登录
9. (1)已知多项式$-3x^{3}y^{m+1}+xy^{3}+(n-1)x^{2}y^{2}-4$是六次三项式，求$(m+1)^{2n}-3$的值。
(2)多项式$7x^{m}+(k-1)x^{2}-(2n+4)x-6$是关于$x$的三次三项式，并且二次项系数为1，求$m+n-k$的值。
(2)多项式$7x^{m}+(k-1)x^{2}-(2n+4)x-6$是关于$x$的三次三项式，并且二次项系数为1，求$m+n-k$的值。
答案
9.(1)6。(2)$-1$。
解析
【分析】
这两道小题均围绕多项式的核心概念求解，解题思路可分为三步：①根据多项式的次数定义，确定最高次项的次数，列方程求最高次对应的指数参数；②根据“几项式”的要求，判断存在系数为0的多余项，列方程求对应参数；③将求得的参数代入目标代数式计算结果。
第(1)问中，“六次”说明最高次项次数为6，“三项式”说明原式的4个项中有1项系数为0；第(2)问中，“三次”说明最高次为3，“二次项系数为1”可直接列方程求k，“三项式”说明原式的4个项中有1项系数为0。
【解析】
(1) 解：已知多项式$-3x^{3}y^{m+1}+xy^{3}+(n-1)x^{2}y^{2}-4$是六次三项式
① 求$m$的值：最高次项为$-3x^{3}y^{m+1}$，其次数为$3+(m+1)$，由六次多项式的定义得：
$3+(m+1)=6$，解得$m=2$
② 求$n$的值：原式共4项，要为三项式则需1项系数为0，$xy^3$和常数项$-4$的系数均不为0，因此$(n-1)x^2y^2$的系数为0，即：
$n-1=0$，解得$n=1$
③ 代入代数式计算：
$(m+1)^{2n}-3=(2+1)^{2×1}-3=9-3=6$
(2) 解：已知多项式$7x^{m}+(k-1)x^{2}-(2n+4)x-6$是关于$x$的三次三项式，且二次项系数为1
① 求$m$的值：三次多项式的最高次项次数为3，因此$m=3$
② 求$k$的值：二次项系数为1，即$k-1=1$，解得$k=2$
③ 求$n$的值：原式共4项，要为三项式则需1项系数为0，已知三次项、二次项、常数项均存在，因此一次项系数为0，即：
$-(2n+4)=0$，解得$n=-2$
④ 代入代数式计算：
$m+n-k=3+(-2)-2=-1$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值
【点评】
本题重点考查多项式的基本概念，解题核心是准确理解多项式次数、项数、项的系数的定义，根据题设限定条件建立方程求出未知参数，再代入代数式计算即可。需注意“n项式”是指合并同类项后剩余的不含同类项的项的总数，因此多余项的系数必须为0。
【难度系数】
0.7
这两道小题均围绕多项式的核心概念求解，解题思路可分为三步：①根据多项式的次数定义，确定最高次项的次数，列方程求最高次对应的指数参数；②根据“几项式”的要求，判断存在系数为0的多余项，列方程求对应参数；③将求得的参数代入目标代数式计算结果。
第(1)问中，“六次”说明最高次项次数为6，“三项式”说明原式的4个项中有1项系数为0；第(2)问中，“三次”说明最高次为3，“二次项系数为1”可直接列方程求k，“三项式”说明原式的4个项中有1项系数为0。
【解析】
(1) 解：已知多项式$-3x^{3}y^{m+1}+xy^{3}+(n-1)x^{2}y^{2}-4$是六次三项式
① 求$m$的值：最高次项为$-3x^{3}y^{m+1}$，其次数为$3+(m+1)$，由六次多项式的定义得：
$3+(m+1)=6$，解得$m=2$
② 求$n$的值：原式共4项，要为三项式则需1项系数为0，$xy^3$和常数项$-4$的系数均不为0，因此$(n-1)x^2y^2$的系数为0，即：
$n-1=0$，解得$n=1$
③ 代入代数式计算：
$(m+1)^{2n}-3=(2+1)^{2×1}-3=9-3=6$
(2) 解：已知多项式$7x^{m}+(k-1)x^{2}-(2n+4)x-6$是关于$x$的三次三项式，且二次项系数为1
① 求$m$的值：三次多项式的最高次项次数为3，因此$m=3$
② 求$k$的值：二次项系数为1，即$k-1=1$，解得$k=2$
③ 求$n$的值：原式共4项，要为三项式则需1项系数为0，已知三次项、二次项、常数项均存在，因此一次项系数为0，即：
$-(2n+4)=0$，解得$n=-2$
④ 代入代数式计算：
$m+n-k=3+(-2)-2=-1$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-1}$
【知识点】
多项式的项与次数，代数式求值
【点评】
本题重点考查多项式的基本概念，解题核心是准确理解多项式次数、项数、项的系数的定义，根据题设限定条件建立方程求出未知参数，再代入代数式计算即可。需注意“n项式”是指合并同类项后剩余的不含同类项的项的总数，因此多余项的系数必须为0。
【难度系数】
0.7
