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1. 下列式子计算错误的是(
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(x+1)(x-1)=x^2 - 1$
C.$(2x+1)(2x-1)=2x^2 - 1$
D.$(-a+b)(-a-b)=a^2 - b^2$
C
).A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(x+1)(x-1)=x^2 - 1$
C.$(2x+1)(2x-1)=2x^2 - 1$
D.$(-a+b)(-a-b)=a^2 - b^2$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路为：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于相同项的平方减去相反项的平方，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。接下来逐个分析每个选项，找出每个式子中的相同项和相反项，代入公式计算后和选项给出的结果对比，即可找到计算错误的选项。
【解析】
平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，其中$m$是两个因式中相同的项，$n$和$-n$是互为相反数的项。
选项A：两个因式中相同项为$a$，相反项为$b$和$-b$，代入公式得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，计算正确，不符合题意；
选项B：两个因式中相同项为$x$，相反项为$1$和$-1$，代入公式得$(x+1)(x-1)=x^2 - 1^2=x^2 -1$，计算正确，不符合题意；
选项C：两个因式中相同项为$2x$，相反项为$1$和$-1$，代入公式得$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2=4x^2 -1$，和选项给出的$2x^2 -1$不一致，计算错误，符合题意；
选项D：两个因式中相同项为$-a$，相反项为$b$和$-b$，代入公式得$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2 - b^2=a^2 - b^2$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题核心是准确把握平方差公式的结构特征，解题时要注意区分相同项和相反项，计算相同项的平方时，若项带有系数，系数也要同时平方，避免出现漏乘系数平方的典型错误。
【难度系数】
0.8
本题考查平方差公式的应用，解题思路为：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差相乘，等于相同项的平方减去相反项的平方，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。接下来逐个分析每个选项，找出每个式子中的相同项和相反项，代入公式计算后和选项给出的结果对比，即可找到计算错误的选项。
【解析】
平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，其中$m$是两个因式中相同的项，$n$和$-n$是互为相反数的项。
选项A：两个因式中相同项为$a$，相反项为$b$和$-b$，代入公式得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，计算正确，不符合题意；
选项B：两个因式中相同项为$x$，相反项为$1$和$-1$，代入公式得$(x+1)(x-1)=x^2 - 1^2=x^2 -1$，计算正确，不符合题意；
选项C：两个因式中相同项为$2x$，相反项为$1$和$-1$，代入公式得$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2 - 1^2=4x^2 -1$，和选项给出的$2x^2 -1$不一致，计算错误，符合题意；
选项D：两个因式中相同项为$-a$，相反项为$b$和$-b$，代入公式得$(-a+b)(-a-b)=(-a)^2 - b^2=a^2 - b^2$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题核心是准确把握平方差公式的结构特征，解题时要注意区分相同项和相反项，计算相同项的平方时，若项带有系数，系数也要同时平方，避免出现漏乘系数平方的典型错误。
【难度系数】
0.8
2. 若$(a+1)(a-1)=15$，则$a=(\ )$。
A.$\pm4$
B.$\pm3$
C.$4$
D.$3$
A.$\pm4$
B.$\pm3$
C.$4$
D.$3$
答案
2. A
解析
【分析】
观察等式左边的乘积式$(a+1)(a-1)$，刚好符合平方差公式的结构特征，所以首先可以利用平方差公式化简左边的式子，再通过移项、开平方求出$a$的取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 利用平方差公式化简等式左边：
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，可得$(a+1)(a-1)=a^2-1^2=a^2-1$，原方程转化为：
