10.(2024·宿豫区二模)对于任意实数$m$,抛物线$y=x^2+mx+2m-n$与$x$轴都有公共点,则$n$的取值范围是________.

$n\geq4$

11.规定:如果两个函数的图像关于 y 轴对称,那么称这两个函数互为“Y 函数”.例如:函数$y=x+3$与$y=-x+3$互为“Y 函数”.若函数$y=\frac{k}{4}x^2+(k-1)x+k-3$的图像与 x 轴只有一个交点,则它的“Y 函数”图像与 x 轴的交点坐标为________.

$(3,0)$或$(4,0)$

12.(2024·句容期末)如图,二次函数$y=-x^2+bx+c$的图像经过点(-1,8),对称轴为直线x=-2.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当x满足_________时,y＞0;当-3≤x＜2时,y的取值范围为______;(3)将该二次函数图像向下平移p个单位长度后恰好与坐标轴有两个公共点,求p的值.

第12题图

$-5＜x＜1$ ; $-7＜y\leq9$ ; 解：​$(1)$​∵对称轴为直线​$x=-2，$​ ∴​$-\frac {b}{2×(-1)}=-2，$​解得​$b=-4，$​∴​$y=-x^2-4x + c，$​​$ $​把点​$(-1，8)$​代入，得​$-1 + 4 + c = 8，$​解得​$c = 5，$​ ∴该二次函数的表达式为​$y=-x^2-4x + 5.$​​$ (3)$​∵平移后的二次函数图像恰好与坐标轴有两个公共点，∴顶点在​$x$​轴上或经过原点​$.$​ ∵二次函数​$y=-x^2-4x + 5$​的顶点坐标为​$(-2，9)，$​ ∴顶点在​$x$​轴上时，顶点的纵坐标为​$0，$​顶点需向下平移​$9$​个单位长度​$.$​ ∵二次函数图像与​$y$​轴交于点​$(0，5)，$​二次函数图像过原点时，交点为​$(0，0)，$​ ∴二次函数图像需沿​$y$​轴向下平移​$5$​个单位长度， ∴​$p $​的值为​$9$​或​$5.$​

13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 + (1 - 5m)x - 5 = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线 $ y = mx^2 + (1 - 5m)x - 5 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(x_1,0),B(x_2,0) $ 两点,且 $ |x_1 - x_2| = 6 $,求 $ m $ 的值;
(3)若 $ m＞0 $,点 $ P(a,b) $ 与 $ Q(a+n,b) $ 在(2)中的抛物线上(点 $ P,Q $ 不重合),求代数式 $ 4a^2 - n^2 + 8n $ 的值.

证明：​$(1)$​由题意，得​$b^2-4ac=(1 - 5m)^2-4m×(-5)=1 + 25\ \mathrm {m^2}-10m + 20m$​​$=25\ \mathrm {m^2}+10m + 1=(5m + 1)^2\geq 0，$​ ∴无论​$m $​为任何非零实数，此方程总有两个实数根.​$ (2)$​令​$mx^2+(1 - 5m)x - 5 = 0，$​则​$(x - 5)(mx + 1)=0，$​​$ $​解得​$x_{1}=-\frac {1}{m}，$​​$x_{2}=5，$​由​$|x_{1}-x_{2}|=6，$​​$ $​得​$|-\frac {1}{m}-5|=6，$​​$ $​当​$-\frac {1}{m}-5 = 6$​时，​$-\frac {1}{m}=11，$​解得​$m=-\frac {1}{11}；$​​$ $​当​$-\frac {1}{m}-5=-6$​时，​$-\frac {1}{m}=-1，$​解得​$m = 1.$​​$ $​所以​$m = 1$​或​$m=-\frac {1}{11}.$​​$ (3)$​由​$(2)$​得，当​$m＞0$​时，​$m = 1，$​​$ $​此时抛物线的函数表达式为​$y = x^2-4x - 5，$​其对称轴为直线​$x = 2.$​ 由题意可知，点​$P，$​​$Q $​关于直线​$x = 2$​对称， ∴​$\frac {a+a + n}{2}=2，$​即​$2a = 4 - n，$​ ∴​$4a^2-n^2+8n=(4 - n)^2-n^2+8n$​​$ =16-8n + n^2-n^2+8n=16.$​