，∠ADC = ∠C = ​$3x°$​。∵∠EDC = ∠B + ∠BED = ​$4x°$​，∴∠EDA = ∠EDC - ∠ADC = ​$x°$​，∴∠EAD = ​$x°$​，∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B : ∠C : ∠EDA = 2 : 3 : 1，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立；第二种画法：如图9，∵∠C = ​$\frac {3}{2}$​∠B，设∠B = ​$2x°$​，∠C = ​$3x°$​，当AD、DE将△ABC分成BE = DE，AD = AE，AD = CD的三个等腰三角形时，则∠EDB = ∠B = ​$2x°$​，∠DAC = ∠C = ​$3x°$​。∵∠AED = ∠B + ∠BDE = ​$4x°$​，∴∠EDA = ​$4x°$​，因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B : ∠C : ∠AED = 2 : 3 : 4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立。综上所述，如图所示的两种​$“$​三等腰线​$”$​可以使得对​$∠B$​取值范围内的任意值都成立。