$a^2-1=15$
2. 移项计算：
将常数项移到等号右侧，得$a^2=15+1=16$
3. 开平方求$a$：
因为$(\pm4)^2=16$，所以$a=\pm4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；开平方运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查平方差公式的识别与使用，解题时要注意正数的平方根有正负两个，避免只写正根漏解丢分。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的乘积式$(a+1)(a-1)$，刚好符合平方差公式的结构特征，所以首先可以利用平方差公式化简左边的式子，再通过移项、开平方求出$a$的取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 利用平方差公式化简等式左边：
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，可得$(a+1)(a-1)=a^2-1^2=a^2-1$，原方程转化为：
$a^2-1=15$
2. 移项计算：
将常数项移到等号右侧，得$a^2=15+1=16$
3. 开平方求$a$：
因为$(\pm4)^2=16$，所以$a=\pm4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；开平方运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查平方差公式的识别与使用，解题时要注意正数的平方根有正负两个，避免只写正根漏解丢分。
【难度系数】
0.8
3. 计算：(1)$(5+y)(5-y)=$
(2)$(-2x-7)(7-2x)=$
$25-y^2$
；(2)$(-2x-7)(7-2x)=$
$4x^2-49$
。答案
3. (1)$25-y^2$ (2)$4x^2-49$
解析
【分析】
这两道题都是整式乘法计算题，观察式子结构可知都符合平方差公式的适用特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数。解题思路如下：1. 先分别找出每个式子中的相同项（对应平方差公式中的a）和互为相反数的项（对应平方差公式中的b）；2. 代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；3. 计算化简得到结果，注意带系数、负号的项平方时要整体加括号运算，避免符号和系数计算错误。
【解析】
(1) 对于式子$(5+y)(5-y)$，相同项为$5$（即$a=5$），互为相反数的项为$y$和$-y$（即$b=y$），代入平方差公式可得：
原式$=5^2 - y^2 = 25 - y^2$
(2) 先调整式子$(-2x-7)(7-2x)$的项的顺序，得到$(-2x -7)(-2x +7)$，此时相同项为$-2x$（即$a=-2x$），互为相反数的项为$-7$和$7$（即$b=7$），代入平方差公式可得：
原式$=(-2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49$
【答案】
(1)$25-y^2$；(2)$4x^2-49$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题的核心是准确识别式子中的相同项和相反项，计算时要注意含系数、负号的项做平方运算时需整体加括号，避免出现符号错误或漏算系数平方的问题。
【难度系数】
0.8
这两道题都是整式乘法计算题，观察式子结构可知都符合平方差公式的适用特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数。解题思路如下：1. 先分别找出每个式子中的相同项（对应平方差公式中的a）和互为相反数的项（对应平方差公式中的b）；2. 代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；3. 计算化简得到结果，注意带系数、负号的项平方时要整体加括号运算，避免符号和系数计算错误。
【解析】
(1) 对于式子$(5+y)(5-y)$，相同项为$5$（即$a=5$），互为相反数的项为$y$和$-y$（即$b=y$），代入平方差公式可得：
原式$=5^2 - y^2 = 25 - y^2$
(2) 先调整式子$(-2x-7)(7-2x)$的项的顺序，得到$(-2x -7)(-2x +7)$，此时相同项为$-2x$（即$a=-2x$），互为相反数的项为$-7$和$7$（即$b=7$），代入平方差公式可得：
原式$=(-2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49$
【答案】
(1)$25-y^2$；(2)$4x^2-49$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题的核心是准确识别式子中的相同项和相反项，计算时要注意含系数、负号的项做平方运算时需整体加括号，避免出现符号错误或漏算系数平方的问题。
【难度系数】
0.8
4. 用简便方法计算：$3000^2 - 2998 × 3002$
答案
解：原式=$3\ 000^2 -(3\ 000 - 2) × (3\ 000 + 2) = 3\ 000^2 -(3\ 000^2 -4)=4$.
