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平方差公式：两个数的
和
与这两个数的差
的积，等于这两个数的平方差.即$(a+b)(a-b)=$$a^2 - b^2$
.这个公式叫作(乘法的)平方差公式.平方差公式是多项式乘法$(a+b)(p+q)$中$p=$$a$
，$q=$$-b$
的特殊情形.答案
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$.平方差公式是多项式乘法$(a+b)(p+q)$中$p=a$，$q=-b$的特殊情形.
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的基础概念，解题思路如下：首先回忆平方差公式的文字描述，明确公式左边的运算形式是两个数的和与这两个数的差相乘；接下来对应写出平方差公式的字母表达式；最后将平方差公式的形式和一般多项式乘法$(a+b)(p+q)$做对比，把$(a-b)$变形为$a+(-b)$，即可匹配得到$p$和$q$的取值。
【解析】
1. 根据平方差公式的文字定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此前两个空依次填“和”“差”；
2. 平方差公式的字母表达形式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此第三个空填$a^2 - b^2$；
3. 把$(a-b)$改写为$a+(-b)$，与一般多项式乘法$(a+b)(p+q)$对应，可得$p=a$，$q=-b$，因此后两个空依次填$a$、$-b$。
【答案】
和；差；$a^2 - b^2$；$a$；$-b$
【知识点】
平方差公式；多项式乘法
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式来源和基本形式的掌握，牢记公式的结构特征，是后续运用公式进行简便运算、因式分解的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的基础概念，解题思路如下：首先回忆平方差公式的文字描述，明确公式左边的运算形式是两个数的和与这两个数的差相乘；接下来对应写出平方差公式的字母表达式；最后将平方差公式的形式和一般多项式乘法$(a+b)(p+q)$做对比，把$(a-b)$变形为$a+(-b)$，即可匹配得到$p$和$q$的取值。
【解析】
1. 根据平方差公式的文字定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此前两个空依次填“和”“差”；
2. 平方差公式的字母表达形式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，因此第三个空填$a^2 - b^2$；
3. 把$(a-b)$改写为$a+(-b)$，与一般多项式乘法$(a+b)(p+q)$对应，可得$p=a$，$q=-b$，因此后两个空依次填$a$、$-b$。
【答案】
和；差；$a^2 - b^2$；$a$；$-b$
【知识点】
平方差公式；多项式乘法
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式来源和基本形式的掌握，牢记公式的结构特征，是后续运用公式进行简便运算、因式分解的前提。
【难度系数】
0.9
例1（教材改编）如图，利用图①和图②的阴影部分面积相等，写出一个正确的等式：
图①
a
2
a
2
图②
a
2
a
2
a
$(a+2)(a-2)=a^2 -4$
。图①
a
2
a
2
图②
a
2
a
2
a
答案
$(a+2)(a-2)=a^2 -4$
解析
【分析】
解题的核心是利用“两个阴影部分面积相等”的条件，分别计算两个图形的阴影面积，再建立等式即可。第一步先求图①的阴影面积：图①是边长为a的大正方形中挖去边长为2的空白小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去空白小正方形的面积；第二步求图②的阴影面积：图②是将图①的阴影拼接成的长方形，先确定长方形的长为(a+2)、宽为(a-2)，用长×宽计算面积；第三步令两个面积相等，整理即可得到所求等式。
【解析】
解：计算图①的阴影面积：
大正方形面积为$a^2$，空白小正方形面积为$2^2=4$，
因此阴影面积$S_1 = a^2 - 4$。
计算图②的阴影面积：
阴影部分为长方形，长为$a+2$，宽为$a-2$，
因此阴影面积$S_2 = (a+2)(a-2)$。
由题意可知$S_1=S_2$，
所以可得等式：$(a+2)(a-2)=a^2 - 4$。
【答案】
$(a+2)(a-2)=a^2 -4$
【知识点】
平方差公式，面积法应用，整式乘法
【点评】
这道题借助几何图形的面积推导代数公式，渗透了数形结合的思想，能加深对平方差公式来源和本质的理解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用“两个阴影部分面积相等”的条件，分别计算两个图形的阴影面积，再建立等式即可。第一步先求图①的阴影面积：图①是边长为a的大正方形中挖去边长为2的空白小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去空白小正方形的面积；第二步求图②的阴影面积：图②是将图①的阴影拼接成的长方形，先确定长方形的长为(a+2)、宽为(a-2)，用长×宽计算面积；第三步令两个面积相等，整理即可得到所求等式。
【解析】
解：计算图①的阴影面积：
大正方形面积为$a^2$，空白小正方形面积为$2^2=4$，
因此阴影面积$S_1 = a^2 - 4$。
计算图②的阴影面积：
阴影部分为长方形，长为$a+2$，宽为$a-2$，
因此阴影面积$S_2 = (a+2)(a-2)$。
由题意可知$S_1=S_2$，
