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2. 综合与实践
【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
【操作】步骤一：将多项式$x^2y - 4y$分解因式为$y(x + 2)(x - 2)$；
步骤二：取$x = 15$，$y = 12$，则有$y = 12$，$x + 2 = 17$，$x - 2 = 13$，其中12，17，13分别为因式码；
步骤三：将这三个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码121317.
【注意】若因式码为个位数，形成密码时需在前面补“0”.例如：若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01.
【理解】(1)①已知多项式$16p^4 - q^4$，当取$p = 10$，$q = 5$时，用上述方法生成的密码是什么？
②若多项式$16p^4 - q^4$（$p$，$q$分别取正整数）用上述方法生成密码的前两个因式码为5，15，则第三个因式码是________.
【拓展】(2)一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底的长分别为不同的整数$x$，$y$，请你根据上述方法破解出将多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后生成的密码；
【提升】(3)已知将多项式$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$分解因式后，用上述方法生成的密码为242932.若$x = 24$，求$m$，$n$的值.
【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
【操作】步骤一：将多项式$x^2y - 4y$分解因式为$y(x + 2)(x - 2)$；
步骤二：取$x = 15$，$y = 12$，则有$y = 12$，$x + 2 = 17$，$x - 2 = 13$，其中12，17，13分别为因式码；
步骤三：将这三个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码121317.
【注意】若因式码为个位数，形成密码时需在前面补“0”.例如：若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01.
【理解】(1)①已知多项式$16p^4 - q^4$，当取$p = 10$，$q = 5$时，用上述方法生成的密码是什么？
②若多项式$16p^4 - q^4$（$p$，$q$分别取正整数）用上述方法生成密码的前两个因式码为5，15，则第三个因式码是________.
【拓展】(2)一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底的长分别为不同的整数$x$，$y$，请你根据上述方法破解出将多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后生成的密码；
【提升】(3)已知将多项式$x^3 + (m - 2n)x^2 + 5nx$分解因式后，用上述方法生成的密码为242932.若$x = 24$，求$m$，$n$的值.
答案
解：(1)①$\because 16p^4 - q^4=(4p^2+q^2)(4p^2-q^2)=(4p^2+q^2)(2p+q)(2p-q)$，取$p=10$，$q=5$，则有$4p^2+q^2=425$，$2p+q=25$，$2p-q=15$.
∴因式码为425，25，15.
∴生成的密码是1525425.
②125
(2)由题意得$2x+y=12$，且$2x＞y$，$x≠ y$. $\therefore x=5$，$y=2$.
$\because x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$，取$x=5$，$y=2$，则有$x=5$，$x+2y=9$，$x-2y=1$.
∴因式码为5，9，1.
∴生成的密码是010509.
(3)$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$.
设$x^2+(m-2n)x+5n=(x+a)(x+b)$，其中$a＜b$.
$\because x=24$，密码为242932，$\therefore 24+a=29$，$24+b=32$，
解得$a=5$，$b=8$. $\therefore x^2+(m-2n)x+5n=(x+5)·(x+8)=x^2+13x+40$. $\therefore m-2n=13$，$5n=40$，解得$m=29$，$n=8$.
∴因式码为425，25，15.
∴生成的密码是1525425.
②125
(2)由题意得$2x+y=12$，且$2x＞y$，$x≠ y$. $\therefore x=5$，$y=2$.
$\because x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$，取$x=5$，$y=2$，则有$x=5$，$x+2y=9$，$x-2y=1$.
∴因式码为5，9，1.
∴生成的密码是010509.
(3)$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$.
设$x^2+(m-2n)x+5n=(x+a)(x+b)$，其中$a＜b$.
$\because x=24$，密码为242932，$\therefore 24+a=29$，$24+b=32$，
解得$a=5$，$b=8$. $\therefore x^2+(m-2n)x+5n=(x+5)·(x+8)=x^2+13x+40$. $\therefore m-2n=13$，$5n=40$，解得$m=29$，$n=8$.
