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1. 已知$2x=3y(xy≠0)$，那么下列比例式中成立的是（
A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$
C.$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}$
D.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}$
C
）A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$
C.$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}$
D.$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是正向推导，将已知等积式2x=3y根据等式的性质变形为比例式，再对应选项判断；二是反向验证，利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，与已知条件2x=3y对比，一致的即为正确选项，两种方法中反向验证更适合选择题，不易出错。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d≠0$）中，$ad=bc$，对各选项逐一验证：
选项A：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，排除；
选项B：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，排除；
选项C：$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件一致，当选；
选项D：$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$，交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不符，排除。
也可正向推导：已知$2x=3y$且$xy≠0$，等式两边同时除以6得$\frac{2x}{6}=\frac{3y}{6}$，化简得$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 比例式与等积式的互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握比例的基本性质，做题时注意区分比例的内项和外项，避免交叉相乘时系数对应错误。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：一是正向推导，将已知等积式2x=3y根据等式的性质变形为比例式，再对应选项判断；二是反向验证，利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，与已知条件2x=3y对比，一致的即为正确选项，两种方法中反向验证更适合选择题，不易出错。
【解析】
根据比例的基本性质：在比例$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$b、d≠0$）中，$ad=bc$，对各选项逐一验证：
选项A：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，排除；
选项B：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，与已知$2x=3y$不符，排除；
选项C：$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，交叉相乘得$2x=3y$，与已知条件一致，当选；
选项D：$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$，交叉相乘得$xy=6$，与已知$2x=3y$不符，排除。
也可正向推导：已知$2x=3y$且$xy≠0$，等式两边同时除以6得$\frac{2x}{6}=\frac{3y}{6}$，化简得$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 比例的基本性质
2. 比例式与等积式的互化
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握比例的基本性质，做题时注意区分比例的内项和外项，避免交叉相乘时系数对应错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图,下列四个三角形中,与$△ ABC$相似的是 (
$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=6$，$∠ B=75°$
A.三角形：边长5，角$75°$，底边5
B.
C.三角形：边长5，角$30°$，底边5
D.三角形：边长5，5，顶角$40°$
C
)$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=6$，$∠ B=75°$
A.三角形：边长5，角$75°$，底边5
B.
C.三角形：边长5，角$30°$，底边5
D.三角形：边长5，5，顶角$40°$
答案
2. C
解析
【分析】
首先分析已知△ABC的特征：△ABC中AB=AC=6，是等腰三角形，已知底角∠B=75°，先根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和为180°，算出△ABC的三个内角度数。再根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，逐一计算各选项三角形的内角度数，和△ABC的内角对比即可找到相似的三角形。
【解析】
第一步：计算△ABC的各内角度数
∵ AB=AC=6，∠B=75°
∴ ∠C=∠B=75°（等腰三角形两底角相等）
∴ ∠A=180° - ∠B - ∠C = 180° - 75°×2 = 30°
即△ABC的三个内角分别为30°、75°、75°。
第二步：逐一分析选项
A选项：该三角形两条边长为5，夹角为75°，则另外两个角的度数均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个内角为75°、52.5°、52.5°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似；