10.已知一组按规律排列的单项式：$x$，$-2x^2$，$3x^3$，$-4x^4$，…，则第$n$个单项式为（
A.$nx^n$
B.$-nx^n$
C.$(-1)^n nx^n$
D.$(-1)^{n+1} nx^n$
D
）A.$nx^n$
B.$-nx^n$
C.$(-1)^n nx^n$
D.$(-1)^{n+1} nx^n$
答案
10.D
解析
【分析】
要确定第n个单项式，我们可以把单项式拆分为符号、系数绝对值、字母指数三个独立部分分别找规律：
1. 先看符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正，第4项为负，呈现奇数项正、偶数项负的特征；
2. 再看系数绝对值：第1项是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，显然第n项的系数绝对值就是n；
3. 最后看x的指数：第1项x的指数是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，所以第n项x的指数就是n。
接下来用含n的式子表示符号规律：要满足n为奇数时符号为正、n为偶数时符号为负，可借助(-1)的幂表示，当指数为n+1时，刚好符合符号变化要求，最后把三部分组合就能得到第n个单项式的表达式。
【解析】
我们分三步分析规律：
1. 符号规律：观察可知奇数项为正，偶数项为负，符号可表示为$(-1)^{n+1}$：当n为正奇数时，$n+1$是偶数，$(-1)^{n+1}=1$，对应正号；当n为正偶数时，$n+1$是奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，对应负号，符合规律。
2. 系数绝对值规律：第1到第4个单项式的系数绝对值依次为1、2、3、4，因此第n个单项式的系数绝对值为$n$。
3. 字母部分规律：第1到第4个单项式中x的指数依次为1、2、3、4，因此第n个单项式中x的指数为$n$，即字母部分为$x^n$。
将三部分组合，可得第n个单项式为$(-1)^{n+1}nx^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
探索数式规律，单项式的构成
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题核心是将复杂的单项式规律拆分为符号、系数、字母指数三个独立模块分别分析，再整合得到通式，掌握拆分分析的思路可快速解决同类规律探究问题。
【难度系数】
0.7
要确定第n个单项式，我们可以把单项式拆分为符号、系数绝对值、字母指数三个独立部分分别找规律：
1. 先看符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正，第4项为负，呈现奇数项正、偶数项负的特征；
2. 再看系数绝对值：第1项是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，显然第n项的系数绝对值就是n；
3. 最后看x的指数：第1项x的指数是1，第2项是2，第3项是3，第4项是4，所以第n项x的指数就是n。
接下来用含n的式子表示符号规律：要满足n为奇数时符号为正、n为偶数时符号为负，可借助(-1)的幂表示，当指数为n+1时，刚好符合符号变化要求，最后把三部分组合就能得到第n个单项式的表达式。
【解析】
我们分三步分析规律：
1. 符号规律：观察可知奇数项为正，偶数项为负，符号可表示为$(-1)^{n+1}$：当n为正奇数时，$n+1$是偶数，$(-1)^{n+1}=1$，对应正号；当n为正偶数时，$n+1$是奇数，$(-1)^{n+1}=-1$，对应负号，符合规律。
2. 系数绝对值规律：第1到第4个单项式的系数绝对值依次为1、2、3、4，因此第n个单项式的系数绝对值为$n$。
3. 字母部分规律：第1到第4个单项式中x的指数依次为1、2、3、4，因此第n个单项式中x的指数为$n$，即字母部分为$x^n$。
将三部分组合，可得第n个单项式为$(-1)^{n+1}nx^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
探索数式规律，单项式的构成
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题核心是将复杂的单项式规律拆分为符号、系数、字母指数三个独立模块分别分析，再整合得到通式，掌握拆分分析的思路可快速解决同类规律探究问题。
【难度系数】
0.7
11. 在 $x+3, \frac{1}{a}+5, \frac{3ab}{2}, 0, \frac{ab}{c}, -5x, x+0, c=ab$ 中，整式的个数是（
A.6
B.5
C.4
D.3
B
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
11.B
解析
【分析】