所以可得等式：$(a+2)(a-2)=a^2 - 4$。
【答案】
$(a+2)(a-2)=a^2 -4$
【知识点】
平方差公式，面积法应用，整式乘法
【点评】
这道题借助几何图形的面积推导代数公式，渗透了数形结合的思想，能加深对平方差公式来源和本质的理解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
例2（教材改编）计算：
(1)$(3x+1)(3x-1)$；
(2)$(a+4b)(4b-a)$；
(3)$(m+2)(m-3)-(m+3)(m-3)$；
(1)$(3x+1)(3x-1)$；
(2)$(a+4b)(4b-a)$；
(3)$(m+2)(m-3)-(m+3)(m-3)$；
答案
解：(1)原式=$(3x)^2 -1^2=9x^2 -1$.
(2)原式=$(4b+a)(4b-a)=(4b)^2 -a^2=16b^2 -a^2$.
(3)原式=$m^2 -3m +2m -6 -(m^2 -3^2)=m^2 -m -6 -m^2 +9=-m+3$.
(2)原式=$(4b+a)(4b-a)=(4b)^2 -a^2=16b^2 -a^2$.
(3)原式=$m^2 -3m +2m -6 -(m^2 -3^2)=m^2 -m -6 -m^2 +9=-m+3$.
解析
【分析】
解答本题首先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路如下：
(1)观察式子$(3x+1)(3x-1)$，相同项为$3x$，相反项为$+1$和$-1$，符合平方差公式特征，直接套用公式计算即可；
(2)先调整$(a+4b)(4b-a)$的项的顺序，转化为$(4b+a)(4b-a)$，此时相同项为$4b$，相反项为$+a$和$-a$，再套用平方差公式计算；
(3)式子为两个整式乘积的差，前半部分$(m+2)(m-3)$不符合平方差公式特征，用多项式乘多项式法则展开，后半部分$(m+3)(m-3)$符合平方差公式特征，用公式展开，再去括号、合并同类项即可，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式形式，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=(3x)^2 -1^2\\&=9x^2 -1\end{aligned}$
(2) 先调整因式的项的顺序，再套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=(4b+a)(4b-a)\\&=(4b)^2 -a^2\\&=16b^2 -a^2\end{aligned}$
(3) 分别展开两个乘积，再化简：
$\begin{aligned}原式&=m^2 -3m +2m -6 -(m^2 -3^2)\\&=m^2 -m -6 -m^2 +9\\&=-m+3\end{aligned}$
【答案】
(1)$9x^2-1$；(2)$16b^2-a^2$；(3)$-m+3$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查平方差公式的灵活运用，解题时优先观察式子结构，符合公式特征的优先用公式简化计算，混合运算中要格外注意运算顺序和去括号的符号规则，减少不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
解答本题首先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路如下：
(1)观察式子$(3x+1)(3x-1)$，相同项为$3x$，相反项为$+1$和$-1$，符合平方差公式特征，直接套用公式计算即可；
(2)先调整$(a+4b)(4b-a)$的项的顺序，转化为$(4b+a)(4b-a)$，此时相同项为$4b$，相反项为$+a$和$-a$，再套用平方差公式计算；
(3)式子为两个整式乘积的差，前半部分$(m+2)(m-3)$不符合平方差公式特征，用多项式乘多项式法则展开，后半部分$(m+3)(m-3)$符合平方差公式特征，用公式展开，再去括号、合并同类项即可，注意去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式形式，套用公式得：
$\begin{aligned}原式&=(3x)^2 -1^2\\&=9x^2 -1\end{aligned}$
(2) 先调整因式的项的顺序，再套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=(4b+a)(4b-a)\\&=(4b)^2 -a^2\\&=16b^2 -a^2\end{aligned}$
(3) 分别展开两个乘积，再化简：
$\begin{aligned}原式&=m^2 -3m +2m -6 -(m^2 -3^2)\\&=m^2 -m -6 -m^2 +9\\&=-m+3\end{aligned}$
【答案】
(1)$9x^2-1$；(2)$16b^2-a^2$；(3)$-m+3$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查平方差公式的灵活运用，解题时优先观察式子结构，符合公式特征的优先用公式简化计算，混合运算中要格外注意运算顺序和去括号的符号规则，减少不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列各式能用平方差公式计算的是(
A.$(x-y)(y-x)$
B.$(-m+n)(m-n)$
C.$(2x-3)(2x+3)$
D.$(-x+2y)(-2y+x)$
C
).A.$(x-y)(y-x)$
B.$(-m+n)(m-n)$
C.$(2x-3)(2x+3)$
D.$(-x+2y)(-2y+x)$
答案
1. C
解析
【分析】