解析
【分析】
观察算式特征，发现相乘的两个数2998和3002都接近3000，其中2998可以写成3000-2，3002可以写成3000+2，刚好符合平方差公式中$(a-b)(a+b)$的结构，因此可以先利用平方差公式计算$2998×3002$，再与$3000^2$做差，无需计算大数乘积就能快速得出结果。
【解析】
解：原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，代入得：
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
去括号得：
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
合并同类项后得：
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题关键是识别出两个乘数与中间整千数的和差关系，转化为平方差公式的结构简化计算，能有效避免大数乘法的计算失误，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
观察算式特征，发现相乘的两个数2998和3002都接近3000，其中2998可以写成3000-2，3002可以写成3000+2，刚好符合平方差公式中$(a-b)(a+b)$的结构，因此可以先利用平方差公式计算$2998×3002$，再与$3000^2$做差，无需计算大数乘积就能快速得出结果。
【解析】
解：原式$=3000^2 - (3000 - 2)×(3000 + 2)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，代入得：
$=3000^2 - (3000^2 - 2^2)$
去括号得：
$=3000^2 - 3000^2 + 4$
合并同类项后得：
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题关键是识别出两个乘数与中间整千数的和差关系，转化为平方差公式的结构简化计算，能有效避免大数乘法的计算失误，提升运算效率。
【难度系数】
0.8
5. 如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为(
A.18
B.24
C.36
D.72
C
).A.18
B.24
C.36
D.72
答案
5. C
解析
【分析】
解题时首先设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意可得两正方形面积差为$a^2 - b^2 = 72$。接下来观察阴影部分是两个三角形，分别确定两个三角形的底和高，计算出两个三角形的面积之和，再通过因式分解将阴影面积表达式转化为含$a^2 - b^2$的形式，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得：
$a^2 - b^2 = 72$
阴影部分由两个三角形组成：
第一个三角形底为$a-b$，高为$a$，面积$S_1=\frac{1}{2} × (a-b) × a$；
第二个三角形底为$a-b$，高为$b$，面积$S_2=\frac{1}{2} × (a-b) × b$；
阴影部分总面积：
$\begin{aligned}S &= S_1 + S_2 \\&= \frac{1}{2}a(a-b) + \frac{1}{2}b(a-b) \\&= \frac{1}{2}(a-b)(a+b) \\&= \frac{1}{2}(a^2 - b^2)\end{aligned}$
将$a^2 - b^2 =72$代入上式，得：
$S=\frac{1}{2} × 72 = 36$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，三角形面积计算，代数式化简
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题核心是通过设边长将阴影面积转化为可利用已知条件的形式，无需单独计算两个正方形的边长就可以快速求解，能够考查对平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意可得两正方形面积差为$a^2 - b^2 = 72$。接下来观察阴影部分是两个三角形，分别确定两个三角形的底和高，计算出两个三角形的面积之和，再通过因式分解将阴影面积表达式转化为含$a^2 - b^2$的形式，代入已知条件即可求出结果。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得：
$a^2 - b^2 = 72$
阴影部分由两个三角形组成：
第一个三角形底为$a-b$，高为$a$，面积$S_1=\frac{1}{2} × (a-b) × a$；
第二个三角形底为$a-b$，高为$b$，面积$S_2=\frac{1}{2} × (a-b) × b$；
阴影部分总面积：
$\begin{aligned}S &= S_1 + S_2 \\&= \frac{1}{2}a(a-b) + \frac{1}{2}b(a-b) \\&= \frac{1}{2}(a-b)(a+b) \\&= \frac{1}{2}(a^2 - b^2)\end{aligned}$
将$a^2 - b^2 =72$代入上式，得：
$S=\frac{1}{2} × 72 = 36$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，三角形面积计算，代数式化简