解题前先明确整式的定义：整式是单项式和多项式的统称，其中单项式是数与字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。判断整式的核心要点有两个：一是式子的分母中不能含有字母，分母含字母的属于分式，不是整式；二是等式不属于代数式，因此肯定不是整式。我们只需逐个核对给出的式子是否符合上述要求，就能统计出整式的个数。
【解析】
我们对每个式子逐一判断：
1. $x+3$：是单项式$x$和常数3的和，属于多项式，是整式；
2. $\frac{1}{a}+5$：分母含有字母$a$，属于分式，不是整式；
3. $\frac{3ab}{2}$：是常数$\frac{3}{2}$与字母$a、b$的乘积，属于单项式，是整式；
4. $0$：单独的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{ab}{c}$：分母含有字母$c$，属于分式，不是整式；
6. $-5x$：是常数$-5$与字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
7. $x+0$：化简后为$x$，属于单项式，是整式；
8. $c=ab$：是等式，不属于代数式，不是整式。
综上，符合要求的整式共有5个。
【答案】
B
【知识点】
整式的定义；代数式的分类；单项式与多项式的概念
【点评】
本题是整式判断的基础题，容易出错的点是误把分母含字母的分式、带等号的等式算成整式，也有同学会忽略单独的常数、化简后是单项式的式子属于整式，解题时要紧扣定义逐一排查，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
解题前先明确整式的定义：整式是单项式和多项式的统称，其中单项式是数与字母的乘积，单独的数或单独的字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。判断整式的核心要点有两个：一是式子的分母中不能含有字母，分母含字母的属于分式，不是整式；二是等式不属于代数式，因此肯定不是整式。我们只需逐个核对给出的式子是否符合上述要求，就能统计出整式的个数。
【解析】
我们对每个式子逐一判断：
1. $x+3$：是单项式$x$和常数3的和，属于多项式，是整式；
2. $\frac{1}{a}+5$：分母含有字母$a$，属于分式，不是整式；
3. $\frac{3ab}{2}$：是常数$\frac{3}{2}$与字母$a、b$的乘积，属于单项式，是整式；
4. $0$：单独的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{ab}{c}$：分母含有字母$c$，属于分式，不是整式；
6. $-5x$：是常数$-5$与字母$x$的乘积，属于单项式，是整式；
7. $x+0$：化简后为$x$，属于单项式，是整式；
8. $c=ab$：是等式，不属于代数式，不是整式。
综上，符合要求的整式共有5个。
【答案】
B
【知识点】
整式的定义；代数式的分类；单项式与多项式的概念
【点评】
本题是整式判断的基础题，容易出错的点是误把分母含字母的分式、带等号的等式算成整式，也有同学会忽略单独的常数、化简后是单项式的式子属于整式，解题时要紧扣定义逐一排查，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
12. 当$x=-2$时，关于$x$的五次四项式$ax^5 + bx^3 + x -6$的值是7，则当$x=2$时，其值为
-19
。答案
12.$-19$
解析
【分析】
解题时先将x=-2代入给定的五次四项式，利用负数的奇数次幂为负数的性质，整理得到关于a、b的整体式子；再将x=2代入代数式，发现其中含a、b的部分与前面得到的式子互为相反数，采用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
当x=-2时，将其代入代数式$ax^5 + bx^3 + x -6$得：
$a×(-2)^5 + b×(-2)^3 + (-2) -6 =7$
计算乘方后化简：
$-32a -8b -2 -6 =7$
移项整理得：
$-32a -8b =15$，即$32a +8b = -15$
当x=2时，代入代数式得：
$a×2^5 + b×2^3 + 2 -6 = 32a +8b +2 -6$
将$32a +8b = -15$整体代入上式：
原式$=-15 +2 -6 = -19$
【答案】
$-19$
【知识点】
整体代入求值、乘方的符号性质、代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题核心是抓住互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数的特点，避免单独求解参数，简化运算过程，是整式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先将x=-2代入给定的五次四项式，利用负数的奇数次幂为负数的性质，整理得到关于a、b的整体式子；再将x=2代入代数式，发现其中含a、b的部分与前面得到的式子互为相反数，采用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