解题前先明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，需存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，满足该特征即可用平方差公式计算。解题时我们只需逐个验证选项是否符合这个特征，就能筛选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，适用条件为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。我们逐一分析选项：
选项A：$(x-y)(y-x)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除；
选项B：$(-m+n)(m-n)=-(m-n)(m-n)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除；
选项C：$(2x-3)(2x+3)$中，相同项为$2x$，相反项为$-3$和$+3$，完全符合平方差公式的结构特征，符合要求；
选项D：$(-x+2y)(-2y+x)=-(2y-x)(2y-x)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 相反数的识别
【点评】
本题是基础公式应用类题目，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，解题的关键是准确区分两个相乘二项式中的相同项和相反项，熟练掌握公式特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确平方差公式的核心结构特征：两个二项式相乘时，需存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，满足该特征即可用平方差公式计算。解题时我们只需逐个验证选项是否符合这个特征，就能筛选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，适用条件为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。我们逐一分析选项：
选项A：$(x-y)(y-x)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除；
选项B：$(-m+n)(m-n)=-(m-n)(m-n)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除；
选项C：$(2x-3)(2x+3)$中，相同项为$2x$，相反项为$-3$和$+3$，完全符合平方差公式的结构特征，符合要求；
选项D：$(-x+2y)(-2y+x)=-(2y-x)(2y-x)$，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 相反数的识别
【点评】
本题是基础公式应用类题目，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，解题的关键是准确区分两个相乘二项式中的相同项和相反项，熟练掌握公式特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a+b=3$，$a-b=2$，则$a^2 - b^2$的值为
6
。答案
2. 6
解析
【分析】
看到所求代数式$a^2 - b^2$，首先联想到平方差公式，平方差公式可以逆用为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。观察已知条件，题目已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，直接整体代入公式计算即可，比先求$a$、$b$再代入计算更简便。
【解析】
解：根据平方差公式的逆用可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=3$，$a-b=2$代入上式：
原式$=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，采用整体代入的思路可以简化计算步骤，是平方差公式应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.9
看到所求代数式$a^2 - b^2$，首先联想到平方差公式，平方差公式可以逆用为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。观察已知条件，题目已经直接给出了$a+b$和$a-b$的数值，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，直接整体代入公式计算即可，比先求$a$、$b$再代入计算更简便。
【解析】
解：根据平方差公式的逆用可得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=3$，$a-b=2$代入上式：
原式$=3×2=6$
【答案】
6
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，采用整体代入的思路可以简化计算步骤，是平方差公式应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.9
3. (教材改编)计算：
(1)$(-2a+b)(-2a-b)$；
(2)$(x-3y)(x+3y)(x^2+9y^2)$；
(3)$203×197$。
(1)$(-2a+b)(-2a-b)$；
(2)$(x-3y)(x+3y)(x^2+9y^2)$；
(3)$203×197$。
答案
解：(1)原式=$(-2a)^2 -b^2=4a^2 -b^2$.