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题核心是通过设边长将阴影面积转化为可利用已知条件的形式，无需单独计算两个正方形的边长就可以快速求解，能够考查对平方差公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. a，b，c是三个连续的正整数，$S_1$是以$b$为边长的正方形的面积，$S_2$是以$a$，$c$为长和宽的长方形的面积. 则$S_1$
＞
$S_2$.（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）答案
6. ＞
解析
【分析】
首先，根据三个连续正整数的关系，用中间数b分别表示出a和c，再分别写出$S_1$、$S_2$的代数式，接着利用平方差公式化简$S_2$的表达式，最后通过比较两个代数式的大小即可得到结果。
【解析】
∵a，b，c是三个连续的正整数，中间数为b
∴$a = b - 1$，$c = b + 1$
由题意得：
$S_1 = b^2$
$S_2 = a · c = (b - 1)(b + 1)$
根据平方差公式计算得：
$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1$
∵$b^2 ＞ b^2 - 1$
∴$S_1 ＞ S_2$
【答案】
＞
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式大小比较
3. 连续整数的表示
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的关键是结合连续整数的性质，用含b的式子表示a和c，再利用平方差公式化简后比较大小，有助于巩固对平方差公式的理解和运用。
【难度系数】
0.8
首先，根据三个连续正整数的关系，用中间数b分别表示出a和c，再分别写出$S_1$、$S_2$的代数式，接着利用平方差公式化简$S_2$的表达式，最后通过比较两个代数式的大小即可得到结果。
【解析】
∵a，b，c是三个连续的正整数，中间数为b
∴$a = b - 1$，$c = b + 1$
由题意得：
$S_1 = b^2$
$S_2 = a · c = (b - 1)(b + 1)$
根据平方差公式计算得：
$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1$
∵$b^2 ＞ b^2 - 1$
∴$S_1 ＞ S_2$
【答案】
＞
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式大小比较
3. 连续整数的表示
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的关键是结合连续整数的性质，用含b的式子表示a和c，再利用平方差公式化简后比较大小，有助于巩固对平方差公式的理解和运用。
【难度系数】
0.8
7. 计算：(1)$9\dfrac{1}{7}×8\dfrac{6}{7}$；
(2)$4(2a+1)(2a-1)(a^2+\dfrac{1}{4})$。
(2)$4(2a+1)(2a-1)(a^2+\dfrac{1}{4})$。
答案
解：(1)原式=$(9+\dfrac{1}{7})(9-\dfrac{1}{7})=9^2-(\dfrac{1}{7})^2=81-\dfrac{1}{49}=80\dfrac{48}{49}$.
(2)原式=$4(4a^2 - 1)(a^2 + \dfrac{1}{4})=(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)=16a^4 - 1$.
(2)原式=$4(4a^2 - 1)(a^2 + \dfrac{1}{4})=(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)=16a^4 - 1$.
解析
【分析】
(1) 观察两个乘数$9\dfrac{1}{7}$和$8\dfrac{6}{7}$，可分别转化为$9+\dfrac{1}{7}$和$9-\dfrac{1}{7}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式可避免繁琐的带分数乘法，简化计算。
(2) 式子中先出现$(2a+1)(2a-1)$，可直接运用平方差公式计算，得到结果后，将前面的系数4与$(a^2+\dfrac{1}{4})$相乘，可再次构造平方差公式的结构，二次套用公式即可快速算出结果，无需逐项展开计算。
【解析】
(1) 先将带分数拆成整数与分数的和差形式：
原式$=(9+\dfrac{1}{7})(9-\dfrac{1}{7})$
根据平方差公式计算：
$=9^2-(\dfrac{1}{7})^2$
$=81-\dfrac{1}{49}$
$=80\dfrac{48}{49}$
(2) 第一步先计算$(2a+1)(2a-1)$：
原式$=4(4a^2-1)(a^2+\dfrac{1}{4})$
将系数4乘入后一个括号，构造平方差结构：
$=(4a^2-1)(4a^2+1)$
再次套用平方差公式：
$=(4a^2)^2-1^2$
$=16a^4-1$
【答案】
(1)$80\dfrac{48}{49}$；(2)$16a^4-1$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，简便运算
【点评】
