11. 高度为 120 cm 的圆柱形容器注满了水(即容器的水位高度为 120 cm),上端有一关闭状态的注水口,底端有一关闭状态的排水口,如图 1 所示.现在先打开排水口,排水速度为12 cm/min(即仅打开排水口时,每分钟能使圆柱形容器内的水位高度下降 12 cm),排水口打开一段时间后,再打开注水口,同时保持排水口的开放状态,继续经过一段时间后关闭排水口,同时注水口仍保持开放状态,直至容器注满水时立即关闭注水口.圆柱形容器的水位高度记为 h(cm),从打开排水口时开始计时,至容器注满水时停止计时,时间记为 t(min),已知 h 关于 t 的函数图象如图 2 所示.根据图中所给信息,解决下列问题:
(1)$t_1$ 的值为________.
(2)求注水速度(即仅打开注水口时,每分钟能使圆柱形容器内的水位上升的高度).
(3)求图 2 中线段 CD 所在直线的函数表达式.
(4)在圆柱形容器的水位高度变化过程中,当 h 满足 $h≤60$(cm)时,时间 t(min)的取值范围是________.

$\frac{15}{2}$ ; $5\leq t\leq15$ ; 解：(2) 设注水速度为 ​$x\ \text{cm/min}$​，由 ​$B - C - D$​ 的图象，得 ​$(x - 12)(20 - \frac {15}{2})+(\frac {45}{2} - 20)·x = 120 - 30$​，解得 ​$x = 16$​，​$∴$​ 注水速度为 ​$16\ \text{cm/min}$​。(3) 由 ​$BC$​ 段的注水情况，得 ​$(16 - 12)×(20 - \frac {15}{2}) = m - 30$​，解得 ​$m = 80$​。设线段 ​$CD$​ 所在直线的函数表达式为 ​$h = kt + b$​，将点 ​$C(20， 80)$​、​$D(\frac {45}{2}， 120)$​ 的坐标代入，得 ​$\begin {cases}80 = 20k + b，\\120 = \frac {45}{2}k + b，\end {cases}$​ 解得 ​$\begin {cases}k = 16，\\b = - 240，\end {cases}$​ ​$∴$​ 线段 ​$CD$​ 所在直线的函数表达式为 ​$h = 16t - 240$​。

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是边BC的中点,E为$△ ABC$内一点,连接ED并延长到点F,使得$DF=ED$,连接AF、CF.
(1)求证:$BE// CF$.
(2)若$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ BAC$,求证:$AF^2=AB^2+BE^2$.
(3)连接EC,探索当$∠ BEC$与$∠ BAC$满足什么数量关系时,$AC=AF$,并说明理由.

解： (1)证明：
因为$D$是边$BC$的中点，所以$BD = DC。$ 因为$ED = DF，$$\angle EDB=\angle FDC，$ 所以$\triangle BDE\cong\triangle CDF(SAS)，$ 所以$\angle EBD=\angle FCD，$所以$BE// CF。$ (2)证明：
由
(1)，得$\triangle BDE\cong\triangle CDF，$所以$BE = CF，$$\angle EBD=\angle FCD。$ 因为$AB = AC，$所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)。$ 因为$\angle EBD=\frac{1}{2}\angle BAC，$所以$\angle FCD=\frac{1}{2}\angle BAC，$ 所以$\angle ACF=\angle ACB+\angle FCD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)+\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}，$ 所以$AF^{2}=AC^{2}+CF^{2}=AB^{2}+BE^{2}。$ (3)当$\angle BEC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$时，$AC = AF。$ 理由如下：
如图，连接$BF。$
在$\triangle BCE$和$\triangle CBF$中， $\begin{cases}BE = CF \\\angle EBD=\angle FCD \\BC = CB\end{cases}，$ 所以$\triangle BCE\cong\triangle CBF(SAS)，$所以$\angle BEC=\angle CFB。$ 因为$AC = AF，$$AB = AC，$所以$AB = AF = AC，$所以$\angle ABF=\angle AFB，$$\angle AFC=\angle ACF。$ 因为$\angle BAC+\angle ABF+\angle AFB+\angle AFC+\angle ACF = 360^{\circ}，$ 所以$\angle BAC + 2(\angle AFB+\angle AFC)=360^{\circ}，$ 所以$\angle BAC + 2\angle BFC = 360^{\circ}，$ 所以$\angle BAC + 2\angle BEC = 360^{\circ}，$ 所以$\angle BEC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC，$即当$\angle BEC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$时，$AC = AF。$