B选项：该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似；
C选项：该三角形两条边长为5，夹角为30°，则另外两个角的度数均为(180°-30°)÷2=75°，三个内角为30°、75°、75°，和△ABC的内角对应相等，满足两角对应相等，两个三角形相似；
D选项：该三角形是等腰三角形，顶角为40°，则底角度数为(180°-40°)÷2=70°，三个内角为40°、70°、70°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的核心是先求出已知三角形的内角度数，再通过角度对比判断是否满足相似的条件，难度不大，主要考察对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
首先分析已知△ABC的特征：△ABC中AB=AC=6，是等腰三角形，已知底角∠B=75°，先根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和为180°，算出△ABC的三个内角度数。再根据相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，逐一计算各选项三角形的内角度数，和△ABC的内角对比即可找到相似的三角形。
【解析】
第一步：计算△ABC的各内角度数
∵ AB=AC=6，∠B=75°
∴ ∠C=∠B=75°（等腰三角形两底角相等）
∴ ∠A=180° - ∠B - ∠C = 180° - 75°×2 = 30°
即△ABC的三个内角分别为30°、75°、75°。
第二步：逐一分析选项
A选项：该三角形两条边长为5，夹角为75°，则另外两个角的度数均为(180°-75°)÷2=52.5°，三个内角为75°、52.5°、52.5°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似；
B选项：该三角形三边长均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似；
C选项：该三角形两条边长为5，夹角为30°，则另外两个角的度数均为(180°-30°)÷2=75°，三个内角为30°、75°、75°，和△ABC的内角对应相等，满足两角对应相等，两个三角形相似；
D选项：该三角形是等腰三角形，顶角为40°，则底角度数为(180°-40°)÷2=70°，三个内角为40°、70°、70°，和△ABC内角度数不对应相等，不相似。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题的核心是先求出已知三角形的内角度数，再通过角度对比判断是否满足相似的条件，难度不大，主要考察对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.75
3. 如图，已知$△ ABC$与$△ DEF$位似，位似中心为点$O$，且$OC:OF=3:2$，则线段$AB:DE=$（
A.$3:2$
B.$3:5$
C.$9:4$
D.$9:5$
A
）A.$3:2$
B.$3:5$
C.$9:4$
D.$9:5$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，位似比等于位似中心到两个对应点的距离之比，同时相似三角形的对应边之比等于相似比，也就是等于位似比。已知OC和OF是对应点C、F到位似中心O的距离，比值为3:2，即可推出对应边AB与DE的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比，即位似比$=OC:OF=3:2$。
又
∵相似三角形的对应边之比等于相似比，AB和DE是两个三角形的对应边，
∴$AB:DE=$位似比$=3:2$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的核心性质，只要掌握位似比与对应点到位似中心距离的关系、以及位似比和相似三角形对应边比的关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，位似比等于位似中心到两个对应点的距离之比，同时相似三角形的对应边之比等于相似比，也就是等于位似比。已知OC和OF是对应点C、F到位似中心O的距离，比值为3:2，即可推出对应边AB与DE的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比，即位似比$=OC:OF=3:2$。
又
∵相似三角形的对应边之比等于相似比，AB和DE是两个三角形的对应边，
∴$AB:DE=$位似比$=3:2$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1. 位似的性质
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查位似图形的核心性质，只要掌握位似比与对应点到位似中心距离的关系、以及位似比和相似三角形对应边比的关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
4. 如图，在$△ ABC$中，D，M是边AB的三等分点，N，E是边AC的三等分点。连结ND并延长，与CB的延长线相交于点P。若$DE=4$，则线段CP的长为（
A.5
B.7
C.6
D.8
D
）A.5
B.7
C.6
D.8
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先从三等分点的线段比例入手：1. 根据三等分点得到对应边成比例，结合公共角可判定△AMN、△ADE都与△ABC相似，进而推出MN//DE//BC；2. 利用△ADE与△ABC的相似比，结合已知DE=4求出BC的长度；3. 由MN//PB、MD=DB可证△MND和△BPD全等，得到BP=MN，再由△AMN与△ABC的相似比求出MN的长度，即得到BP的长；4. 最后CP=BC+BP即可算出结果。
【解析】
解：
∵D、M是AB的三等分点，N、E是AC的三等分点
∴AM=MD=DB，AN=NE=EC
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$
又∠A为△AMN和△ABC、△ADE和△ABC的公共角
∴△AMN∽△ABC，△ADE∽△ABC
∴MN//BC，DE//BC，且$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