(2)原式=$[x^2 -(3y)^2](x^2 +9y^2)=(x^2 -9y^2)(x^2 +9y^2)=x^4 -(9y^2)^2=x^4 -81y^4$.
(3)原式=$(200+3)(200-3)=200^2 -3^2=40\ 000 -9=39\ 991$.
(2)原式=$[x^2 -(3y)^2](x^2 +9y^2)=(x^2 -9y^2)(x^2 +9y^2)=x^4 -(9y^2)^2=x^4 -81y^4$.
(3)原式=$(200+3)(200-3)=200^2 -3^2=40\ 000 -9=39\ 991$.
解析
【分析】
本题三道小题均考查平方差公式的应用，解题时先明确平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，解题核心是准确找到每个式子中对应公式里的相同项$a$和相反项$b$。
(1) 观察两个因式，相同项是$-2a$，相反项是$b$和$-b$，直接代入平方差公式计算即可；
(2) 前两个因式符合平方差公式的结构，先计算前两个的乘积，得到的结果再和第三个因式组合，再次应用平方差公式计算；
(3) 属于平方差公式在简便计算中的应用，把203拆成$200+3$，197拆成$200-3$，转化为平方差公式的结构再计算。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，其中相同项为$-2a$，相反项为$b$、$-b$，代入公式得：
原式$=(-2a)^2 -b^2=4a^2 -b^2$
(2) 先对前两个因式应用平方差公式，再将所得结果与第三个因式继续应用平方差公式：
原式$=[x^2 -(3y)^2](x^2 +9y^2)$
$=(x^2 -9y^2)(x^2 +9y^2)$
$=x^4 -(9y^2)^2$
$=x^4 -81y^4$
(3) 将两个因数改写为整百数与个位数的和、差形式，再应用平方差公式简便计算：
原式$=(200+3)(200-3)$
$=200^2 -3^2$
$=40000 -9$
$=39991$
【答案】
(1)$4a^2 -b^2$；(2)$x^4 -81y^4$；(3)$39991$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，多次应用公式时要注意每一步运算的正确性，利用公式进行简便计算时要学会合理拆分数字。
【难度系数】
0.8
本题三道小题均考查平方差公式的应用，解题时先明确平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，解题核心是准确找到每个式子中对应公式里的相同项$a$和相反项$b$。
(1) 观察两个因式，相同项是$-2a$，相反项是$b$和$-b$，直接代入平方差公式计算即可；
(2) 前两个因式符合平方差公式的结构，先计算前两个的乘积，得到的结果再和第三个因式组合，再次应用平方差公式计算；
(3) 属于平方差公式在简便计算中的应用，把203拆成$200+3$，197拆成$200-3$，转化为平方差公式的结构再计算。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式结构，其中相同项为$-2a$，相反项为$b$、$-b$，代入公式得：
原式$=(-2a)^2 -b^2=4a^2 -b^2$
(2) 先对前两个因式应用平方差公式，再将所得结果与第三个因式继续应用平方差公式：
原式$=[x^2 -(3y)^2](x^2 +9y^2)$
$=(x^2 -9y^2)(x^2 +9y^2)$
$=x^4 -(9y^2)^2$
$=x^4 -81y^4$
(3) 将两个因数改写为整百数与个位数的和、差形式，再应用平方差公式简便计算：
原式$=(200+3)(200-3)$
$=200^2 -3^2$
$=40000 -9$
$=39991$
【答案】
(1)$4a^2 -b^2$；(2)$x^4 -81y^4$；(3)$39991$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，简便运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，多次应用公式时要注意每一步运算的正确性，利用公式进行简便计算时要学会合理拆分数字。
【难度系数】
0.8