当x=-2时，将其代入代数式$ax^5 + bx^3 + x -6$得：
$a×(-2)^5 + b×(-2)^3 + (-2) -6 =7$
计算乘方后化简：
$-32a -8b -2 -6 =7$
移项整理得：
$-32a -8b =15$，即$32a +8b = -15$
当x=2时，代入代数式得：
$a×2^5 + b×2^3 + 2 -6 = 32a +8b +2 -6$
将$32a +8b = -15$整体代入上式：
原式$=-15 +2 -6 = -19$
【答案】
$-19$
【知识点】
整体代入求值、乘方的符号性质、代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题核心是抓住互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数的特点，避免单独求解参数，简化运算过程，是整式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
13.已知多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是关于$x,y$的五次四项式，单项式$-8x^2y^3z$的次数为$b$，$c$是最小的正整数，求$(a - b)^{c+1}$的值。
答案
13.16。
解析
【分析】
解题时需依次推导三个字母的取值：①多项式为五次四项式，说明最高次项的次数为5，先确定多项式的最高次项，根据次数的定义列等式即可求出a的值；②单项式的次数是所有字母的指数之和，据此可计算出b的值；③最小的正整数为1，直接得到c的值，最后将a、b、c代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：求a的值
多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是五次四项式，多项式的次数为最高次项的次数。
各项的次数分别为：$x^{a+1}y^2$的次数为$(a+1)+2=a+3$，$x^3$的次数为3，$x^2y$的次数为$2+1=3$，常数项$-1$的次数为0。
因此最高次项为$x^{a+1}y^2$，可得等式：$a+3=5$，解得$a=2$。
步骤2：求b的值
单项式的次数为所有字母的指数之和，单项式$-8x^2y^3z$中x的指数为2，y的指数为3，z的指数为1，因此：
$b=2+3+1=6$。
步骤3：求c的值
最小的正整数是1，因此$c=1$。
步骤4：代入计算
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$得：
$(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，乘方运算
【点评】
本题考查整式相关的基础概念，解题核心是准确理解多项式次数、单项式次数的定义，结合已知条件求出对应字母的取值后代入计算即可，属于基础概念应用题，得分难度低。
【难度系数】
0.8
解题时需依次推导三个字母的取值：①多项式为五次四项式，说明最高次项的次数为5，先确定多项式的最高次项，根据次数的定义列等式即可求出a的值；②单项式的次数是所有字母的指数之和，据此可计算出b的值；③最小的正整数为1，直接得到c的值，最后将a、b、c代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：求a的值
多项式$x^{a+1}y^2 - x^3 + x^2y -1$是五次四项式，多项式的次数为最高次项的次数。
各项的次数分别为：$x^{a+1}y^2$的次数为$(a+1)+2=a+3$，$x^3$的次数为3，$x^2y$的次数为$2+1=3$，常数项$-1$的次数为0。
因此最高次项为$x^{a+1}y^2$，可得等式：$a+3=5$，解得$a=2$。
步骤2：求b的值
单项式的次数为所有字母的指数之和，单项式$-8x^2y^3z$中x的指数为2，y的指数为3，z的指数为1，因此：
$b=2+3+1=6$。
步骤3：求c的值
最小的正整数是1，因此$c=1$。
步骤4：代入计算
将$a=2$，$b=6$，$c=1$代入$(a - b)^{c+1}$得：
$(2-6)^{1+1}=(-4)^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，乘方运算
【点评】
本题考查整式相关的基础概念，解题核心是准确理解多项式次数、单项式次数的定义，结合已知条件求出对应字母的取值后代入计算即可，属于基础概念应用题，得分难度低。
【难度系数】
0.8