将DE=4代入$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，得$\frac{4}{BC}=\frac{2}{3}$，解得$BC=6$
∴$MN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$
∵MN//BC，即MN//PB
∴∠NMD=∠PBD，∠MND=∠P
又
∵MD=DB
∴△MND≌△BPD（AAS）
∴BP=MN=2
∴$CP=CB+BP=6+2=8$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题主要结合三等分点的特征考查三角形相似、全等的综合应用，解题的突破口是通过线段比例关系推出平行线，再结合相似、全等的性质求解未知线段长度，解题时注意梳理图中的线段和角的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从三等分点的线段比例入手：1. 根据三等分点得到对应边成比例，结合公共角可判定△AMN、△ADE都与△ABC相似，进而推出MN//DE//BC；2. 利用△ADE与△ABC的相似比，结合已知DE=4求出BC的长度；3. 由MN//PB、MD=DB可证△MND和△BPD全等，得到BP=MN，再由△AMN与△ABC的相似比求出MN的长度，即得到BP的长；4. 最后CP=BC+BP即可算出结果。
【解析】
解：
∵D、M是AB的三等分点，N、E是AC的三等分点
∴AM=MD=DB，AN=NE=EC
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$
又∠A为△AMN和△ABC、△ADE和△ABC的公共角
∴△AMN∽△ABC，△ADE∽△ABC
∴MN//BC，DE//BC，且$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$
将DE=4代入$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，得$\frac{4}{BC}=\frac{2}{3}$，解得$BC=6$
∴$MN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$
∵MN//BC，即MN//PB
∴∠NMD=∠PBD，∠MND=∠P
又
∵MD=DB
∴△MND≌△BPD（AAS）
∴BP=MN=2
∴$CP=CB+BP=6+2=8$
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题主要结合三等分点的特征考查三角形相似、全等的综合应用，解题的突破口是通过线段比例关系推出平行线，再结合相似、全等的性质求解未知线段长度，解题时注意梳理图中的线段和角的对应关系。
【难度系数】
0.6
5. 如图，有三个矩形，其中为相似矩形的是（
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.甲和乙和丙
C
）A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.甲和乙和丙
答案
5. C
解析
【分析】
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：对应角相等、对应边成比例。矩形的四个内角都是直角，因此所有矩形的对应角天然相等，只需验证两个矩形的邻边比值是否相等，比值相等则对应边成比例，两矩形相似，反之则不相似。我们分别计算三个矩形的长与宽的比值，对比比值即可得出结论。
【解析】
解：矩形的四个角均为直角，因此三个矩形的对应角都相等，只需判断邻边是否成比例：
1. 丙矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{5}{2}$
2. 乙矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{6}{3}=2$
3. 甲矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
甲和丙的邻边比值相等，对应边成比例，且对应角相等，因此甲和丙是相似矩形。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定、矩形的性质
【点评】
本题属于相似图形判定的基础题，解题时可利用矩形角都相等的特点简化判定步骤，只需验证邻边比例是否相等即可，降低计算量。
【难度系数】
0.8
要判断矩形是否相似，首先回忆相似多边形的判定条件：对应角相等、对应边成比例。矩形的四个内角都是直角，因此所有矩形的对应角天然相等，只需验证两个矩形的邻边比值是否相等，比值相等则对应边成比例，两矩形相似，反之则不相似。我们分别计算三个矩形的长与宽的比值，对比比值即可得出结论。
【解析】
解：矩形的四个角均为直角，因此三个矩形的对应角都相等，只需判断邻边是否成比例：
1. 丙矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{5}{2}$
2. 乙矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{6}{3}=2$
3. 甲矩形邻边比：$\frac{长}{宽}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
甲和丙的邻边比值相等，对应边成比例，且对应角相等，因此甲和丙是相似矩形。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定、矩形的性质
【点评】
本题属于相似图形判定的基础题，解题时可利用矩形角都相等的特点简化判定步骤，只需验证邻边比例是否相等即可，降低计算量。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$\odot O$是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是$\overset{\frown}{AC}$上一点，BD交AC于点E，若$BC=4$，$AD=\frac{4}{5}$，则AE的长是（
A.3
B.2
C.1
D.1.2
C
）A.3
B.2
C.1
D.1.2
答案
6. C
解析
【分析】首先结合等腰直角三角形的性质，确定斜边AB为⊙O的直径，可得直径所对的∠ADB为直角；通过对顶角相等、直角相等可证△ADE与△BCE相似，得到边的比例关系；再用勾股定理计算出BD的长度，设AE的长为x，用含x的式子表示BE、DE，结合BD=BE+DE列方程求解即可。