这两道题是平方差公式的典型应用，解题核心是准确识别或构造平方差公式“两个数的和乘两个数的差”的结构特征，通过套用公式大幅简化运算过程，避免逐项相乘的繁琐计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察两个乘数$9\dfrac{1}{7}$和$8\dfrac{6}{7}$，可分别转化为$9+\dfrac{1}{7}$和$9-\dfrac{1}{7}$，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式可避免繁琐的带分数乘法，简化计算。
(2) 式子中先出现$(2a+1)(2a-1)$，可直接运用平方差公式计算，得到结果后，将前面的系数4与$(a^2+\dfrac{1}{4})$相乘，可再次构造平方差公式的结构，二次套用公式即可快速算出结果，无需逐项展开计算。
【解析】
(1) 先将带分数拆成整数与分数的和差形式：
原式$=(9+\dfrac{1}{7})(9-\dfrac{1}{7})$
根据平方差公式计算：
$=9^2-(\dfrac{1}{7})^2$
$=81-\dfrac{1}{49}$
$=80\dfrac{48}{49}$
(2) 第一步先计算$(2a+1)(2a-1)$：
原式$=4(4a^2-1)(a^2+\dfrac{1}{4})$
将系数4乘入后一个括号，构造平方差结构：
$=(4a^2-1)(4a^2+1)$
再次套用平方差公式：
$=(4a^2)^2-1^2$
$=16a^4-1$
【答案】
(1)$80\dfrac{48}{49}$；(2)$16a^4-1$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，简便运算
【点评】
这两道题是平方差公式的典型应用，解题核心是准确识别或构造平方差公式“两个数的和乘两个数的差”的结构特征，通过套用公式大幅简化运算过程，避免逐项相乘的繁琐计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
8. 计算：$(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)·····(3^{1024}+1).$
答案
解：原式=$\dfrac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1) ··· ··(3^{1\ 024}+1)=\dfrac{1}{2}(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1) ··· ··(3^{1\ 024}+1)=\dfrac{1}{2}(3^{1\ 024}-1)(3^{1\ 024}+1)=\dfrac{3^{2\ 048}-1}{2}$.
解析
【分析】
观察算式中每个因式的特征，均为$3^{2^n}+1$（$n$为非负整数）的形式，符合平方差公式中$a+b$的结构，只要补充对应的$a-b$项即$3-1=2$，就可以连续使用平方差公式简化计算。为了保证原式的值不变，补充乘$(3-1)$后需要同时乘$\frac{1}{2}$，之后每一步都运用平方差公式逐步合并因式，最终即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}×(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
……
$=\frac{1}{2}×(3^{1024}-1)(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{2048}-1)$
$=\frac{3^{2048}-1}{2}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{3^{2048}-1}{2}}$
【知识点】
平方差公式、整式乘法巧算、乘方运算性质
【点评】
本题是平方差公式的典型拓展应用，解题关键是观察式子的结构特征，通过合理构造平方差公式的适用条件，连续运用公式达到简化计算的目的，很好地考察了对公式的灵活运用能力和整体观察能力。
【难度系数】
0.3
观察算式中每个因式的特征，均为$3^{2^n}+1$（$n$为非负整数）的形式，符合平方差公式中$a+b$的结构，只要补充对应的$a-b$项即$3-1=2$，就可以连续使用平方差公式简化计算。为了保证原式的值不变，补充乘$(3-1)$后需要同时乘$\frac{1}{2}$，之后每一步都运用平方差公式逐步合并因式，最终即可得到结果。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}×(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)\dots(3^{1024}+1)$
……
$=\frac{1}{2}×(3^{1024}-1)(3^{1024}+1)$
$=\frac{1}{2}×(3^{2048}-1)$
$=\frac{3^{2048}-1}{2}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{3^{2048}-1}{2}}$
【知识点】
平方差公式、整式乘法巧算、乘方运算性质
【点评】
本题是平方差公式的典型拓展应用，解题关键是观察式子的结构特征，通过合理构造平方差公式的适用条件，连续运用公式达到简化计算的目的，很好地考察了对公式的灵活运用能力和整体观察能力。
【难度系数】
0.3