解析
【分析】
本题以因式分解生成密码为新情境，解题核心是先明确密码生成规则：先将多项式分解为若干因式，代入赋值得到因式码，再将因式码从小到大排序，个位数前补0即可得到密码。
(1)①先对多项式$16p^4-q^4$连续使用平方差公式分解为3个因式，代入$p=10、q=5$计算每个因式的值，排序后得到密码；②已知前两个较小的因式码，对应最小的两个因式$2p-q$和$2p+q$，列方程求出$p、q$后计算第三个因式的值即可。
(2)先根据等腰三角形周长公式和三边关系（两边之和大于第三边）求出符合条件的整数$x、y$，再分解多项式$x^3-4xy^2$，代入求值排序，注意个位数补0得到密码。
(3)先对多项式提公因式$x$，再将二次部分分解为两个一次因式的乘积，已知$x=24$，密码中的24就是$x$对应的因式码，剩余两个因式码对应两个一次因式代入$x=24$的值，求出一次因式的常数项后，根据多项式相等时对应系数相等列方程求解$m、n$即可。
【解析】
(1)①分解因式：
$16p^4 - q^4=(4p^2+q^2)(4p^2-q^2)=(4p^2+q^2)(2p+q)(2p-q)$
当$p=10,q=5$时：
$4p^2+q^2=4×10^2+5^2=425$，$2p+q=2×10+5=25$，$2p-q=2×10-5=15$
将因式码从小到大排序为15、25、425，因此生成的密码是1525425。
②三个因式中最小的两个为$2p-q$和$2p+q$，已知前两个因式码为5、15，可得$\begin{cases}2p-q=5\\2p+q=15\end{cases}$，解得$p=5,q=5$，则第三个因式码为$4p^2+q^2=4×5^2+5^2=125$。
(2)等腰三角形周长为12，腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x+y=12$，结合三边关系$2x＞y$，且$x、y$为不同正整数：
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，因此$x=4$或$5$；当$x=4$时$y=4$，与$x≠y$矛盾，故$x=5,y=2$。
分解多项式：$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$
代入$x=5,y=2$得：$x=5$，$x+2y=9$，$x-2y=1$
将因式码从小到大排序为1、5、9，个位数前补0后为01、05、09，因此生成的密码是010509。
(3)分解多项式：$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$
设二次式可分解为$x^2+(m-2n)x+5n=(x+a)(x+b)$（$a＜b$），则三个因式为$x、x+a、x+b$。
已知$x=24$，密码为242932，排序后的因式码为24、29、32，因此$\begin{cases}24+a=29\\24+b=32\end{cases}$，解得$a=5,b=8$。
则$x^2+(m-2n)x+5n=(x+5)(x+8)=x^2+13x+40$，根据多项式对应系数相等可得$\begin{cases}m-2n=13\\5n=40\end{cases}$，解得$n=8$，代入得$m=29$。
【答案】
(1)①$\boxed{1525425}$；②$\boxed{125}$
(2)$\boxed{010509}$
(3)$\boxed{m=29,n=8}$
【知识点】
1. 因式分解
2. 等腰三角形性质
3. 整式乘法运算
【点评】
本题结合密码生成的新情境，综合考查了因式分解的应用、等腰三角形三边关系、多项式相等的条件等知识点，要求学生能准确提取新定义规则，结合已有知识灵活解决问题，对信息处理能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题以因式分解生成密码为新情境，解题核心是先明确密码生成规则：先将多项式分解为若干因式，代入赋值得到因式码，再将因式码从小到大排序，个位数前补0即可得到密码。
(1)①先对多项式$16p^4-q^4$连续使用平方差公式分解为3个因式，代入$p=10、q=5$计算每个因式的值，排序后得到密码；②已知前两个较小的因式码，对应最小的两个因式$2p-q$和$2p+q$，列方程求出$p、q$后计算第三个因式的值即可。
(2)先根据等腰三角形周长公式和三边关系（两边之和大于第三边）求出符合条件的整数$x、y$，再分解多项式$x^3-4xy^2$，代入求值排序，注意个位数补0得到密码。
(3)先对多项式提公因式$x$，再将二次部分分解为两个一次因式的乘积，已知$x=24$，密码中的24就是$x$对应的因式码，剩余两个因式码对应两个一次因式代入$x=24$的值，求出一次因式的常数项后，根据多项式相等时对应系数相等列方程求解$m、n$即可。
【解析】
(1)①分解因式：
$16p^4 - q^4=(4p^2+q^2)(4p^2-q^2)=(4p^2+q^2)(2p+q)(2p-q)$
当$p=10,q=5$时：
$4p^2+q^2=4×10^2+5^2=425$，$2p+q=2×10+5=25$，$2p-q=2×10-5=15$
将因式码从小到大排序为15、25、425，因此生成的密码是1525425。
②三个因式中最小的两个为$2p-q$和$2p+q$，已知前两个因式码为5、15，可得$\begin{cases}2p-q=5\\2p+q=15\end{cases}$，解得$p=5,q=5$，则第三个因式码为$4p^2+q^2=4×5^2+5^2=125$。
(2)等腰三角形周长为12，腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x+y=12$，结合三边关系$2x＞y$，且$x、y$为不同正整数：
由$y=12-2x＞0$得$x＜6$，由$2x＞12-2x$得$x＞3$，因此$x=4$或$5$；当$x=4$时$y=4$，与$x≠y$矛盾，故$x=5,y=2$。
分解多项式：$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$
代入$x=5,y=2$得：$x=5$，$x+2y=9$，$x-2y=1$
将因式码从小到大排序为1、5、9，个位数前补0后为01、05、09，因此生成的密码是010509。
(3)分解多项式：$x^3+(m-2n)x^2+5nx=x[x^2+(m-2n)x+5n]$
设二次式可分解为$x^2+(m-2n)x+5n=(x+a)(x+b)$（$a＜b$），则三个因式为$x、x+a、x+b$。
已知$x=24$，密码为242932，排序后的因式码为24、29、32，因此$\begin{cases}24+a=29\\24+b=32\end{cases}$，解得$a=5,b=8$。
则$x^2+(m-2n)x+5n=(x+5)(x+8)=x^2+13x+40$，根据多项式对应系数相等可得$\begin{cases}m-2n=13\\5n=40\end{cases}$，解得$n=8$，代入得$m=29$。
【答案】
(1)①$\boxed{1525425}$；②$\boxed{125}$
(2)$\boxed{010509}$
(3)$\boxed{m=29,n=8}$
【知识点】
1. 因式分解
2. 等腰三角形性质
3. 整式乘法运算
【点评】
本题结合密码生成的新情境，综合考查了因式分解的应用、等腰三角形三边关系、多项式相等的条件等知识点，要求学生能准确提取新定义规则，结合已有知识灵活解决问题，对信息处理能力和知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