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=4，
∴AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
又
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，代入$AD=\frac{4}{5}$、$BC=4$，得$\frac{\frac{4}{5}}{4}=\frac{1}{5}$，即$BE=5AE$，$DE=\frac{1}{5}CE$。
设$AE=x$，则$CE=4-x$，
∴$BE=5x$，$DE=\frac{4-x}{5}$。
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{32-\frac{16}{25}}=\frac{28}{5}$。
∵$BD=BE+DE$，
∴$5x+\frac{4-x}{5}=\frac{28}{5}$，
两边同乘5得：$25x+4-x=28$，
解得$x=1$，即AE的长为1。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题将圆的性质与相似三角形结合考查，需要熟练运用圆周角定理、相似三角形的比例关系，结合方程思想求解，解题的突破口是证明三角形相似得到边的比例关系。
【难度系数】0.6
【解析】
∵△ABC是等腰直角三角形，BC=4，
∴AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
又
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，代入$AD=\frac{4}{5}$、$BC=4$，得$\frac{\frac{4}{5}}{4}=\frac{1}{5}$，即$BE=5AE$，$DE=\frac{1}{5}CE$。
设$AE=x$，则$CE=4-x$，
∴$BE=5x$，$DE=\frac{4-x}{5}$。
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-(\frac{4}{5})^2}=\sqrt{32-\frac{16}{25}}=\frac{28}{5}$。
∵$BD=BE+DE$，
∴$5x+\frac{4-x}{5}=\frac{28}{5}$，
两边同乘5得：$25x+4-x=28$，
解得$x=1$，即AE的长为1。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题将圆的性质与相似三角形结合考查，需要熟练运用圆周角定理、相似三角形的比例关系，结合方程思想求解，解题的突破口是证明三角形相似得到边的比例关系。
【难度系数】0.6
二、填空题(每小题6分，共24分)
7. 如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点D，$∠ CAD = 30°$。若$△ ABC ∽ △ CBD$，则$∠ CBD$ 的度数为
7. 如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点D，$∠ CAD = 30°$。若$△ ABC ∽ △ CBD$，则$∠ CBD$ 的度数为
$60°$
。答案
7. $60°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先由CD⊥AB得到直角，再结合相似三角形对应角相等的性质，注意根据相似的顶点对应顺序找准相等的角，最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算所求角的度数即可。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ CDB = 90°$。
∵ $△ ABC ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应角相等的性质，可得$∠ ACB = ∠ CDB = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB = ∠ CAD = 30°$，根据直角三角形两锐角互余，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
∵ 点D在AB边上，
∴ $∠ CBD = ∠ ABC = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似性质与直角三角形角度计算的结合基础题，解题的关键是根据相似三角形的顶点对应顺序准确匹配对应角，避免因对应角找错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件逐步推导：首先由CD⊥AB得到直角，再结合相似三角形对应角相等的性质，注意根据相似的顶点对应顺序找准相等的角，最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算所求角的度数即可。
【解析】
解：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ CDB = 90°$。
∵ $△ ABC ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应角相等的性质，可得$∠ ACB = ∠ CDB = 90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB = ∠ CAD = 30°$，根据直角三角形两锐角互余，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
∵ 点D在AB边上，
∴ $∠ CBD = ∠ ABC = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似性质与直角三角形角度计算的结合基础题，解题的关键是根据相似三角形的顶点对应顺序准确匹配对应角，避免因对应角找错导致计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且$AB// NP$，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。若$NP=2\ \mathrm{cm}$，则BC的长为
$\sqrt{5}-1$
cm。（结果保留根号）答案
8. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先确定AB的长度：已知四边形MNPQ是正方形，AB//NP，A、B分别在MN、PQ上，可证四边形ABPN是矩形，因此AB的长度等于正方形的边长NP；第二步，结合题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将AB的长度代入公式计算即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形MNPQ是正方形，
∴$MN// PQ$，$NP=2\ \mathrm{cm}$为正方形的边长，
又
∵$AB// NP$，
∴四边形ABPN是矩形，
∴$AB=NP=2\ \mathrm{cm}$。
∵点C是AB的黄金分割点，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（cm）。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形的性质；黄金分割；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合汉字书写的实际场景考查黄金分割的基础应用，解题关键是先结合正方形和矩形的性质求出AB的长度，再代入黄金分割比例计算即可，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先确定AB的长度：已知四边形MNPQ是正方形，AB//NP，A、B分别在MN、PQ上，可证四边形ABPN是矩形，因此AB的长度等于正方形的边长NP；第二步，结合题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，将AB的长度代入公式计算即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形MNPQ是正方形，
∴$MN// PQ$，$NP=2\ \mathrm{cm}$为正方形的边长，
又
∵$AB// NP$，
∴四边形ABPN是矩形，
∴$AB=NP=2\ \mathrm{cm}$。
∵点C是AB的黄金分割点，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（cm）。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
正方形的性质；黄金分割；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合汉字书写的实际场景考查黄金分割的基础应用，解题关键是先结合正方形和矩形的性质求出AB的长度，再代入黄金分割比例计算即可，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
9. 如图，G为$△ ABC$的重心，$GE// AC$，若$S_{△ ABC}=72$，则$S_{△ GDE}=$
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，它分中线所得的线段比为（到顶点的距离）:（到对边中点的距离）=2:1，且中线可将三角形分为面积相等的两部分，据此求出△ADC的面积，以及GD与AD的比值；2. 由GE//AC可判定△GDE和△ADC相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可计算出△GDE的面积。
【解析】
解：
∵G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，且$AG:GD=2:1$，
∴$BD=DC$，$GD:AD=1:3$，
∵中线AD将△ABC分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×72=36$，
∵$GE// AC$，
∴$∠ GED=∠ C$，$∠ GDE=∠ ADC$，
∴$△ GDE ∽ △ ADC$，相似比$k=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ GDE}}{S_{△ ADC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ GDE}=\frac{1}{9}×36=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将重心性质和相似三角形的性质结合考查，解题核心是先通过重心得到线段比例和部分三角形面积，再利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形面积与相似比的关系求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，它分中线所得的线段比为（到顶点的距离）:（到对边中点的距离）=2:1，且中线可将三角形分为面积相等的两部分，据此求出△ADC的面积，以及GD与AD的比值；2. 由GE//AC可判定△GDE和△ADC相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可计算出△GDE的面积。
【解析】
解：
∵G是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，且$AG:GD=2:1$，
∴$BD=DC$，$GD:AD=1:3$，
∵中线AD将△ABC分为面积相等的两部分，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×72=36$，
∵$GE// AC$，
∴$∠ GED=∠ C$，$∠ GDE=∠ ADC$，
∴$△ GDE ∽ △ ADC$，相似比$k=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ GDE}}{S_{△ ADC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，
∴$S_{△ GDE}=\frac{1}{9}×36=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将重心性质和相似三角形的性质结合考查，解题核心是先通过重心得到线段比例和部分三角形面积，再利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形面积与相似比的关系求解。
【难度系数】
0.7
